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| Aufgabe | Es seien die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }, v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 1 } [/mm] des [mm] \IR [/mm] - Vektorraumes [mm] \IR^{4} [/mm] gegeben.
a) Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes < [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} [/mm] >.
b) Liegt der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] in < [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} [/mm] > ?
c) Ergänzen Sie die in a) gefundene Basis von < [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} [/mm] > zu einer Basis des [mm] \IR^{4} [/mm] . |
Hallo zusammen !
Also soweit nun die Aufgabe !
zu a) Also als erstes untersuche ich das auf lineare Unabhängigkeit (hab ich gemacht), und dann
erkennt man das die Vektoren linear abhängig sind. Also gibt es mindestens einen "überflüssigen" Vektor, den man streichen kann.
Ok, streich ma mal den Vektor [mm] v_{4}. [/mm] Sind dann die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] beispielsweise schon eine Basis ? Oder wie überpüfe ich das dann ? Wieder mit linearer Unabhängigkeit ?
zu b) Klingt zwar irgendwie einfach, aber anscheinend hab ichn Brett vorm Kopf, hab nicht mal nen Hauch von Ahnung wie das geht ? Setz ich den Vektor einfach in mein lineares Gleichungssystem ein ?
zu c) Naja, ich muss hier einen Vektor suchen, der dann zusammen mit den übrigen Vektoren wieder linear unabhängig ist. Dazu fehlt mir aber Aufgabe a) .
Wäre nett, wenn mir dabei einer ein bisschen unter die Arme greifen könnte !
Dankeschön schon mal jetzt !
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Hallo Julchen01!
> Es seien die Vektoren [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }, v_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }, v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }, v_{4}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 1 }[/mm] des [mm]\IR[/mm] - Vektorraumes
> [mm]\IR^{4}[/mm] gegeben.
>
> a) Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes < [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}[/mm]
> >.
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> b) Liegt der Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] in < [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}[/mm]
> > ?
>
> c) Ergänzen Sie die in a) gefundene Basis von < [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}[/mm]
> > zu einer Basis des [mm]\IR^{4}[/mm] .
> Hallo zusammen !
>
> Also soweit nun die Aufgabe !
>
> zu a) Also als erstes untersuche ich das auf lineare
> Unabhängigkeit (hab ich gemacht), und dann
> erkennt man das die Vektoren linear abhängig sind. Also
> gibt es mindestens einen "überflüssigen" Vektor, den man
> streichen kann.
Hab' die Abhängigkeit jetzt nicht nachgerechnet, aber anosnsten ist das: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Ok, streich ma mal den Vektor [mm]v_{4}.[/mm] Sind dann die Vektoren
> [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}[/mm] beispielsweise schon eine Basis ? Oder
> wie überpüfe ich das dann ? Wieder mit linearer
> Unabhängigkeit ?
Genau, wieder mit linearer Unabhängigkeit. Siehe dazu auch meine gerade geschriebene Antwort hier.
> zu b) Klingt zwar irgendwie einfach, aber anscheinend hab
> ichn Brett vorm Kopf, hab nicht mal nen Hauch von Ahnung
> wie das geht ? Setz ich den Vektor einfach in mein lineares
> Gleichungssystem ein ?
Ja, so könnte man es nennen, und zwar als rechte Seite. Du nimmst dir also deine z. B. drei Basisvektoren [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] und den gegebenen Vektor als rechte Seite und löst dann:
[mm] a*b_1+b*b_2+c*b_3=\vektor{1\\1\\1\\1}.
[/mm]
Erhältst du eine Lösung, so liegt er drin, ansonsten nicht. 
> zu c) Naja, ich muss hier einen Vektor suchen, der dann
> zusammen mit den übrigen Vektoren wieder linear unabhängig
> ist. Dazu fehlt mir aber Aufgabe a) .
Genau, aber dieser Vektor muss dann auch "die fehlende Komponente" erzeugen, so dass er wirklich eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ist. Schaffst du das dann, wenn du Aufgabe a) hast?
> Wäre nett, wenn mir dabei einer ein bisschen unter die Arme
> greifen könnte !
Aber gerne, wo du dir schon so schön Gedanken gemacht hast.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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