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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:38 Sa 27.06.2009 | | Autor: | manmath |
| Aufgabe | Man bestimme die Extremalen des Funktionals
F(u) = [mm] \integral_{0}^{2}{(1 + u(x)u'(x)^2) dx}
[/mm]
mit den folgenden Randbedingungen
(i) u(0) =u(2) = 1
(ii) nur u(0) = 1
(iii) keine |
Nach der Variationsrechnung muss man ja auf die Langrangefunktion L (die Funktion, die unter dem Integral steht) die Euler-Lagrange-Gleichungen anwenden und erhält eine DGL für die gesuchte Funktion u(x).
Leider schaffe ich es nicht, diese Gleichungen hier hineinzuschreiben, sie stehen aber überall und besagen in Worten: Die partielle Ableitung von L nach u ist gleich der vollständigen Ableitung nach x von der partiellen Ableitung von L nach u'.
Jedenfalls habe ich nach dieser (einfachen) Differentiation von L folgende DGL erhalten:
2u u'' + u'^{2}= 0 (2.Term soll u' zum Quadrat sein)
Hat jemand eine Idee, wie man diese (nichtlineare) DGL 2. Ordnung löst?
Meine Versuche: Ansatz u = [mm] e^{\lambda x} [/mm] geht irgendwie nicht, auch partielle Integration führt nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Sa 27.06.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hi... ich hab nicht viel ahnung davon und jetzt auch nich lange überlegt, aber kannste nich einfach mal u' substituieren? dann haste eine erster ordnung..
gruss
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Hallo,
> Man bestimme die Extremalen des Funktionals
>
> F(u) = [mm]\integral_{0}^{2}{(1 + u(x)u'(x)^2) dx}[/mm]
>
> mit den folgenden Randbedingungen
> (i) u(0) =u(2) = 1
> (ii) nur u(0) = 1
> (iii) keine
> Nach der Variationsrechnung muss man ja auf die
> Langrangefunktion L (die Funktion, die unter dem Integral
> steht) die Euler-Lagrange-Gleichungen anwenden und erhält
> eine DGL für die gesuchte Funktion u(x).
> Leider schaffe ich es nicht, diese Gleichungen hier
> hineinzuschreiben, sie stehen aber überall und besagen in
> Worten: Die partielle Ableitung von L nach u ist gleich der
> vollständigen Ableitung nach x von der partiellen Ableitung
> von L nach u'.
> Jedenfalls habe ich nach dieser (einfachen)
> Differentiation von L folgende DGL erhalten:
>
> 2u u'' + u'^{2}= 0 (2.Term soll u' zum Quadrat sein)
>
> Hat jemand eine Idee, wie man diese (nichtlineare) DGL 2.
> Ordnung löst?
> Meine Versuche: Ansatz u = [mm]e^{\lambda x}[/mm] geht irgendwie
> nicht, auch partielle Integration führt nicht weiter.
>
In der anderen Antwort war doch schon der Lösungsvorschlag: Substitution.
$2u u'' + [mm] (u')^{2}= [/mm] 0 $
$u'(x)=r(u(x))$
[mm] $u''(x)=\frac{dr}{du}*\frac{du}{dx}=r'(u)*r(u)$
[/mm]
[mm] $2*u*r'(u)*r(u)=-r(u)^2$
[/mm]
$2*u*r'=-r$
[mm] r(u)\not=0
[/mm]
Weiter mit Separation der Variablen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mi 01.07.2009 | | Autor: | manmath |
Danke für den Tip mit der Trennung der Variablen. Ergebnis:
u(x) = [mm] (\bruch{3}{2})^{\bruch{2}{3}}x^{\bruch{2}{3}}
[/mm]
Diese Funktion erfüllt die DGL - Konstanten muss man noch beachten über die Randbedingungen.
Leider konnte ich erst jetzt antworten, weil ich hier nicht hineinkam.
LG manmath
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