Variante Newtonverfahren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 01.06.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei f dreimal diffbar im Intervall [a,b]. [mm] x^{\*}\in(a,b) [/mm] sei zweifache Nullstelle, dass heißt [mm] f(x^{\*})=f'(x^{\*})=0\not=f''(x^{\*}).
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] x^{k+1}=x^k-2*\bruch{f(x^k)}{f'(x^k)}, [/mm] k=1,2,...,n
konvergiert, sofern [mm] x^0 [/mm] gut gewählt ist, gegen [mm] x^{\*} [/mm] |
Hi,
es scheint sich hier um eine Variante des Newtonverfahren zu handeln.
Da ich hier keinen Ansatz habe, dachte ich, ich nehme mir einfach mal eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften und "spiele" das einmal durch.
So z.B. [mm] g(x)=x^2. [/mm] Dann ist [mm] g'(x)=2\cdot{}x, [/mm] g''(x)=2 und g'''(x)=0
Fängt man dann an mit [mm] x^0=1, [/mm] erhält man:
[mm] x^1=x^0-2*\bruch{f(x^0)}{f'(x^0)}=1-2*\bruch{f(1)}{f'(1)}=1-2*\bruch{1}{2}=1-1=0
[/mm]
Da es sich hierbei um eine einfache Funktion handelt, wissen wir g(0)=g'(0)=0, aber ich mache mal weiter:
[mm] x^2=x^1-2*\bruch{f(x^1)}{f'(x^1)}=0-2*\bruch{0}{0}
[/mm]
Jetzt würde ich den Grenzwertsatz von L'hospital anwenden:
[mm] \limes_{x\rightarrow{0}}2*\bruch{f(x)}{f'(x)}=\limes_{x\rightarrow{0}}2*\bruch{2x}{2}=\limes_{x\rightarrow{0}}2x=0
[/mm]
Also:
[mm] x^2=x^1-2*\bruch{f(x^1)}{f'(x^1)}=0-0=0
[/mm]
Jetzt weiß ich [mm] x^{\*}=0 [/mm] erfüllt [mm] f(x^{\*})=x^{\*}.
[/mm]
Ich denke, dass ich auch in der Verallgemeinerung sicherlich den l'Hospital verwenden muss, aber wie mache ich das?
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich den Beweis führen kann?
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 So 01.06.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo barsch,
diesmal kann ich dir nicht ganz so kompetent weiterhelfen, aber die Aufgabe 24 ![[]](/images/popup.gif) hier dürfte dich weiterbringen.
Gruß,
Vreni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mo 02.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hallo Vreni,
das hilft mir auf alle Fälle weiter ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Danke.
MfG barsch
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