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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 03.07.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich würde gerne zeigen, dass für [mm] \|x\|_{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] (\sum_{k=1}^n |x_k|^{\frac{1}{2}})^2 [/mm] folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(i) [mm] \|x\| [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0
(ii) [mm] \|a x\| [/mm] = |a| [mm] \|x\| [/mm] , a [mm] \in [/mm] C
(iii) [mm] \|x [/mm] + [mm] y\| [/mm] <= [mm] c*(\|x\| [/mm] + [mm] \|y\|)
[/mm]
(i) ist ja irgendwie klar, nur wie schreibt man das sauber auf?
(ii) hab ich so gezeigt:
[mm] \|a x\|_{\frac{1}{2}} [/mm] = ( [mm] \sum_{k=1}^n |ax_k|^{\frac{1}{2}})^2 [/mm] = ( [mm] \sqrt{a} \sum_{k=1}^n |x_k|^{\frac{1}{2}})^2 [/mm] = |a| [mm] (\sum_{k=1}^n |x_k|^{\frac{1}{2}})^2= [/mm] |a| [mm] \|x\|_{\frac{1}{2}}
[/mm]
(iii)
[mm] \|x+y\| [/mm] = ( [mm] \sum_{k=1}^n |x_k [/mm] + [mm] y_k|^{\frac{1}{2}})^2 [/mm] = ... ?
wie kommt man auf dieses c?
Wär super wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Di 03.07.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
bist du dir wegen den Exponenten sicher und das die nicht vertauscht sind? Denn sonst würde das nur für positive a und [mm] x_i [/mm] gelten....
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Di 03.07.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Gono,
also diese Normen sind doch so definiert:
[mm] \|x\|_p [/mm] := ( [mm] \sum_{k=1}^n |x_k|^p)^{\frac{1}{p}}
[/mm]
... und für p= [mm] \frac{1}{2} [/mm] komm ich auf das was ich geschrieben habe...?
Warum meinst du es gilt nur für positive [mm] x_k [/mm] und a?
Ich mein wenn ich es vertauscht hätte, für p=2 wäre es ja einfach die euklidische Norm, das ist klar...
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Mi 04.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Gono
> bist du dir wegen den Exponenten sicher und das die nicht
> vertauscht sind? Denn sonst würde das nur für positive a
> und [mm]x_i[/mm] gelten....
Das hab ich auch beim ersten Draufgucken gedacht, allerdings wuerde dann $c$ keinen Sinn machen (bzw. man wuerde einfach $c = 1$ waehlen und waer gluecklich). Wenn man die $p$-Norm mit $0 < p < 1$ anschaut, ist die Dreiecksungleichung im eigentlichen Sinne nicht mehr erfuellt (und das ganze somit keine Norm), jedoch eine ``Fast-Dreiecksungleichung'' mit der Konstanten $c$ (die dann $> 1$ ist).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab keine Lösung, aber villeicht ein Tip. 1-d ist es trivial und c=1
2d kann man einfach noch rechnen und mit [mm] |a|+|b|>2*(|ab|)^{1/2} [/mm] auf c=2 kommen.
grosszügig vermutet c=n??? n=dimx
ähnliche Ungleichunge, die ich grad icht erinnere gibts auch n-d.
vielleicht hilft das.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Di 03.07.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo leduart,
danke für die Tips. Was meinst du mit 1-d, bzw n-d? was ist d?
Kann man diese Eigenschaft 3 nicht auch einfach so zeigen mit c als irgendeiner Konstanten?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1-d eindimensional 2-d 2dimensional usw.
zu der anderen Frage:gut möglich, nur ich kanns grad nicht!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 03.07.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Leduart,
achso, okay danke!
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mi 04.07.2007 | | Autor: | wauwau |
also ich würde das so machen
Folgendes ist bekannt für a, b
|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b| (Dreiecksungleichung) (i)
[mm] (|a|+|b|)^2 \le 2a^2+2b^2 [/mm] (ii)
[mm] \wurzel{|a|+|b|}\le \wurzel{|a|}+\wurzel{|b|} [/mm] (iii)
Dann gilt wegen (i) und (iii)
[mm] |x_i+y_i|^\bruch{1}{2} \le (|x_i|+|y_i|)^\bruch{1}{2}\le |x_i|^\bruch{1}{2}+|y_i|^\bruch{1}{2}
[/mm]
Wir summieren auf und erhalten
[mm] \summe_{}^{}|x_i+y_i|^\bruch{1}{2} \le \summe_{}^{}|x_i|^\bruch{1}{2}+\summe_{}^{}|y_i|^\bruch{1}{2}
[/mm]
daher wegen (ii)
[mm] (\summe_{}^{}|x_i+y_i|^\bruch{1}{2})^2 \le (\summe_{}^{}|x_i|^\bruch{1}{2}+\summe_{}^{}|y_i|^\bruch{1}{2})^2 \le 2*((\summe_{}^{}|x_i|^\bruch{1}{2})^2+(\summe_{}^{}|y_i|^\bruch{1}{2})^2)
[/mm]
die [mm] L_p [/mm] Räume bilden für 0<p<1 eine quasinorm (mit der schwachen dreiecksungleichung)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Do 05.07.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen Dank, das ist gut 
aber was ist wenn das c nicht gleich 2 ist?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Do 05.07.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich nehme an, du sollst zeigen, dass [mm] L_p [/mm] mit [mm] p=\bruch{1}{2} [/mm] die Kriterien für eine quasinorm erfüllen. Dann brauchst du nur die existenz eines solchen C zeigen und nicht das kleinstmögliche finden...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 05.07.2007 | | Autor: | Riley |
ok, vielen Dank!
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