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Hallo,
habe hier folgendes Lemma, über das ich nun länger schon am grübeln bin. Hoffe ihr könnt mir einen Hinweis geben wie ich dieses beweisen kann.
Sei [mm] 1
[mm] max\{d^Tx : ||x||_p \le k\} [/mm] = k [mm] ||d||_q
[/mm]
Prinzipiell würde mir genügen, den Fall p=q=2 zu beweisen.
Das einzige, dass mir dazu eingefallen ist, dass die obige Gleichung für den angegebenen Spezialfall p=q=2 die obige Gleichung erfüllt falls [mm] x=k\bruch{d}{||d||} [/mm] gilt.
Danke schon mal!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> habe hier folgendes Lemma, über das ich nun länger schon
> am grübeln bin. Hoffe ihr könnt mir einen Hinweis geben
> wie ich dieses beweisen kann.
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> Sei [mm]1
> 1. Dann gilt für alle d [mm]\in \IR^n:[/mm]
> [mm]max\{d^Tx : ||x||_p \le k\}[/mm]
> = k [mm]||d||_q[/mm]
ich denke es lautet so:
[mm]max\{d^Tx :x \in \IR^n , ||x||_p \le k\}=k*||d||_q[/mm]
>
> Prinzipiell würde mir genügen, den Fall p=q=2 zu
> beweisen.
> Das einzige, dass mir dazu eingefallen ist, dass die obige
> Gleichung für den angegebenen Spezialfall p=q=2 die obige
> Gleichung erfüllt falls [mm]x=k\bruch{d}{||d||}[/mm] gilt.
>
> Danke schon mal!
Ist x [mm] \in \IR^n [/mm] Mit [mm] $||x||_p \le [/mm] k$, so folgt mit der Hölderschen Ungleichung:
$d^Tx [mm] \le [/mm] |d^Tx| [mm] \le ||x||_p*||d||_q \le k*||d||_q$
[/mm]
Das Maximum wird in jedem x mit [mm] ||x||_p=k [/mm] angenommen.
Edit: das mit dem Max. ist Quatsch !
FRED
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>
> Gruß
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hi, danke dir für die prompte Antwort. Hätte aber noch folgende Frage: hab ich damit nicht lediglich gezeigt, dass das Maximum kleiner gleich dem rechten ausdruck ist.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 16.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi,
@fred: Was meinst du damit, dass Max völliger Quatsch ist? Beziehst du dich dabei auf meinen letzten Beitrag?
Ich erkenne hierin noch nicht die Gleichheit. Für mich ist damit lediglich gezeigt, dass die Ungleichung
$ [mm] max\{d^Tx :x \in \IR^n , ||x||_p \le k\}\le k\cdot{}||d||_q [/mm] $
gilt. Meiner Meinung nach muss bezüglich der Hölder-Ungleichung gezeigt werden, dass Gleichheit gilt, also dass:
$ d^Tx = [mm] ||x||_p\cdot{}||d||_q$.
[/mm]
Zur Hölder-Ungleichung habe ich jetzt noch folgenden Satz gefunden:
Gleichheit gilt genau dann, wenn es Konstanten [mm] \alpha\ge 0,\beta\ge [/mm] 0 gibt mit
[mm] \alpha x_i^p =\beta y_i^q
[/mm]
für alle i=1,2,...,n gibt.
Ich werde mir das jetzt in Ruhe etwas genauer anschauen, bin aber offen für Anregungen.
EDIT: Für den Fall von p=2, q=2 (der mir wie gesagt auch reichen würde) erhalten wir die Cauchy-Unglg. und wir haben es mit folgender Unglg.-Kette von fred zu tuen:
$ d^Tx [mm] \le [/mm] |d^Tx| [mm] \le [/mm] ||d^Tx|| [mm] \le ||d||\cdot [/mm] ||x||$
Die Cauchy-Ungleichung ist mit Gleichheit erfüllt, falls die Variablen d und x linear abhängig sind.
Zu zeigen bleibt noch, dass die beiden ersten Ungleichungen mit Gleichheit erfüllt sind, wenn man entsprechend x wählt. Für die erste Ungleichung $ d^Tx [mm] \le [/mm] |d^Tx| $ ist dies erfüllt, sofern x ein positives Vielfaches von d ist. Also wenn für eine Konstante [mm] s\in\IR [/mm] gilt: [mm] $x=s\cdot [/mm] d$.
Für die zweite Ungleichung |d^Tx| [mm] \le [/mm] ||d^Tx|| ist mir gerade erst jetzt aufgefallen, dass das so nicht stimmt. Korrekt lautet die Beziehung:
$ ||d^Tx|| [mm] \le [/mm] |d^Tx| $
...to be continued....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 17.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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