Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 14.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | DGL:
[mm]-15u(x)+3xu'(x)+x^2u''(x)=8x^-^3[/mm]
a)Geben Sie reelles Fundamentalsystem der zugeh. homogenen Differentialgleichung an
b)Berechnen einer partikulärer Lösung durch Variation der Konstanten
c)Geben Sie allgemeine Lösung der inhomogenen DGL an
S6A36 |
a) die homogene DGL ist eine Eulersche Differentialgleichung. Mein Rechenweg:
Zuerst eine Substitution [mm]u(x):=v(ln(x)):=v(t)[/mm] die jew. Ableitungen.
Dann eine Substitution mit [mm]v(t):=e^µ^t[/mm] bzw den jeweiligen Ableitungen. Die Nullstellen sind dann {-5,3} Durch Rücksubstitution führte das zu [mm]u(x)=c_1x^3+c_2x^-^5[/mm] , das Fundamentalsystem ist damit [mm]F={x^3,x^-^5}[/mm]
b) Da liegt mein Problem. Ich habe keine Ahnung.
Ein bisschen habe ich mal versucht:
[mm]u(x)=k_1(x)x^3+k_2(x)x^-^5[/mm] jetzt sind die Konstanten variabel.
[mm]u'(x)=k_1'(x)3x^2+k_1(x)3x+k_2'(x)x^-^5+k_2(x)(-5)x^-^6[/mm] Da es viele Lösungen gibt und man sich einschränken muss habe ich [mm]k_1'(x)x^3 + k_1'(x)x^3 = 0[/mm] angenommen.
Somit haben wir ein homogenes DGL: [mm]k_1'(x)x^3 + k_1'(x)x^3 = 0[/mm]
und ich glaube es müsste irgendwie möglich sein aus [mm]u'(x)=k_1(x)3x+k_2(x)(-5)x^-^6[/mm] (die anderen Summanden addieren sich auf 0) und der rechten Seite der DGL $8x^-^3$ eine zweite, homogene Lösung zu basteln.
c) für die allgemeine Lsg der inhomogenen Differentationslsg setze ich [mm] $k_1 [/mm] und [mm] k_2$ [/mm] , die ich jetzt ja eigentlich kenne, in [mm] $u(x)=k_1(x)x^3+k_2(x)x^-^5$ [/mm] ein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 14.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung von$x^2u''(x)-2u(x)=x$
Fundamentalsystem der homogenen DGL ist [mm] $F={x^2,x^-^1}$ [/mm] |
1. Konstanten variieren
[mm] $u(x)=k_1(x)x^2+k_2(x)x^-^1$
[/mm]
2. Ableiten um Gleichungen "herauszuhauen"
[mm] $u'(x)=k_1(x)2x-k_2(x)x^-^2 [/mm] + [mm] k_1'(x)x^2+k_2'(x)x^-^1$
[/mm]
Sei [mm] $k_1'(x)x^2+k_2'(x)x^-^1 [/mm] = 0$ dann [mm] $u'(x)=k_1(x)2x-k_2(x)x^-^2 [/mm] $
Mit [mm] $u''(x)=k_1'(x)2x-k_2'(x)x^-^2+2k_1'(x)+2k_2(x)x^-^3$
[/mm]
ergibt sich [mm] $2k_1'(x)x^3-k_2'(x) [/mm] =x$
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Hallo pppppp,
> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung von[mm]x^2u''(x)-2u(x)=x[/mm]
> Fundamentalsystem der homogenen DGL ist [mm]F={x^2,x^-^1}[/mm]
>
>
> 1. Konstanten variieren
>
> [mm]u(x)=k_1(x)x^2+k_2(x)x^-^1[/mm]
>
> 2. Ableiten um Gleichungen "herauszuhauen"
>
> [mm]u'(x)=k_1(x)2x-k_2(x)x^-^2 + k_1'(x)x^2+k_2'(x)x^-^1[/mm]
>
> Sei [mm]k_1'(x)x^2+k_2'(x)x^-^1 = 0[/mm] dann
> [mm]u'(x)=k_1(x)2x-k_2(x)x^-^2[/mm]
>
> Mit [mm]u''(x)=k_1'(x)2x-k_2'(x)x^-^2+2k_1'(x)+2k_2(x)x^-^3[/mm]
>
> ergibt sich [mm]2k_1'(x)x^3-k_2'(x) =x[/mm]
>
Ok, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo pppppp,
> DGL:
>
> [mm]-15u(x)+3xu'(x)+x^2u''(x)=8x^-^3[/mm]
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> a)Geben Sie reelles Fundamentalsystem der zugeh. homogenen
> Differentialgleichung an
>
> b)Berechnen einer partikulärer Lösung durch Variation der
> Konstanten
>
> c)Geben Sie allgemeine Lösung der inhomogenen DGL an
>
> a) die homogene DGL ist eine Eulersche
> Differentialgleichung. Mein Rechenweg:
> Zuerst eine Substitution [mm]u(x):=v(ln(x)):=v(t)[/mm] die jew.
> Ableitungen.
> Dann eine Substitution mit [mm]v(t):=e^µ^t[/mm] bzw den jeweiligen
> Ableitungen. Die Nullstellen sind dann {-5,3} Durch
> Rücksubstitution führte das zu [mm]u(x)=c_1x^3+c_2x^-^5[/mm] , das
> Fundamentalsystem ist damit [mm]F={x^3,x^-^5}[/mm]
>
> b) Da liegt mein Problem. Ich habe keine Ahnung.
>
> Ein bisschen habe ich mal versucht:
> [mm]u(x)=k_1(x)x^3+k_2(x)x^-^5[/mm] jetzt sind die Konstanten
> variabel.
> [mm]u'(x)=k_1'(x)3x^2+k_1(x)3x+k_2'(x)x^-^5+k_2(x)(-5)x^-^6[/mm] Da
> es viele Lösungen gibt und man sich einschränken muss
> habe ich [mm]k_1'(x)x^3 + k_1'(x)x^3 = 0[/mm] angenommen.
> Somit haben wir ein homogenes DGL: [mm]k_1'(x)x^3 + k_1'(x)x^3 = 0[/mm]
>
> und ich glaube es müsste irgendwie möglich sein aus
> [mm]u'(x)=k_1(x)3x+k_2(x)(-5)x^-^6[/mm] (die anderen Summanden
> addieren sich auf 0) und der rechten Seite der DGL [mm]8x^-^3[/mm]
> eine zweite, homogene Lösung zu basteln.
Wird die gegebene DGL nach der Substitution in ein
System von DGLn erster Ordnung überführt wird, dann kannst Du
wie gewohnt die Methode der Variation der Konstanten ermitteln.
Die gegeben DGL lautet nach der Substitution
[mm]u''+2*u'-15*u=8*e^{-3*t}[/mm]
Diese DGL wird in ein System 1. Ordnung überführt, in dem man
[mm]u=u_{1}[/mm]
[mm]u'=u_{1}'=u_{2}[/mm]
setzt, dann ergibt sich folgendes System:
[mm]\pmat{u_{1} \\ u_{2}}'=\pmat{0 & 1 \\ 15 & -2}*\pmat{u_{1} \\ u_{2}}+\pmat{0 \\ 8*e^{-3*t}}[/mm]
Das homogene System hat dann die Lösung:
[mm]u_{hom}\left(t\right)=c_{1}+\pmat{1 \\ 3}e^{3*t}+c_{2}*\pmat{1 \\ -5}e^{-5*t}[/mm]
Für die partikuläre Lösung wählst Du jetzt den Ansatz
[mm]u_{partikulaer}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)\pmat{1 \\ 3}e^{3*t}+c_{2}\left(t\right)*\pmat{1 \\ -5}e^{-5*t}[/mm]
Eingesetzt in das DGL-System ergibt dann
ein Gleichungssystem zur Bestimmung von [mm]c_{1}', \ c_{2}'[/mm]
>
> c) für die allgemeine Lsg der inhomogenen
> Differentationslsg setze ich [mm]k_1 und k_2[/mm] , die ich jetzt ja
> eigentlich kenne, in [mm]u(x)=k_1(x)x^3+k_2(x)x^-^5[/mm] ein
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mi 15.12.2010 | | Autor: | pppppp |
Hallo, mir raucht jetzt seit einer Stunde der Kopf, aber ein Funke will nicht so recht springen :-(
Vor meinem eigentlichen Problem 2 Verständnisfragen:
Die gegeben DGL lautet nach der Substitution
$ [mm] u''+2\cdot{}u'-15\cdot{}u=8\cdot{}e^{-3\cdot{}t} [/mm] $.
wäre rücksubstituiert
$ [mm] u''+2\cdot{}u'-15\cdot{}u=8x^{-3} [/mm] $
richtig? (würde auf ja tippen)
Die Lösung des homogenen Systemes lautet
$ [mm] u_{hom}\left(t\right)=c_{1}\pmat{1 \\ 3}e^{3\cdot{}t}+c_{2}\cdot{}\pmat{1 \\ -5}e^{-5\cdot{}t} [/mm] $
wenn ich das ausrechne erhalte ich die Lösung
$= [mm] c_1*1*e^3^t+c_1*3*e^3^t+c_2*1*e^-^5^t-c_2*5*e^-^5^t$
[/mm]
das ist aber falsch! und ich weiss nicht, wo mein Fehler liegt.
Jetzt zum Grund warum mein Kopf raucht: Ich finde keine Lösung wie ich den Ansatz für die partikuläre Lösung einsetzten könnte.
Eine Überlegung ist
[mm] $u_{homogen} [/mm] = [mm] u_1$ [/mm] und
[mm] $u_{partikulär} [/mm] = [mm] u_2$
[/mm]
zu setzen. Dann muss ich aber zuerst meinen Rechenfehler von oben finden bevor ich weiterrechnen kann.
Eine zweite Überlegung ist
[mm] $u_1 [/mm] = [mm] u_{partikulär}$ [/mm] und
[mm] $u_2= [/mm] u'_{partikulär}$
zu setzen. das halte ich für erfolgversprechender, aber der Ansatz für die partikuläre Lösung ist ja gleich definiert wie der Ansatz für die homogene- und ich rechne irgendwie die Vektoren falsch aus.
Viele Grüße Philipp
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Hallo pppppp,
>
> Hallo, mir raucht jetzt seit einer Stunde der Kopf, aber
> ein Funke will nicht so recht springen :-(
>
> Vor meinem eigentlichen Problem 2 Verständnisfragen:
>
>
> Die gegeben DGL lautet nach der Substitution
>
> [mm]u''+2\cdot{}u'-15\cdot{}u=8\cdot{}e^{-3\cdot{}t} [/mm].
>
> wäre rücksubstituiert
>
> [mm]u''+2\cdot{}u'-15\cdot{}u=8x^{-3}[/mm]
Lass die DGL, so wie oben stehen:
[mm]u''+2\cdot{}u'-15\cdot{}u=8\cdot{}e^{-3\cdot{}t} [/mm].
>
> richtig? (würde auf ja tippen)
>
>
> Die Lösung des homogenen Systemes lautet
>
> [mm]u_{hom}\left(t\right)=c_{1}\pmat{1 \\ 3}e^{3\cdot{}t}+c_{2}\cdot{}\pmat{1 \\ -5}e^{-5\cdot{}t}[/mm]
Das ist die Lösung von
[mm]u_{hom}\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) \\ u_{2}\left(t\right)}=c_{1}\pmat{1 \\ 3}e^{3\cdot{}t}+c_{2}\cdot{}\pmat{1 \\ -5}e^{-5\cdot{}t}[/mm]
>
> wenn ich das ausrechne erhalte ich die Lösung
>
> [mm]= c_1*1*e^3^t+c_1*3*e^3^t+c_2*1*e^-^5^t-c_2*5*e^-^5^t[/mm]
Um die DGL 2. Ordnung in ein System von DGLn 1. Ordnung umzuschreiben,
haben wir die Substitution [mm]u_{1}=u, \ u_{2}=u' [/mm] gewählt.
Danach ist [mm]u_{1}[/mm] die Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung:
[mm]u\left(t\right)=u_{1}\left(t\right)=c_{1}*e^{3*t}+c_{2}*e^{-5*t}[/mm]
>
> das ist aber falsch! und ich weiss nicht, wo mein Fehler
> liegt.
>
>
>
> Jetzt zum Grund warum mein Kopf raucht: Ich finde keine
> Lösung wie ich den Ansatz für die partikuläre Lösung
> einsetzten könnte.
>
> Eine Überlegung ist
>
> [mm]u_{homogen} = u_1[/mm] und
> [mm]u_{partikulär} = u_2[/mm]
>
> zu setzen. Dann muss ich aber zuerst meinen Rechenfehler
> von oben finden bevor ich weiterrechnen kann.
>
>
> Eine zweite Überlegung ist
>
> [mm]u_1 = u_{partikulär}[/mm] und
> [mm]u_2= u'_{partikulär}[/mm]
>
> zu setzen. das halte ich für erfolgversprechender, aber
> der Ansatz für die partikuläre Lösung ist ja gleich
> definiert wie der Ansatz für die homogene- und ich rechne
> irgendwie die Vektoren falsch aus.
>
Führe doch die Methode der Variation der Konstanten
bei dem System von DGLn 1. Ordnung durch.
>
> Viele Grüße Philipp
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
Ich habe mal die homogenen Lösung ausgerechnet:
[mm] u_{hom}\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) \\
u_{2}\left(t\right)}=c_{1}\pmat{1 \\
3}e^{3\cdot{}t}+c_{2}\cdot{}\pmat{1 \\
-5}e^{-5\cdot{}t} [/mm]
[mm] = c_1\cdot{}1\cdot{}e^3^t+c_1\cdot{}3\cdot{}e^3^t+c_2\cdot{}1\cdot{}e^-^5^t-c_2\cdot{}5\cdot{}e^-^5^t [/mm]
das ist nicht dasselbe wie die homogene Lösung vom Anfang der Diskussion:
[mm] u(x)=c_1x^3+c_2x^-^5 = c_1e^3^t+c_1e^-^5^t[/mm]
habe ich die Vektoren richtig aufgelöst?
Grüße Philipp
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Hallo pppppp,
>
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> Ich habe mal die homogenen Lösung ausgerechnet:
> [mm]u_{hom}\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) \\
u_{2}\left(t\right)}=c_{1}\pmat{1 \\
3}e^{3\cdot{}t}+c_{2}\cdot{}\pmat{1 \\
-5}e^{-5\cdot{}t}[/mm]
>
> [mm]= c_1\cdot{}1\cdot{}e^3^t+c_1\cdot{}3\cdot{}e^3^t+c_2\cdot{}1\cdot{}e^-^5^t-c_2\cdot{}5\cdot{}e^-^5^t[/mm]
>
> das ist nicht dasselbe wie die homogene Lösung vom Anfang
> der Diskussion:
>
> [mm]u(x)=c_1x^3+c_2x^-^5 = c_1e^3^t+c_1e^-^5^t[/mm]
>
> habe ich die Vektoren richtig aufgelöst?
Nein, weshalb siehe diesen Artikel.
>
> Grüße Philipp
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
"
Führe doch die Methode der Variation der Konstanten
bei dem System von DGLn 1. Ordnung durch. "
Ist das diese Methode:
$u(x) [mm] =u_1(x)$
[/mm]
[mm] $u'(x)=u_1(x)=u_2(x)$
[/mm]
[mm] $u''(x)=15u_1(x)-2u_1(x)+8e^-^3^t=15u_1(x)-2u_2(x)+8e^-^3^t$
[/mm]
?
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Hallo pppppp,
>
> "
> Führe doch die Methode der Variation der Konstanten
> bei dem System von DGLn 1. Ordnung durch. "
>
> Ist das diese Methode:
>
> [mm]u(x) =u_1(x)[/mm]
> [mm]u'(x)=u_1(x)=u_2(x)[/mm]
Hier muss es lauten
[mm]u'(x)=u_1'(x)=u_2(x)[/mm]
>
> [mm]u''(x)=15u_1(x)-2u_1(x)+8e^-^3^t=15u_1(x)-2u_2(x)+8e^-^3^t[/mm]
>
> ?
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Ja, beachte aber daß [mm]u_{1}, \ u_{2}[/mm] von t abhängig sind.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
Merci, dann werde ich mal loslegen!
Gruß
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