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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 25.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo.
Ich soll prüfen, ob ein Untervektorraum bei der Menge W = [mm] $\{(x_1,x_2)\in \mathbb R^2 : x_1^2\ge 0, x_2 \ge 0 \}$ [/mm] vorliegt. Ich behaupte einfach mal, man sieht sofort, dass die Menge nicht leer ist.
Also bleibt zu überprüfen
[mm] $1)v,w\in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] W$
$2) v [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] W$
Damit habe ich so meine Probleme, wenn ich mir kein Gegenbeispiel suche, ich weiß, dass hier kein Untervektorraum vorliegt.
Wie soll man denn 1 zeigen? [mm] u_1+v_1 \ge [/mm] 0, [mm] u_2+v_2 \ge [/mm] 0. Ist das nicht immer erfüllt?
2) [mm] \lambda (x_1) \ge [/mm] 0
Widerspruch, wenn [mm] \lambda [/mm] < 0.
Gruß, Wehm
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Hi, Du hast es doch schon selbst beantwortet. Es ist keins. [mm] \lambda*x_1<0 \lambda<0
[/mm]
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> Ich soll prüfen, ob ein Untervektorraum bei der Menge W =
> [mm]\{(x_1,x_2)\in \mathbb R^2 : x_1^2\ge 0, x_2 \ge 0 \}[/mm]
> vorliegt.
> Ich behaupte einfach mal, man sieht sofort, dass
> die Menge nicht leer ist.
Hallo,
dann macht es Dir auch keine Mühe, ein eiziges Element dieses Raumes anzugeben. Du solltest das ggf. tun.
> Also bleibt zu überprüfen
> [mm]2) v \in W, \lambda \in K, \lambda v \in W[/mm]
Ja. Du mußt nun gucken, ob für [mm] (\lambda v_1, \lambda v_2) [/mm] die Bedingung erfüllt ist, also
[mm] v_1^2 \ge [/mm] 0 und [mm] \lambda v_2 \ge [/mm] 0.
Da siehst Du, daß die 2. Ungleichung Probleme macht.
Du kannst nun z.B. schreiben: es ist (0,1) [mm] \in [/mm] W, aber -5(0,1) [mm] \not\in [/mm] W, denn
[mm] -5*1\not\ge [/mm] 0.
Mit diesem Gegenbeispiel hast Du die ganze Aufgabe erschlagen, Du brauchst kein Element mehr zu liefern und auch nicht über die Addition nachzudenken.
W hat keine Chance mehr, ein UVR zu sein.
> [mm]1)v,w\in W \Rightarrow v+w \in W[/mm]
>
> Wie soll man denn 1 zeigen? [mm]u_1+v_1 \ge[/mm] 0, [mm]u_2+v_2 \ge[/mm] 0.
> Ist das nicht immer erfüllt?
Wie gesagt, Du bist fertig.
Ich möchte Dir aber trotzdem zeigen, wei man das machen müßte.
Seien [mm] (u_1, u_2), (v_1, v_2) \in [/mm] W, d.h. [mm] u_1^2 \ge [/mm] 0, [mm] v_2^2 \ge [/mm] 0, [mm] u_2 \ge [/mm] 0, [mm] v_2 \ge [/mm] 0.
Betrachte nun [mm] (u_1, u_2)+(v_1, v_2)=(u_1+v_1, u_2+v_2).
[/mm]
Es ist [mm] (u_1+v_1)^2 \ge [/mm] 0.
Wegen [mm] v_2^2 \ge [/mm] 0 und [mm] u_2 \ge [/mm] 0 ist auch [mm] u_2+v_2 \ge [/mm] 0.
Also liegt die Summe in W.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 25.03.2007 | | Autor: | Wehm |
Und wenn es um die Menge $W = [mm] \{(x_1, x_2) \in R^2: x_1*x_2 \ge 0\}$ [/mm] geht?
Reicht folgende Notation $W = [mm] \{(x_1, x_2) \in R^2: x_1*x_2 \ge 0\}$ [/mm] $-1(1,2) [mm] \not\in [/mm] W$, da $-1*1*2 = -2 <0$
Oder ist das noch ungenügend?
Gruß, Wehm.
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> Und wenn es um die Menge [mm]W = \{(x_1, x_2) \in R^2: x_1*x_2 \ge 0\}[/mm]
> geht?
>
> Reicht folgende Notation [mm]W = \{(x_1, x_2) \in R^2: x_1*x_2 \ge 0\}[/mm]
> [mm]-1(1,2) \not\in W[/mm], da [mm]-1*1*2 = -2 <0[/mm]
>
> Oder ist das noch ungenügend?
Hallo,
das stimmt ja nicht.
Du mußt nachschauen, ob, wenn [mm] (x_1,x_2) \in [/mm] W, für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm]
[mm] \lambda*(x_1,x_2)=(\lambda x_1, \lambda x_2) \in [/mm] W.
Dies ist der Fall, denn es ist [mm] \lambda x_1*\lambda x_2=\lambda^2*x_1x_2\ge [/mm] 0.
(Das gilt natürlich nur, solange nicht irgendeine andere Multiplikation mit Skalaren eingeführt wurde als die, die ich gerade verwende. Ich rechne mit den üblichen Verknüpfungen im [mm] \IR^2.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 25.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | | $ W = [mm] \{(x_1, x_2) \in R^2: x_1\cdot{}x_2 \ge 0\} [/mm] $ |
Seien $ [mm] (u_1, u_2), (v_1, v_2) \in [/mm] W$
Dann gilt
[mm] u_1*u_2 \ge [/mm] 0
[mm] v_1*v_2 \ge [/mm] 0
[mm] $(u_1,u_2)+(v_1,v_2) [/mm] = [mm] (u_1+v_1,u_2+v_2)=(u_1+v_1)*(u_2+v_2) \ge [/mm] 0$
(1,3) in W
(-2,-1) in W.
Aber hier
(1+(-2))*(3+(-1)) = -2*2 [mm] \not \in [/mm] W.
Hab ich es jetzt? :)
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> [mm]W = \{(x_1, x_2) \in R^2: x_1\cdot{}x_2 \ge 0\}[/mm]
> Seien [mm](u_1, u_2), (v_1, v_2) \in W[/mm]
>
> Dann gilt
>
> [mm]u_1*u_2 \ge[/mm] 0
>
> [mm]v_1*v_2 \ge[/mm] 0
>
>
Und man muß prüfen, ob
> [mm](u_1,u_2)+(v_1,v_2) = (u_1+v_1,u_2+v_2)=(u_1+v_1)*(u_2+v_2) \ge 0[/mm]
>
> (1,3) in W
> (-2,-1) in W.
>
> Aber hier
>
> (1+(-2))*(3+(-1)) = -2*2 [mm]\not \in[/mm] W.
>
> Hab ich es jetzt? :)
Sieht ganz danach aus!
Du hast ein hübsches Gegenbeispiel gefunden. W ist nicht abgeschlossen bzgl. der Addition, also kein UVR:
Gruß v. Angela
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