Vektorenberechnung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen:
Schreib in zwei Wochen eine wichtige Matheklausur und wollt deshalb nachfragen, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe?
Vielen Dank im Vorraus.
Gegeben sind drei Vektoren [mm] (\vec{e}_{i}: [/mm] kartesische Basisvektoren, a,b [mm] \in \IR{0}))
[/mm]
[mm] \vec{u}= 3b\vec{e_{1}} [/mm] - [mm] a\vec{e_{2}} [/mm] + [mm] 2a\vec{e_{3}}
[/mm]
[mm] \vec{v}= -a\vec{e_{1}} +2b\vec{e_{2}} +\vec{e_{3}}
[/mm]
[mm] \vec{w}= -b\vec{e_{1}} [/mm] - [mm] b\vec{e_{3}}
[/mm]
a) Berechnen Sie das vektorielle Produkt der Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v}
[/mm]
b) Setzen Sie a = b und berechnen Sie [mm] (\vec{u} \times \vec{v}) [/mm] * [mm] \vec{w}
[/mm]
c) Setzen Sie a = b = 1 und berechnen Sie alle [mm] {\alpha,\beta, \gamma}, [/mm] die die Beziehung [mm] \alpha \vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
a) [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2}\\a_{3}}\times\vektor{b_{1} \\ b_{2}\\b_{3}}=\vektor{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3} \\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}=\vektor{c_{1} \\ c_{2}\\c_{3}}
[/mm]
[mm] =\vektor{(-a*1)-(2a-2b) \\ (2*(-a))-(3b*1)\\(3b*2b)-(-a*(-a))}
[/mm]
[mm] =\vektor{-a-4ab \\ -2a-3b \\ 6^{2}-a^{2}}
[/mm]
b)Das einzige, was ich nicht verstehe ist das gleichsetzen von a und b? Daraufhin berechne ich das Spatprodukt.
c) Überhaupt kein Plan?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mi 24.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen:
>
> Schreib in zwei Wochen eine wichtige Matheklausur und wollt
> deshalb nachfragen, ob ich die Aufgaben richtig gelöst
> habe?
>
> Vielen Dank im Vorraus.
>
> Gegeben sind drei Vektoren [mm](\vec{e}_{i}:[/mm] kartesische
> Basisvektoren, a,b [mm]\in \IR{0}))[/mm]
>
> [mm]\vec{u}= 3b\vec{e_{1}}[/mm] - [mm]a\vec{e_{2}}[/mm] + [mm]2a\vec{e_{3}}[/mm]
>
> [mm]\vec{v}= -a\vec{e_{1}} +2b\vec{e_{2}} +\vec{e_{3}}[/mm]
>
> [mm]\vec{w}= -b\vec{e_{1}}[/mm] - [mm]b\vec{e_{3}}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie das vektorielle Produkt der Vektoren
> [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm]
> b) Setzen Sie a = b und berechnen Sie [mm](\vec{u} \times \vec{v})[/mm]
> * [mm]\vec{w}[/mm]
> c) Setzen Sie a = b = 1 und berechnen Sie alle
> [mm]{\alpha,\beta, \gamma},[/mm] die die Beziehung [mm]\alpha \vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> a) [mm]\vec{a}\times\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{a_{1} \\ a_{2}\\a_{3}}\times\vektor{b_{1} \\ b_{2}\\b_{3}}=\vektor{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3} \\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}=\vektor{c_{1} \\ c_{2}\\c_{3}}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{(-a*1)-(2a-2b) \\ (2*(-a))-(3b*1)\\(3b*2b)-(-a*(-a))}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{-a-4ab \\ -2a-3b \\ 6^{2}-a^{2}}[/mm]
was machst du denn da, du sollst doch das kreuzprodukt von [mm] \vec{u}\times\vec{v} [/mm] berechnen und nicht die skalare a und b multiplizieren.
>
> b)Das einzige, was ich nicht verstehe ist das gleichsetzen
> von a und b? Daraufhin berechne ich das Spatprodukt.
da hast du dein problem wieder!
mit a = b = 1 habe ich:
[mm](\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=\vektor{-4a²-a\\-2a²-3a\\5a²}\cdot\vektor{-1\\0\\-1}=a-a²[/mm]
>
> c) Überhaupt kein Plan?
du sollst prüfen, ob bzw. wann die 3 vektoren linear abhängig sind.
einsetzen und zusammenfassen ergibt:
[mm] \vec{e_1}(3\alhpa-\beta-\gamma)+\vec{e_2}(......=0
[/mm]
da die basis l.ua. ist, müssen die 3 klammerausdrücke NULL sein, was ergibt
[mm] \alpha= 2\beta, \gamma=5\beta [/mm] mit [mm] \beta\in\IR
[/mm]
soweit ich mich nicht vertan habe
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich bins nochmal.
Wollt fragen, ob dass so richtig ist, bis auf Aufgabe c), die ich leider immer noch nicht verstehe.
Danke im Vorraus.
[mm] \vec{u}= 3b\vec{e_{1}}-a\vec{e_{2}}+ 2a\vec{e_{3}} [/mm]
>
> $ [mm] \vec{v}= -a\vec{e_{1}} +2b\vec{e_{2}} +\vec{e_{3}} [/mm] $
>
> $ [mm] \vec{w}= -b\vec{e_{1}} [/mm] $ - $ [mm] b\vec{e_{3}} [/mm] $
>
> a) Berechnen Sie das vektorielle Produkt der Vektoren
> $ [mm] \vec{u} [/mm] $ und $ [mm] \vec{v} [/mm] $
> b) Setzen Sie a = b und berechnen Sie [mm] (\vec{u}\times\vec{v})*\vec{w} [/mm]
> c) Setzen Sie a = b = 1 und berechnen Sie alle
> $ [mm] {\alpha,\beta, \gamma}, [/mm] $ die die Beziehung $ [mm] \alpha \vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w} [/mm] > = $ [mm] \vec{0} [/mm] $
>
> a) $ [mm] \vec{u}\times\vec{v} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{u_{1} \\ a_{u}\\u_{3}}\times\vektor{v_{1} \\ v_{2}\\v_{3}}=\vektor{u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3} \\u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}=\vektor{c_{1} \\ c_{2}\\c_{3}} [/mm] $
>
> $ [mm] =\vektor{(-u\cdot{}1)-(2u*2v) \\ (2u\cdot{}(-u))-(3v\cdot{}1)\\(3v\cdot{}2v)-(-u\cdot{}(-u))} [/mm] $
>
> [mm] =\vektor{-u-4uv \\ -2u^{2}-3v \\ 6u^{2}-u^{2}} [/mm]
[mm] (\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w})=\vektor{-4a²-a\\-2a²-3a\\5a²}\cdot\vektor{-1\\0\\-1}=a-a^{2}
[/mm]
Leider hab ich die c) immer noch nicht verstanden.
Ich weiss, dass das Ergebnis linear abhängig sein soll. Doch die Aufgabenstellung versteh ich einfach nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Hallo!
>
> Ich bins nochmal.
>
> Wollt fragen, ob dass so richtig ist, bis auf Aufgabe c),
> die ich leider immer noch nicht verstehe.
>
> Leider hab ich die c) immer noch nicht verstanden.
> Ich weiss, dass das Ergebnis linear abhängig sein soll.
> Doch die Aufgabenstellung versteh ich einfach nicht
du sollst überprüfen mit welchen [mm] \alpha,\beta, \gamma [/mm] (, soferne es solche gibt) die 3 vektoren linear abhängig sind.
dazu mußt du nun für sie einsetzen gemäß definition, siehe oben:
[mm] \alpha(3\vec{e_{1}}-\vec{e_{2}}+ 2\vec{e_{3}})+\beta( -\vec{e}_1 +2\vec{e_{2}} +\vec{e_{3}})+\gamma(-\vec{e_{1}} [/mm] - [mm] \vec{e_{3}})=\vec{o}
[/mm]
nun "sortierst" du nach den basisvektoren :
[mm] \vec{e}_1(3\alpha-\beta-\gamma)+\vec{e}_2(-\alpha+2\beta)+\vec{e}_3(2\alpha+\beta-\gamma)=\vec{o}
[/mm]
und da die basisvektoren definitionsgemäß linear unabhängig sind, müssen die 3 klammerausdrücke identisch null sein, und durch nullsetzen bekommst du
[mm] \alpha=2\beta [/mm] , [mm] \gamma=5\beta [/mm] mit [mm] \beta \in\IR.
[/mm]
zu mehr reicht es bei mir auch nicht.
der rest scheint mir richtig zu sein!
nur am rande:
ich habe auch das vektorprodukt einfach durch einsetzen berechnet, was mir etwas weniger fehleranfällig/aufwendig scheint mit [mm] \vec{e}_i\times\vec{e}_i=\vec{o} [/mm] und [mm] \vec{e}_i\times\vec{e}_j=\vec{e}_k.
[/mm]
|
|
|
|
