Vektordrehung im R^3 < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Eddy55 |
| Aufgabe | Gegeben ist der Vektor v (1,3,5) im [mm] R^3.
[/mm]
Drehen Sie v in die z-Achse!
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Der Kosinus zwischen den 3 Koordinatenachsen ist natürlich leicht berechenbar . Wie kann man diesen Vektor in die z-Achse drehen? Brauch man da zwingend Eulerwinkel/Drehmatrizen oder geht das auch über eine einzige Rotation?
Mein Hauptproblem besteht vor allem in der Reihenfolge der nötigen Rotationen!(Falls überhaupt mehrere nötig sind)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Wenn dies die einzige Aufgabe ist, die du hast, kannst du das viel einfacher angehen: Du benötigst dann ja nur einen Vektor in z-Richtung, der die gleiche Länge hat, wie dein Vektor.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Eddy55 |
 Da hast du natürlich recht! Ich soll das Problem aber mittels Rotation bzw. Drehmatrizen lösen! Habe auf Wikipedia auch über Quaternionen nachgelesen, aber damit noch keine Ehrfarung. Geht es damit deiner Meinung nach mathematisch schöner? Lieber wäre mir aber ein Tipp zu den Drehmatrizen! Danke im voraus
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Zuerst einmal ist es möglich, dass du eine Ebene findest, auf der sowohl v als auch z liegen, wobei z auf der z-Achse sein soll.
A = [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha } [/mm] ist die Drehmatrix im Bezugsystem einer Ebene, also in diesem Fall die Matrix im Bezugssystem {v, z}.
Wenn du nun die Drehmatrix B im Bezug auf [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] haben möchtest, musst du einen Basiswechsel durchführen. Die Formel zur Bestimmung der neuen Matrix B lautet B = [mm] V*B*V^{-1}. [/mm] Sobald du diese bestimmt hast, setzt du einfach den Winkel zwischen v und z ein in die Matrix.
Hoffentlich habe ich dir damit helfen können, genau das Thema haben wir nämlich auch momentan.
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> Gegeben ist der Vektor v (1,3,5) im [mm]R^3.[/mm]
> Drehen Sie v in die z-Achse!
>
> Wie kann man diesen Vektor in die
> z-Achse drehen? Brauch man da zwingend
> Eulerwinkel/Drehmatrizen oder geht das auch über eine
> einzige Rotation?
Es ist rechnerisch einfacher und dem Verständnis
eher entgegenkommend, elementare Drehungen
zusammenzusetzen als eine Drehung um eine
allgemeine Achse zu beschreiben. Hat man die
entsprechenden Formeln aber einmal aufgestellt,
kann man sie natürlich verwenden und z.B. so
programmieren, dass man nur noch das Objekt,
die Drehachse und den Drehwinkel definieren
muss, um die Rotation auszuführen.
> Mein Hauptproblem besteht vor allem in der Reihenfolge der
> nötigen Rotationen!(Falls überhaupt mehrere nötig sind)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wenn du schon die Eulerwinkel ansprichst, geht es wohl
darum, die Drehung auf elementare Drehungen um die
Koordinatenachsen zurückzuführen.
Im entsprechenden ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel findet man z.B. die
x-Konvention (Z,X,Z):
Zuerst wird um einen Winkel [mm] \Psi [/mm] um die z-Achse des globalen
Koordinatensystems (Z) gedreht. Es folgt eine Rotation um den
Winkel [mm] \Theta [/mm] um die neue x-Achse (X') und schließlich um den
Winkel [mm] \Phi [/mm] um die nach den beiden vorherigen Drehungen
erhaltene z-Achse Z''.
Bemerkung:
Laut Wiki-Artikel gibt es offenbar bei den Eulerwinkeln ein
ziemliches Gestrüpp von unterschiedlichen Konventionen.
Das rührt daher, dass die einen von Drehungen eines
Objektes in einem Koordinatensystem sprechen, die anderen
von Drehungen des Koordinatensystems. Ferner sind die
Reihenfolgen der Drehungen nicht generell geregelt...
Deshalb ziehe ich eine andere Methode vor, nämlich
eine Folge von Drehungen des Objektes, hier also des
Vektors v, bezüglich des gegebenen Koordinatensystems.
Ich glaube, dies entspricht der Methode der "aktiven Drehung"
nach dem anderen Wiki-Artikel über Drehmatrizen.
In deinem Fall genügen zwei Drehungen. Mit der ersten
Drehmatrix [mm] D_1 [/mm] drehst du den Vektor v um die z-Achse
in einen Vektor [mm] v_1 [/mm] in der y-z-Ebene, mit der zweiten
Drehmatrix [mm] D_2 [/mm] diesen durch eine Rotation um die
x-Achse in den gesuchten Vektor auf der z-Achse.
Die gesuchte Drehmatrix D erhältst du dann als Produkt:
[mm] D=D_2*D_1
[/mm]
LG al-Chwarizmi
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