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| Aufgabe | | Das Schaubild der Funktion f(x)= [mm] \bruch{a}{x^{2}+b} [/mm] hat den Punkt W (1|1) als Wendepunkt. Bestimme a und b. |
Hallo Matheforum!
Habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe.
Was bisher geschah
Ich habe die erste und zweite Ableitungen bestimmt:
f'(x)= [mm] \bruch{2ax}{(x^{2}+b)^{2}}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{6ax^{4}+4abx^{2}-2ab^{2}}{(x^{2}+b)^{4}}
[/mm]
Sind die Abl. richtig?
Dann habe ich W(1|1) in f(x) eingesetzt:
1= [mm] \bruch{a}{1+b}
[/mm]
und somit
a= 1+b
Damit es sich bei W um ein Wendepunkt handelt, muss f''(1)=0 sein.
Also
[mm] 6ax^{4}+4abx^{2}-2ab^{2}=0
[/mm]
Für x=1 und für a= 1+b eingesetzt, gilt:
[mm] 2b^{3}+2b^{2}+10b+6= [/mm] 0
Und jetzt komme ich nicht mehr weiter. Mitternachtsformel kann ich ja nicht anwenden, wegen dem [mm] b^{3}. [/mm]
Meine Frage: Stimmt meine Rechnung soweit oder ist mir ein Fehler unterlaufen?
Wenn die Rechnung stimmt, wie komme ich dann auf "b"?
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte!
LG Eli
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Hallo,
[mm] f(x)=\bruch{a}{x^{2}+b}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-2ax}{(x^{2}+b)^{2}} [/mm] ist korrekt
f''(x) ist nicht korrekt
u=-2ax
u'=-2a
[mm] v=(x^{2}+b)^{2}
[/mm]
[mm] v'==2*(x^{2}+b)*2x=4x(x^{2}+b)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2a*(x^{2}+b)^{2}-(-2ax)*4x(x^{2}+b)}{(x^{2}+b)^{4}}
[/mm]
[mm] (x^{2}+b) [/mm] kürzen
[mm] f''(x)=\bruch{-2a*(x^{2}+b)+2ax*4x}{(x^{2}+b)^{3}}
[/mm]
Steffi
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Danke, Steffi!
Ich habe bei der 2. Abl im Zähler ausmultipliziert und da hat sich dann wohl der Fehler eingeschlichen!
Hab herzlichen Dank für die Mühe!!
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Ich bin auf deine f''(x) gekommen und habe weiter vereinfacht:
f''(x)= [mm] \bruch{-2a(x^{2}+b)+8ax^{2}}{((x^{2}+b)^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{6ax^{2}-2ab}{(x^{2}+b)^{3}}
[/mm]
Jetzt habe ich aber trotzdem ein Problem beim Ermitteln von a und b. Irgendwas muss bei meiner Rechnung nicht stimmen!
Durch f(1)= 1 bin ich ja auf
a= 1+b gekommen
Mit f''(1)= 0
komme ich auf
6a-2ab= 0
Für a dann (1+b) eingesetzt, ergibt es:
6(1+b)-2(1+b)b = 0
[mm] 2b^{2}+4b+6 [/mm] = 0
MNF: b= -4 [mm] \pm \bruch{\wurzel{16-48}}{4} [/mm] = -4/4 = -1
Damit wäre a= 1-1 = 0
und das kann nicht sein.
Was mach ich falsch?
Bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!
LG Eli
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> Ich bin auf deine f''(x) gekommen und habe weiter
> vereinfacht:
> f''(x)= [mm]\bruch{-2a(x^{2}+b)+8ax^{2}}{((x^{2}+b)^{3}}[/mm]
> = [mm]\bruch{6ax^{2}-2ab}{(x^{2}+b)^{3}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt habe ich aber trotzdem ein Problem beim Ermitteln von
> a und b. Irgendwas muss bei meiner Rechnung nicht stimmen!
Stimmt: stimmt nicht.
> Durch f(1)= 1 bin ich ja auf
> a= 1+b gekommen
>
>
> Mit f''(1)= 0
> komme ich auf
>
> 6a-2ab= 0
>
> Für a dann (1+b) eingesetzt, ergibt es:
>
> 6(1+b)-2(1+b)b = 0
> [mm]\red{-}2b^{2}+4b+6[/mm] = 0
Da fehlte das rote Vorzeichen...
> MNF: b= -4 [mm]\pm \bruch{\wurzel{16-48}}{4}[/mm] = -4/4 = -1
Stimmt auch nicht, selbst nicht auf der Grundlage Deiner bisherigen Gleichung!!
MNF neu: b= [mm] \bruch{-4}{\red{2*(-2)}} \pm \bruch{\wurzel{16\red{+}48}}{2*(-2)} [/mm] = [mm] 1\mp2
[/mm]
also [mm] b_1=-1, a_1=0 [/mm] und [mm] b_2=3, a_2=4.
[/mm]
Mach mal damit weiter.
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Und wieder so ein blöder Fehler von mir!!
Dabei habe ich mir das Ganze sicherlich eine halbe Stunde angesehen, bin aber nicht auf den Fehler gekommen.
Danke, reverend, für die Hilfe!!!
So langsam bekomme ich mathematische Selbstzweifel
Ich hoffe, dass die bis zur Klausur ausgemerzt sind!
Danke für die Korrektur.
#LG Eli
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