Urbildmenge von Gruppenhom. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $G, H$ Gruppen und $f: G [mm] \to [/mm] H$ ein Gruppenhom., sowie $h [mm] \in [/mm] f(G)$.
Weiterhin sei $g [mm] \in f^{-1}(\{h\})$. [/mm] Zeigen Sie, dass
$$ [mm] f^{-1}(\{h\}) \quad [/mm] = [mm] \quad \{gk: k \in \textrm{Kern}(f)\}. [/mm] $$ |
Das will ich mithilfe zweier Teilmengeninklusionen zeigen.
Probleme habe ich dabei bei der Richtung [mm] $f^{-1}(\{h\}) \subset \{gk: k \in \mathnormal{Kern}(f)\}$. [/mm] Ich habe mir dafür ein [mm] $\bar [/mm] g [mm] \in f^{-1}(\{h\})$ [/mm] gewählt, und dann gezeigt, dass
$$ [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \textrm{Kern}(f): \quad f(\bar [/mm] g) = f(gk) $$
gilt. Bin ich damit schon fertig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 So 02.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]G, H[/mm] Gruppen und [mm]f: G \to H[/mm] ein Gruppenhom., sowie [mm]h \in f(G)[/mm].
>
> Weiterhin sei [mm]g \in f^{-1}(\{h\})[/mm]. Zeigen Sie, dass
> [mm]f^{-1}(\{h\}) \quad = \quad \{gk: k \in \textrm{Kern}(f)\}.[/mm]
>
> Das will ich mithilfe zweier Teilmengeninklusionen zeigen.
>
> Probleme habe ich dabei bei der Richtung [mm]f^{-1}(\{h\}) \subset \{gk: k \in \mathnormal{Kern}(f)\}[/mm].
> Ich habe mir dafür ein [mm]\bar g \in f^{-1}(\{h\})[/mm] gewählt,
> und dann gezeigt, dass
> [mm]\exists k \in \textrm{Kern}(f): \quad f(\bar g) = f(gk)[/mm]
>
> gilt. Bin ich damit schon fertig?
Nein
Zeige noch: [mm] \overline{ g}=gk
[/mm]
FRED
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