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| Aufgabe | Vektoranalysis
Berechnen Sie das Flußintegral
[mm] \integral\integral \vec{v} [/mm] d [mm] \vec{O}
[/mm]
des Vektorfeldes
[mm] \vec{v } [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3, \vec{v} [/mm] (x, y, z) [mm] =\vektor{ y + 1\\ xz \\
−sinh (x^2 + y^2) cos (z)}
[/mm]
über den Rand des Körpers
K = {(x, y, [mm] z)^T \in \IR^3 [/mm] 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \pi, [/mm] 0 [mm] \le x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] z }
(siehe Abbildung: Paraboloid) auf zwei verschiedene Weisen:
(a) Mit dem Gaußschen Integralsatz
(b) Ohne den Gaußschen Integralsatz |
Hallo,
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt!
mein problem ist hierbei wie immer der ansatz. ich verstehe das mit der parametriesierung einfach nicht so ganz, deswegen fehlen mir immer die grenzen und ich kann die aufgabe nicht lösen...
mein ansatz wäre bei aufg. b):
die parametrisierung [mm] \vec{\gamma} (\alpha,\beta) [/mm] = [mm] \vektor{ a* cos\alpha *cos\beta \\ b *sin\alpha *cos\beta \\ c *sin\beta}
[/mm]
mit 0 [mm] \le \alpha \le 2\pi [/mm] und 0 [mm] \le \beta \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
und a=1, b=1, c= 2
andererseits könnte ja auch evtl ohne winkel parametrisiert werden, weiß aber nicht so recht wie ich darauf kommen soll...
muss bei aufgabe a auch parametriesiert werden?
wäre echt dankbar für ein bisschen hilfe:)
grüße
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ich bin leider immernoch nicht viel weiter gekommen:(, wenn mir nur jemand kurz sagen könnte wie die parametrisierung ist? und ob ich bei aufgabe a auch parametrisieren muss?
wär echt super...
danke!
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Bin jetzt soweit bei zylinderkoordinaten:
x= r [mm] *cos\alpha
[/mm]
y= r* [mm] sin\alpha
[/mm]
[mm] z=z=r^2
[/mm]
mit [mm] 0<\alpha<2\pi
[/mm]
0< z < [mm] \pi
[/mm]
0 < r < [mm] \wurzel{z}
[/mm]
wenn ich mit dem gausschen divergenz satz div [mm] \vec{v} [/mm] im integral stehen habe, komme ich auch nicht weiter.
[mm] div\vec{v} [/mm] = [mm] sinh(x^2+y^2)sin(z)
[/mm]
wenn ich dann die parametrisierung einsetze steht im integral noch [mm] sinh(r^2)*sin(r^2)..
[/mm]
das erscheint mir nicht besonders richtig:(
bräuchte dringend hilfe...
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mittlerweile bin ich soweit, dass bei aufgabe a ohne parametrisierung und bei b mit der parametrisierung meines letzten beitrages gerechnet wird..
ich komme jetzt auf ergebnisse mit sinh [mm] \pi...es [/mm] sind aber nicht die gleichen, sollten die ergebnisse von a und b gleicht sein?
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> mittlerweile bin ich soweit, dass bei aufgabe a ohne
> parametrisierung und bei b mit der parametrisierung meines
> letzten beitrages gerechnet wird..
Wie gesagt: Einmal Oberflächenintegral, einmal Volumenintegral. Ist dir der Unterschied klar?
> ich komme jetzt auf ergebnisse mit sinh [mm]\pi...es[/mm] sind aber
> nicht die gleichen, sollten die ergebnisse von a und b
> gleicht sein?
JA sie müssen identisch sein.
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> Bin jetzt soweit bei zylinderkoordinaten:
> x= r [mm]*cos\alpha[/mm]
> y= r* [mm]sin\alpha[/mm]
> [mm]z=z=r^2[/mm]
> mit [mm]0<\alpha<2\pi[/mm]
> 0< z < [mm]\pi[/mm]
> 0 < r < [mm]\wurzel{z}[/mm]
Zylinderkoordinaten sind hier der richtige Weg!
Allerdings hast du die Grenzen nicht richtig aufgestellt, denn es geht ja um ein Oberflächenintegral! Und da ist [mm] r=\sqrt{z}. [/mm] Die Grenzen für [mm] \alpha [/mm] und z sind richtig.
Hast du denn schon die Normale berechnet?? Denn [mm] $d\vec{O}=\vec{n}*dA$.
[/mm]
Dann kannst du das (Doppel-)Integral direkt berechnen.
> wenn ich mit dem gausschen divergenz satz div [mm]\vec{v}[/mm] im
> integral stehen habe, komme ich auch nicht weiter.
> [mm]div\vec{v}[/mm] = [mm]sinh(x^2+y^2)sin(z)[/mm]
> wenn ich dann die parametrisierung einsetze steht im
> integral noch [mm]sinh(r^2)*sin(r^2)..[/mm]
> das erscheint mir nicht besonders richtig:(
> bräuchte dringend hilfe...
Bedenke dass du jetzt ein Volumenintegral hast.
Aber vllt solltest du erstmal das ganze ohne Gauß zu Ende rechnen.
Gruß Patrick
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wozu muss ich eine normale berechnen? und welche?
in der definition stand das nirgendwo..
danke für die antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was denkst du denn, was [mm] d\vec{O} [/mm] ist? ein Vektor, der senkrecht auf der Oberfläche steht und den Betrag dA hat.
Gruss leduart
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ah, okay:) und das mache ich jetzt bei aufgabe a) oder? bei b) hab ich den normalenvektor ja in der definition denke ich mit dem kreuzprodukt...?
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was mache ich mit [mm] r*sinh(r^2)*cos(r^2) [/mm] im integral? davon bräuchte ich ne stmmfunktion bei aufgabe b..
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ähm, und wie berechne ich die normale?
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wie berechne ich die stammfunktion von r *sinh [mm] r^2*cosr^2...??
[/mm]
hilfee:(
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ich dachte bei a brauch ich keine parametrisierung, wie soll ich da den normalenvektor berechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Kugelkoordinaten sind Quatsch. Siehe andere Antwort.
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