V=kern(\phi) + \phi(V) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 So 28.01.2007 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und [mm] \phi:V \to [/mm] V eine lin.Abbildung mit [mm] \phi \circ \phi [/mm] = [mm] \phi. [/mm] Zeigen sie, dass V = [mm] kern(\phi) \oplus \phi(V).
[/mm]
HINWEIS: Benutzen sie die Dimensionsformel für Summen von Unterräumen! |
Bin jetzt beim Dimensionssatz auf folgendes gestossen:
i)
[mm] kern(\phi) \oplus \phi(V) [/mm] = V genau dann, wenn
a) [mm] kern(\phi) \cap \phi(V) [/mm] = {0}
b) [mm] kern(\phi) [/mm] + [mm] \phi(V) [/mm] = V,
[mm] (kern(\phi) [/mm] + [mm] \phi(V) [/mm] := {u + v | u [mm] \in kern(\phi), [/mm] v [mm] \in \phi(V)})
[/mm]
Und bei der Dim-Formel für lin.Abb.:
[mm] \phi:V \to [/mm] W linear:
dim(V) = [mm] dim(\phi(V)) [/mm] + [mm] dim(kern(\phi))
[/mm]
Wie kann ich das jetzt aber schön schlüssig aufzeigen? bin total hilflos im Moment...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 28.01.2007 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | | weiß hier keiner was? |
bitte bitte helft uns, sind die letzten punkte, die brauchen wir unbedingt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 So 28.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> weiß hier keiner was?
> bitte bitte helft uns, sind die letzten punkte, die
> brauchen wir unbedingt...
Nach 2 Stunden schon gleich rummeckern, dass keiner antwortet, ist nicht gerade nett ...
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 So 28.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich das jetzt aber schön schlüssig aufzeigen? bin
> total hilflos im Moment...
Zeige das der Schnitt vom Kern und dem Bild eben nur der Nullvektor ist. Dazu: sei v ein Element aus dem Schnitt, dann ist [m]\phi(v)=0[/m], allerdings gibt's ein w mit [m]\phi(w)=v[/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 28.01.2007 | | Autor: | Speyer |
Wieso sollte der Schnitt nur den Nullvektor enthalten?
Was hätte ich denn dann bzgl. der Dimension von V, [mm] kern(\phi) [/mm] oder [mm] \phi(V) [/mm] gezeigt ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mo 29.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Wieso sollte der Schnitt nur den Nullvektor enthalten?
Da habe ich schon einen Anfang zum Beweis gemacht. Da stehen 2 Gleichungen. Jetzt auf die rechte mal wieder [m]\phi[/m] anwenden, dann die linke Gleichung und die Vorraussetzung benutzen, dann ist man fertig.
> Was hätte ich denn dann bzgl. der Dimension von V,
> [mm]kern(\phi)[/mm] oder [mm]\phi(V)[/mm] gezeigt ??
Gar nichts. Aber darum geht es doch gar nicht?
SEcki
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