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| Aufgabe | | Beschreibe den Fluss eines jeden linearen Vektorfeldes X in [mm] \IR^2, [/mm] für den Fall dass [mm] X=X^\dag [/mm] |
Also ich verstehe nicht so recht, was der Ausdruck [mm] X=X^\dag [/mm] bedeuten soll. Wir haben ihn nicht definiert und gefunden habe ich bisher auch nichts dergleichen.
Weis jemand zufällig, was das bedeuten könnte?
Liebe Grüße
r.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 09.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Beschreibe den Fluss eines jeden linearen Vektorfeldes X in
> [mm]\IR^2,[/mm] für den Fall dass [mm]X=X^\dag[/mm]
> Also ich verstehe nicht so recht, was der Ausdruck
> [mm]X=X^\dag[/mm] bedeuten soll. Wir haben ihn nicht definiert und
> gefunden habe ich bisher auch nichts dergleichen.
Aber komischerweise hast du immerhin einen [mm] \LaTeX [/mm] - Befehl zur Darstellung von [mm] X^\dag [/mm] gefunden. So ganz unwissend kannst du nicht sein...
Ich hätte nicht mal gewusst, wie man dieses "Schwert"-Symbol schreibt.
Gruß Abakus
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> Weis jemand zufällig, was das bedeuten könnte?
>
> Liebe Grüße
> r.
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Was soll das denn nun bedeuten? Möchtest du mir unterstellen, dass ich in wirklichkeit wüsste wofür das steht?
Wie gesagt habe ich im Internet nach einer Bedeutung gesucht und nichts gefunden. Um wenigstens meine Frage stellen zu können, habe ich anschließend nach einer Darstellung dieses Symbols gesucht und bin fündig geworden.
Das bedeutet aber noch lange nicht, dass ich mich inhaltlich bzw. mathematisch damit auskenne.
Gruß
r.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 So 09.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ich kenne das Zeichen für Matritzen und zwar unter der Verwendung dass wenn du eine Matrix X hast, dann ist [mm] X^{Kreuzdings} [/mm] die komplex Konjugierte und Transponierte von X.
Was das mit deinem Vektorfeld zu tun hat kann ich dir nicht sagen.
Gruss
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> Beschreibe den Fluss eines jeden linearen Vektorfeldes X in
> [mm]\IR^2,[/mm] für den Fall dass [mm]X=X^\dag[/mm]
> Also ich verstehe nicht so recht, was der Ausdruck
> [mm]X=X^\dag[/mm] bedeuten soll. Wir haben ihn nicht definiert und
> gefunden habe ich bisher auch nichts dergleichen.
>
> Weis jemand zufällig, was das bedeuten könnte?
>
> Liebe Grüße
> r.
Hallo raubkätzchen,
ehrlich gesagt habe ich auch keine Ahnung, was damit
gemeint sein könnte. Ich versuche mir aber irgendwas
auszumalen, was eventuell Sinn machen könnte.
Ich nehme einmal an, dass das " lineare Vektorfeld in [mm] \IR^2 [/mm] "
durch eine [mm] 2\times{2} [/mm] - Matrix A beschrieben ist:
$\ A\ =\ [mm] \pmat{a&b\\c&d}$
[/mm]
$\ [mm] A*\pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{a*x+b*y\\c*x+d*y}$
[/mm]
Dann könnte man das [mm] \dag [/mm] - Symbol als "$\ T$" für die transponierte
Matrix auffassen, also $\ A\ =\ [mm] A^T$ [/mm] . Für die angegebene Matrix A
würde dies bedeuten, dass $\ b=c$ gefordert ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 So 09.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ich hab jetzt das Wort gefunden: Adjungierte. Auf Wikipedia stehts mit dem Symbol.
Gruss
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Vielen Dank an euch beide!
Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen! Ich gehe nun davon aus, dass mit dem Zeichen die adjungierte Matrix gemeint ist wie in Wikipedia steht.
Liebe Grüße
r.
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> Ich hab jetzt das Wort gefunden: Adjungierte. Auf Wikipedia
> stehts mit dem Symbol.
>
> Gruss
Ich nehme einmal an, dass man es in der Aufgabe nicht auch
noch mit einer komplexen Abbildungsmatrix zu tun hat.
Für reelle Matrizen ist die adjungierte Matrix dasselbe wie die
transponierte (an der Hauptdiagonalen gespiegelte).
LG Al
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Hallo,
vielen Dank für den Hinweis Al-Chwarizmi.
Eine Frage habe ich dann noch. Woran liegt es, dass wir das Vektorfeld X als matrix schreiben können?
Ist das i.A. für Vektorfelder in [mm] \IR^n [/mm] möglich, oder ist mit "lineares Vektorfeld" genau diese Einschränkung auf Matrizen gemeint?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mo 10.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Die Menge der glatten Vektorfelder [mm]\tau^1(\IR^m)[/mm] lässt sich auf kanonische Weise mit [mm]C^\infty(\IR^m,\IR^m)[/mm] identifizieren durch[mm]\Phi:C^\infty(\IR^m,\IR^m)\ni F\mapsto\left(p\mapsto\sum_{i=1}^mF^i(p)\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p\right)\in\tau^1(M)[/mm]wobei [mm]x=\operatorname{id}_{\IR^m}[/mm] die Standart-Koordinaten auf [mm]\IR^m[/mm] sind.
Dieses [mm]\Phi[/mm] is ein linearer Isomorphismus von (unendlich-dimensionalen Vektorräumen). Nun ist ja die Menge [mm]\mathcal{L}(\IR^m,\IR^m)[/mm] der linearen Endomorphismen auf [mm]\IR^m[/mm] eine Teilmenge von [mm]C^\infty(\IR^m,\IR^m)[/mm] und die Elemente aus [mm]\Phi(\mathcal{L}(\IR^m,\IR^m))[/mm] heißen lineare Vektorfelder, das sind also genau diejenigen Vektorfelder, die in den Standartkoordinaten die Form
[mm]X(p)=\sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^ma_{ij}\cdot p^j\right)\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p[/mm]
haben. In diesem Falle ist [mm]A=(a_{ij})_{1\le i,j\le m}[/mm] die Darstellungsmatrix des linearen Vektorfeldes [mm]X[/mm] und [mm]X^\dagger[/mm] bezeichnet das lineare Vektorfeld mit der Darstellungsmatrix [mm]A^\dagger:=A^T[/mm]. Und jetzt noch ein Tipp für deine Aufgabe: Ist [mm]X^\dagger=X[/mm], heißt das, dass die Darstellungsmatrix des linearen Vektorfeldes diagonalisierbar ist, was habt ihr dazu in der Vorlesung gemacht?
Viele Grüße,
Robert
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> Hallo,
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> Die Menge der glatten Vektorfelder [mm]\tau^1(\IR^m)[/mm] lässt
> sich auf kanonische Weise mit [mm]C^\infty(\IR^m,\IR^m)[/mm]
> identifizieren durch[mm]\Phi:C^\infty(\IR^m,\IR^m)\ni F\mapsto\left(p\mapsto\sum_{i=1}^mF^i(p)\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p\right)\in\tau^1(M)[/mm]wobei
> [mm]x=\operatorname{id}_{\IR^m}[/mm] die Standart-Koordinaten auf
> [mm]\IR^m[/mm] sind.
> Dieses [mm]\Phi[/mm] is ein linearer Isomorphismus von
> (unendlich-dimensionalen Vektorräumen). Nun ist ja die
> Menge [mm]\mathcal{L}(\IR^m,\IR^m)[/mm] der linearen Endomorphismen
> auf [mm]\IR^m[/mm] eine Teilmenge von [mm]C^\infty(\IR^m,\IR^m)[/mm] und die
> Elemente aus [mm]\Phi(\mathcal{L}(\IR^m,\IR^m))[/mm] heißen lineare
> Vektorfelder, das sind also genau diejenigen Vektorfelder,
> die in den Standartkoordinaten die Form
>
> [mm]X(p)=\sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^ma_{ij}\cdot p^j\right)\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p[/mm]
>
> haben. In diesem Falle ist [mm]A=(a_{ij})_{1\le i,j\le m}[/mm] die
> Darstellungsmatrix des linearen Vektorfeldes [mm]X[/mm] und
> [mm]X^\dagger[/mm] bezeichnet das lineare Vektorfeld mit der
> Darstellungsmatrix [mm]A^\dagger:=A^T[/mm]. Und jetzt noch ein Tipp
> für deine Aufgabe: Ist [mm]X^\dagger=X[/mm], heißt das, dass die
> Darstellungsmatrix des linearen Vektorfeldes
> diagonalisierbar ist, was habt ihr dazu in der Vorlesung
> gemacht?
>
> Viele Grüße,
> Robert
Hallo Robert,
ich verstehe nicht, weshalb du auf die einfache Frage von
raubkaetzchen eine so geschwollene Antwort lieferst.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mo 10.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Weil die Frage auf meinem aktuellen "Analysis auf Mannigfaltigkeiten"-Blatt steht.
Gruß, Robert
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> Hallo,
>
> vielen Dank für den Hinweis Al-Chwarizmi.
> Eine Frage habe ich dann noch. Woran liegt es, dass wir
> das Vektorfeld X als matrix schreiben können?
> Ist das i.A. für Vektorfelder in [mm]\IR^n[/mm] möglich, oder ist
> mit "lineares Vektorfeld" genau diese Einschränkung auf
> Matrizen gemeint?
Ja, genau dies ist mit "lineares Vektorfeld" gemeint.
Speziell zur konkreten Aufgabe schau dir vielleicht noch
![[]](/images/popup.gif) dies an !
LG Al-Chw.
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