Vektorielle Darstellung einer Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 14.07.2004 | | Autor: | michael7 |
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
Hallo,
die vektorielle Darstellung einer Ebene lautet ja
[mm]\vec{x}=\vec{x^0}+\lambda \vec{v}+\my \vec{w}[/mm], [mm]-\infty < \lambda, \mu < \infty[/mm].
Es wird also, wenn ich das recht verstehe, vom Punkt [mm] $\vec{x^0}$ [/mm] ausgehend eine Ebene durch die Vektoren [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] aufgespannt. Wenn ich mir jetzt eine (zweidimensionale) Zeichnung anfertige, dann muessten doch alle Punkte dieser Ebene innerhalb des aufgespannten Parallelogramms liegen, oder? Folglich wuerden alle Punkte ausserhalb des Parallelogramms nicht zu dieser Ebene gehoeren. Wenn ich doch nun aber fuer [mm] $\lambda$ [/mm] oder [mm] $\mu$ [/mm] in der obigen Gleichung z.B. einen Wert $>1$ einsetze, dann liegt doch der resultierende Punkt [mm] $\vec{x}$ [/mm] ausserhalb des Parallelogramms bzw. der Ebene.
Oder gehoeren auch Punkte ausserhalb des entstehenden Parallelogramms zu dieser Ebene? Aber dann wuerde man doch eher die Einheitsvektoren von [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] nehmen!?
Kann mir jemand erklaeren, wo mein Denkfehler liegt?
Danke und viele Gruesse,
Michael
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Gruß!
Nein, es ist kein Denkfehler und Du hast vollkommen Recht - es gehören auch Punkte außerhelb des Parellelogrammes zu der Ebene. Die ganze Ebene soll ja in jede Richtung "unendlich" weitergehen, wie ein unendlich großes und ebenso dünnes Stück Papier.
Von daher ist es völlig egal, welche Vektoren v und w man wählt. Solange diese beide in der Ebene liegen und die Zusatzbedingung erfüllen, dass sie nicht auf der gleichen Geraden liegen (sowas haben wir in der Schule "kollinear" oder auch "linear abhängig" genannt), dann "spannen" sie die Eben auf, wie man sagt.
Die Wahl von v und w ist also wie gesagt beliebig - solange man auf ihre lineare Unabhängigkeit achtet, spannt jede Wahl von zwei Vektoren in der Ebene diese auf.
Man kann jetzt sogar einen Schritt weitergehen und ein "Koordinatensystem" in der Ebene einführen. Zu jedem Punkt y in der Ebene existieren ja eindeutig bestimmte Zahlen [mm] \lambda, \mu[/mm] mit [mm] y = x_0 + \lambda v + \mu w[/mm]
Man könnte jetzt diese Zahlen [mm] (\lambda, \mu) [/mm] die Koordinaten von y nennen und v und w das Koordinatensystem. Wenn Du Dir vorstellst, dass v und w beide Länge 1 haben und senkrecht aufeinander stehen, ist Dein Parallelogramm auch ein hübsches Quadrat und die Ebene hat ein wunderschönes Raster wie man es vom kartesischen Koordinatensystem her kennt.
Manchmal ist es jedoch zweckmäßig in "anderen Koordinaten" zu rechnen, also v und w mal anders zu wählen und so das System zu skalieren, drehen, wenden etc.
Man ist dabei besonders interessiert daran, wie sich die Ebene bei solchen Koordinatentransformationen verhält... aber das lernt man dann an der Uni. 
So, war jetzt etwas ausführlicher, aber ich hoffe, dass die grundlegende Idee klar geworden ist...
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Mi 14.07.2004 | | Autor: | michael7 |
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> So, war jetzt etwas ausführlicher, aber ich hoffe, dass die
> grundlegende Idee klar geworden ist...
Vielen Dank, Lars, fuer Deine ausfuehrliche Erlaeuterung! Alle Unklarheiten beseitigt.
Michael
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