Vandermonde-Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:25 Mi 21.04.2010 | | Autor: | pitta |
| Aufgabe | Es seien K ein Körper sowie A:= [mm] \pmat{1/(1-a_{i}b_{j})}ij \in K^{nxn}, [/mm] wobei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{1},...,a_{n}, b_{1},...,b_{n} \in [/mm] K mit [mm] \produkt_{i=1}^{n}\produkt_{j=1}^{n}(1-a_{i}b_{j}) \not= [/mm] 0.
Man zeige: Es gilt det(A)= [mm] (\Delta(a_{1},...,a_{n}) *\Delta( b_{1},...,b_{n})) [/mm] / [mm] (\produkt_{i=1}^{n}\produkt_{j=1}^{n}(1-a_{i}b_{j})) \in [/mm] K, wobei [mm] \Delta(a_{1},...,a_{n}) [/mm] := [mm] \produkt_{1\le i \le j \le n}^{} (a_{j}-a_{i}).
[/mm]
Hinweis: Man subtrahiere die erste Spalte von den anderen Spalten, die erste Zeile von den anderen Zeilen, und wende Unduktion nach n an. |
Ich habe den Hinweis befolgt, bin aber auf nichts ordentliches gestoßen, wo ich die Induktion drauf anwenden könnte.
Mein zweiter Ansatz war 1/ [mm] (\produkt_{i=1}^{n}\produkt_{j=1}^{n}(1-a_{i}b_{j}) [/mm] mit der Multilinearität rauszuziehen und das ganze auf die normalen Vandermonde-Matrix zurückzuführen bzw. auf das Produkt zweier Vandermonde-Matrizen, was mich jedoch auch nicht weitergebracht hat.
Hat jemand einen Rat?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 23.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Matrix A hat folgendes aussehen
[mm] A=\pmat{ \bruch{1}{1-a_1*b_1} & ... & \bruch{1}{1-a_1*b_n} \\ ... & ... & ... \\ \bruch{1}{1-a_n*b_1} & ... & \bruch{1}{1-a_n*b_n} }
[/mm]
Schritt 1: 1. Spalte abziehen
Die neuen Matrixelemente lauten
[mm] A'_{ij}=\bruch{1}{1-a_i*b_j}-\bruch{1}{1-a_i*b_1}=\bruch{a_i*(b_j-b_1)}{(1-a_i*b_j)*(1-a_i*b_1)} [/mm] für j>1
Aus der j-ten Spalte, j>1, kann man den Faktor [mm] (b_j-b_1) [/mm] ausklammern und aus der i-ten Zeile kann man [mm] \bruch{1}{1-a_i*b_1} [/mm] ausklammern. das führt zu folgender Determinate:
[mm] det(A)=\bruch{\produkt_{j=2}^{n}(b_j-b_1)}{\produkt_{i=1}^{n}(1-a_i*b_1)}*det(B) [/mm] mit
[mm] B=\pmat{ 1 & \bruch{a_1}{1-a_1*b_2} & ... & \bruch{a_1}{1-a_1*b_n} \\ 1 & \bruch{a_2}{1-a_2*b_2} & ... & \bruch{a_2}{1-a_2*b_n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & \bruch{a_n}{1-a_n*b_2} & ... & \bruch{a_n}{1-a_n*b_n}}
[/mm]
Schritt 2: 1. Zeile abziehen
Die neuen Matrixelemente lauten
[mm] B'_{ij}=\bruch{a_i}{1-a_i*b_j}-\bruch{a_1}{1-a_1*b_j}=\bruch{a_i-a_1}{(1-a_i*b_j)(1-a_1*b_j)} [/mm] für i,j>1
d.h.
[mm] B'=\pmat{ 1 & \bruch{a_1}{1-a_1*b_2} & ... & \bruch{a_1}{1-a_1*b_n} \\ 0 & \bruch{a_2-a_1}{(1-a_2*b_2)(1-a_1*b_2)} & ... & \bruch{a_2-a_1}{(1-a_2*b_n)(1-a_1*b_n)} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & \bruch{a_n-a_1}{(1-a_n*b_2)(1-a_1*b_2)} & ... & \bruch{a_n-a_1}{(1-a_n*b_n)(1-a_1*b_n)} }
[/mm]
Entwickeln der der ersten Spalte führt auf die Folgende Determinate
[mm] det(B)=det\pmat{ \bruch{a_2-a_1}{(1-a_2*b_2)(1-a_1*b_2)} & ... & \bruch{a_2-a_1}{(1-a_2*b_n)(1-a_1*b_n)} \\ ... & ... & ... \\ \bruch{a_n-a_1}{(1-a_n*b_2)(1-a_1*b_2)} & ... & \bruch{a_n-a_1}{(1-a_n*b_n)(1-a_1*b_n)} }
[/mm]
Ausklammern von [mm] (a_i-a_1) [/mm] und von [mm] \bruch{1}{1-a_1*b_j} [/mm] führt zu
[mm] det(B)=\bruch{\produkt_{i=2}^{n}(a_i-a_1)}{\produkt_{j=2}^{n}(1-a_1*b_j)}*det(C) [/mm] mit
[mm] C=\pmat{ \bruch{1}{1-a_2*b_2} & ... & \bruch{1}{1-a_2*b_n} \\ ... & ... & ... \\ \bruch{1}{1-a_n*b_2} & ... & \bruch{1}{1-a_n*b_n} }
[/mm]
Zusammenfassung:
[mm] det(A)=\bruch{\produkt_{j=2}^{n}(b_j-b_1)}{\produkt_{i=1}^{n}(1-a_i*b_1)}*\bruch{\produkt_{i=2}^{n}(a_i-a_1)}{\produkt_{j=2}^{n}(1-a_1*b_j)}*det\pmat{ \bruch{1}{1-a_2*b_2} & ... & \bruch{1}{1-a_2*b_n} \\ ... & ... & ... \\ \bruch{1}{1-a_n*b_2} & ... & \bruch{1}{1-a_n*b_n} }
[/mm]
Die Matrix ist von der gleichen Form wie die Ausgangsmatrix und man jetzt den Beweis mittels vollständiger Induktion erbringen.
Der Induktionsanfang mit n=1 ist trivial.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Sa 24.04.2010 | | Autor: | pitta |
Danke!!!
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