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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Do 01.11.2012 | | Autor: | lady112 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte P1(2;-1;0) P2(4;0;5) und P3(-2;4;4), die auf der Ebene E liegen.
a) Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die senkrecht auf E steht und durch den Punkt (8;9;0) verläuft.
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von E und h. |
Hallo ihr Lieben :)
ich bräuchte bitte Hilfe bei der Aufstellung der Gleichung der Geraden.
Ich habe mit den Punkten jetzt die Gleichung der Ebene bestimmt:
-3x - 4y + 2z + 2 = 0
bei der Geradengleichung habe ich folgende Formel:
h: [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] = [mm]\vec x[/mm] = $ [mm] \vec {0P_1} [/mm] $ + S * $ [mm] \vec {P_1P_2}$
[/mm]
(sorry, ich bekomme irgendwie den Vektorpfeil nicht über das gesamte [mm] 0P_1 [/mm] und [mm] P_1P_2)
[/mm]
Bei der Formel brauche ich ja aber 2 gegebene Punkte. Ich habe ja nur einen. Da E und h ja orthogonal sind, kann ich dann einfach einen Punkt aus E nehmen? Wenn ja, welchen? Ist das egal? Oder gibt es eine andere Formel, um h mit nur einem Punkt zu berechnen?
Unser Professor hat uns mit der Aufgabe völlig allein gelassen. Google hilft mir aber auch nicht weiter :/
Danke schonmal für eure Mühe :)
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt :)
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> Gegeben seien die Punkte P1(2;-1;0)
> P2(4;0;5) und P3(-2;4;4), die auf der
> Ebene E liegen.
> a) Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die senkrecht
> auf E steht und durch den Punkt (8;9;0) verläuft.
> b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von E und h.
> Hallo ihr Lieben :)
>
> ich bräuchte bitte Hilfe bei der Aufstellung der Gleichung
> der Geraden.
>
> Ich habe mit den Punkten jetzt die Gleichung der Ebene
> bestimmt:
> -3x - 4y + 2z + 2 = 0
>
> bei der Geradengleichung habe ich folgende Formel:
> h: [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\vec x[/mm] =
> [mm]\vec {0P_1}[/mm] + S * [mm]\vec {P_1P_2}[/mm]
>
> (sorry, ich bekomme irgendwie den Vektorpfeil nicht über
> das gesamte [mm]0P_1[/mm] und [mm]P_1P_2)[/mm]
Das geht so: [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}$ [/mm] ( <--- drauf klicken !)
> Bei der Formel brauche ich ja aber 2 gegebene Punkte. Ich
> habe ja nur einen. Da E und h ja orthogonal sind, kann ich
> dann einfach einen Punkt aus E nehmen? Wenn ja, welchen?
> Ist das egal? Oder gibt es eine andere Formel, um h mit nur
> einem Punkt zu berechnen?
Hallo lady112,
du hast die Ebenengleichung richtig aufgestellt. Daraus lässt
sich ganz leicht ein Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] für diese ablesen.
Um die Normalengleichung für h aufzustellen, nimmst du
diesen Vektor [mm] \vec{n} [/mm] als Richtungsvektor und den Punkt (8;9;0)
als Startpunkt.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:28 Fr 02.11.2012 | | Autor: | lady112 |
danke schonmal :)
ich habe dann:
$ [mm] \overrightarrow{n} [/mm] $ = [mm] \vektor{-3 \\ -4\\ 2}
[/mm]
also dann mit der Formel:
$ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = $ [mm] \overrightarrow{0S} [/mm] $ * [mm] P_S [/mm] * $ [mm] \overrightarrow{S \overrightarrow{n}} [/mm] $
h: [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] = $ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = [mm] \vektor{8 \\ 9 \\ 0 } [/mm] * [mm] P_S [/mm] * [mm] \vektor{-11 \\ -13 \\ 2 }
[/mm]
x = 8 - [mm] 11P_S
[/mm]
y = 9 - [mm] 13P_S
[/mm]
z = 0 + [mm] 2P_S
[/mm]
das setze ich dann in die Ebenengleichung ein
[mm] -3(8-11P_S) [/mm] - [mm] 4(9-13P_S) [/mm] + [mm] 2(0+2P_S) [/mm] + 2 = 0
wenn ich das nach [mm] P_S [/mm] umgestellt habe bekomme ich:
[mm] P_S [/mm] = [mm] \bruch{58}{89}
[/mm]
(das ist ja schonmal ein nicht so ganz zufriedenstellendes Ergebnis :/)
Und der Schnittpunkt ist somit: [mm] P_S (\bruch{74}{89};\bruch{47}{89};\bruch{116}{89})
[/mm]
--> Das Ergebnis ist doch nicht richtig, oder? Könnt ihr mir sagen, wo der Fehler steckt? Ich finde es einfach nicht..
Und dann fehlt mir noch die Geradengleichung. Wie und wo kann ich die aus den ganzen Zahlen ablesen bzw ausrechnen?
DANKE für eure Mühe :):):)
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Hallo,
> danke schonmal :)
>
> ich habe dann:
>
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\
-4\\
2}[/mm]
>
Das ist soweit richtig, jedoch könnte man noch den Faktor -1 herausziehen, um ein 'schöneres' Ergebnis zu haben.
> also dann mit der Formel:
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{0S}[/mm] * [mm]P_S[/mm] *
> [mm]\overrightarrow{S \overrightarrow{n}}[/mm]
Also für diese Formel hätte ich gerne eine Quellenangabe, da ich sie noch niemals gesehen habe. 
Richtig sieht das so aus:
h: [mm] \vec{x}=\vec{s}+k*\vec{r}
[/mm]
wobei s ein Punkt auf der Geraden und r ihre Richtung ist. Du kannst hier also einfach einen den gegebenen Punkt ohne Namen (8|9|0) und den ermittelten Normalenvektor verwenden. Insbesondere ist deine weitere Rechnung falsch.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Fr 02.11.2012 | | Autor: | lady112 |
>
> Richtig sieht das so aus:
>
> h: [mm]\vec{x}=\vec{s}+k*\vec{r}[/mm]
sorry, sollte auch ein plus sein und kein mal :)
und den rest der Formel habe ich nur für mich so umbenannt, damit ich weiß was ich einsetzen muss. aber dann habe ich wohl was falsch notiert.
>
> wobei s ein Punkt auf der Geraden und r ihre Richtung ist.
> Du kannst hier also einfach einen den gegebenen Punkt ohne
> Namen (8|9|0) und den ermittelten Normalenvektor verwenden.
> Insbesondere ist deine weitere Rechnung falsch.
>
>
> Gruß, Diophant
>
also habe ich dann:
$ [mm] \vec{x}=\vektor{8 \\ 9 \\ 0}+k\cdot{}\vektor{3 \\ 4 \\ -2}
[/mm]
x= 8 + 3k
y= 9 + 4k
z= 0 - 2k
3(8 + 3k) + 4(9 + 4k) - 2(0 - 2k) +2 = 0
k = - [mm] \bruch{62}{29}
[/mm]
--> ist ja aber auch nicht richtig, oder?
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Hallo,
> 3(8 + 3k) + 4(9 + 4k) - 2(0 - 2k) +2 = 0
>
> k = - [mm]\bruch{62}{29}[/mm]
>
>
> --> ist ja aber auch nicht richtig, oder?
>
nicht ganz, aber es ist nur noch ein kleiner Vorzeichenfehler drin. Vor der zweiten Klammer muss vor der 4 ein Minus an Stelle des Pluszeichens stehen.
Das hilft aber leider auch nicht zu einem schöneren Ergebnis. Ich bekomme
[mm] k=\bruch{14}{29}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Fr 02.11.2012 | | Autor: | lady112 |
> Hallo,
>
>
> > 3(8 + 3k) + 4(9 + 4k) - 2(0 - 2k) +2 = 0
> >
> > k = - [mm]\bruch{62}{29}[/mm]
> >
> >
> > --> ist ja aber auch nicht richtig, oder?
> >
>
> nicht ganz, aber es ist nur noch ein kleiner
> Vorzeichenfehler drin. Vor der zweiten Klammer muss vor der
> 4 ein Minus an Stelle des Pluszeichens stehen.
Wieso ein Minus? Ich habe folgende Ebenengleichung:
-3x - 4y + 2z + 2 = 0
also [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
und wenn ich *(-1) noch rechnen sollte, dann bekomme ich doch
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -2}
[/mm]
ich bin leicht verwirrt..
>
> Das hilft aber leider auch nicht zu einem schöneren
> Ergebnis. Ich bekomme
>
> [mm]k=\bruch{14}{29}[/mm]
>
>
> Gruß, Diophant
und danke schonmal!
wenn ich dann mit [mm]k=\bruch{14}{29}[/mm] meinen Schnittpunkt ausrechne bekomme ich
[mm] P_S [/mm] = [mm] (\bruch{274}{29};\bruch{205}{29};- \bruch{28}{29})
[/mm]
Und wie bekomm ich daraus jetzt die Geradengleichung?
DANKE :):)
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> >
> > > 3(8 + 3k) + 4(9 + 4k) - 2(0 - 2k) +2 = 0
> > >
> > > k = - [mm]\bruch{62}{29}[/mm]
> > >
> > >
> > > --> ist ja aber auch nicht richtig, oder?
> > >
> >
> > nicht ganz, aber es ist nur noch ein kleiner
> > Vorzeichenfehler drin. Vor der zweiten Klammer muss vor der
> > 4 ein Minus an Stelle des Pluszeichens stehen.
>
> Wieso ein Minus? Ich habe folgende Ebenengleichung:
> -3x - 4y + 2z + 2 = 0
> also [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\
-4 \\
2}[/mm]
> und wenn
> ich *(-1) noch rechnen sollte, dann bekomme ich doch
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\
4 \\
-2}[/mm]
> ich bin leicht
> verwirrt..
Ja sorry. Da habe ich mich vertan. Dein ursprüngliches k war dann aber totzdem falsch.
> wenn ich dann mit [mm]k=\bruch{14}{29}[/mm] meinen Schnittpunkt
> ausrechne bekomme ich
> [mm]P_S[/mm] = [mm](\bruch{274}{29};\bruch{205}{29};- \bruch{28}{29})[/mm]
>
> Und wie bekomm ich daraus jetzt die Geradengleichung?
auf welche Geradengleichung, die hast du doch längst?
Rechne dein k nochmal richtig aus. Als Tipp: beim richtigen Ergebnis steht im Nenner eine 3.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Fr 02.11.2012 | | Autor: | lady112 |
>
> auf welche Geradengleichung, die hast du doch längst?
In der Aufgabe steht, ich soll die Gleichung der Geraden h angeben. Welche ist das denn?
>
> Rechne dein k nochmal richtig aus. Als Tipp: beim richtigen
> Ergebnis steht im Nenner eine 3.
>
>
> Gruß, Diophant
-3(8 + 3k) - 4(9 + 4k) + 2(0 - 2k) + 2 = 0
-24 - 9k - 36 - 16k - 4k + 2 = 0
-58 - 29k = 0
-29k = 58
k = -2
Ist zwar kein Bruch mit einer 3 im Nenner, aber ein tolles Ergebnis :) Ich hoffe, es ist jetzt richtig :/
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Hallo,
> k = -2
> Ist zwar kein Bruch mit einer 3 im Nenner, aber ein tolles
> Ergebnis :) Ich hoffe, es ist jetzt richtig :/
>
Ja, ist halt auch bei mir noch früh am Morgen. 
Jetzt ist das k richtig. Und nochmals: du hast doch die Gleichung von h längst aufgestellt, in die Ebenengleichung eingesetzt und bist dabei, den gesuchten Schnittpunkt zu berechnen.
Man könnte auch so sagen: du hast das Schild Bitte nicht weiterklettern, Baum hier zu Ende! übersehen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Fr 02.11.2012 | | Autor: | lady112 |
Okay, vielen Dank!
Für Mathe ist es für mich wohl immer zu früh :D
Danke und ein schönes Wochenende :)
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