Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Überprüfe, ob die folgenden Mengen Untervektorräume von [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] sind:
a) [mm] M_{1} [/mm] := {f [mm] \in Abb(\IR,\IR): [/mm] f(0) = 1}
b) [mm] M_{2} [/mm] := {f [mm] \in Abb(\IR,\IR): [/mm] f(x) = f(-x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten Tag!
Ein Untervektorraum ist ja wie folgt definiert:
(1) [mm] M_i\neq\emptyset [/mm] bzw. [mm] 0\in M_i [/mm]
(2) Für alle [mm] (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in M_i [/mm] ist die Summe [mm] (x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in M_i [/mm]
(3) Für alle [mm] \lambda\in\IR, (x,y)\in M_i [/mm] ist auch [mm] \lambda\cdot{}(x,y)\in M_i [/mm]
Ich habe so ein bisschen Probleme mich in die Aufgabe reinzudenken.
a) Hier habe ich mir gedacht, dass a kein Untervektorraum ist, da (1) nicht erfüllt ist.
b) Ist meiner Meinung nach ein UVR, aber wie zeige ich 2 und 3?
Vielen Dank im voraus
lg Balodil
|
|
| |
|
> Überprüfe, ob die folgenden Mengen Untervektorräume von
> [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm] sind:
>
> a) [mm]M_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f [mm]\in Abb(\IR,\IR):[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(0) = 1}
>
> b) [mm]M_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f [mm]\in Abb(\IR,\IR):[/mm] f(x) = f(-x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR}[/mm]
>
> Schönen guten Tag!
>
> Ein Untervektorraum ist ja wie folgt definiert:
> (1) [mm]M_i\neq\emptyset[/mm] bzw. [mm]0\in M_i[/mm]
>
> (2) Für alle [mm](x_1,y_1),(x_2,y_2)\in M_i[/mm] ist die Summe [mm](x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in M_i[/mm]
>
> (3) Für alle [mm]\lambda\in\IR, (x,y)\in M_i[/mm] ist auch [mm]\lambda\cdot{}(x,y)\in M_i[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Angabe Deiner Unterraumkriterien ist etwas speziell, sie scheint sich auf einen Vektorraum, der aus Zweitupeln besteht, zu beziehen.
Allgemeiner:
Es sei V ein VR über [mm] \IR.
[/mm]
Eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] V ist ein UVR von V, wenn gilt:
(1) [mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] bzw. [mm] $0\in [/mm] U$
(2) Für alle [mm] x,y\in [/mm] U ist die Summe [mm] x+y\in [/mm] U
(3) Für alle [mm] $\lambda\in\IR, x\in [/mm] U$ ist auch [mm] $\lambda\cdot{}x\in [/mm] U$
>
> Ich habe so ein bisschen Probleme mich in die Aufgabe
> reinzudenken.
>
> a) Hier habe ich mir gedacht, dass a kein Untervektorraum
> ist, da (1) nicht erfüllt ist.
Richtig.
Nur zur Sicherheit: welche Funktion müßte denn zumindest in [mm] M_1 [/mm] sein, wenn es ein UVR sein sollte?
>
> b) Ist meiner Meinung nach ein UVR, aber wie zeige ich 2
> und 3?
Zu (2)
Es seien [mm] g,h\in M_2, [/mm] dh. für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt g(x)=g(-x) und h(x)=h(-x).
Zu zeigen ist nun, daß [mm] g+h\in M_2.
[/mm]
Dazu mußt Du vorrechnen, daß (g+h)(x)=(g+h)(-x) für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt.
Es ist (g+h)(x)= g(x)+h(x)= ...
Die (3) kriegst Du auch hin, wenn Du die (2) kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Balodil |
> > a) Hier habe ich mir gedacht, dass a kein Untervektorraum
> > ist, da (1) nicht erfüllt ist.
>
> Richtig.
> Nur zur Sicherheit: welche Funktion müßte denn zumindest
> in [mm]M_1[/mm] sein, wenn es ein UVR sein sollte?
>
Es müsste eine Funktion sein, die durch die null geht oder? bei f(0) = 1 müsste diese Funktion allerdings auf der y Achse liegen und das geht ja laut Definition einer Abbildung nicht?!
> >
> > b) Ist meiner Meinung nach ein UVR, aber wie zeige ich 2
> > und 3?
>
> Zu (2)
> Es seien [mm]g,h\in M_2,[/mm] dh. für alle [mm]x\in \IR[/mm] gilt
> g(x)=g(-x) und h(x)=h(-x).
> Zu zeigen ist nun, daß [mm]g+h\in M_2.[/mm]
> Dazu mußt Du
> vorrechnen, daß (g+h)(x)=(g+h)(-x) für alle [mm]x\in \IR[/mm]
> gilt.
>
> Es ist (g+h)(x)= g(x)+h(x)= ...
Also: (g+h)(x) = g(x) + h(x) = g(-x) + h(-x) = (g+h)(-x) so richtig?
>
> Die (3) kriegst Du auch hin, wenn Du die (2) kannst.
zur (3): Für alle g [mm] \in \IR, [/mm] h [mm] \in M_2 [/mm] ist auch g * h [mm] \in M_2
[/mm]
d.h. h(x) = h(-x)
z.z. g * h [mm] \in M_2
[/mm]
also g * h(x) = g * h(-x) und das gilt weil h(x) = h(-x) so richtig?
>
> Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
> > Nur zur Sicherheit: welche Funktion müßte denn
> zumindest
> > in [mm]M_1[/mm] sein, wenn es ein UVR sein sollte?
> >
> Es müsste eine Funktion sein, die durch die null geht
> oder? bei f(0) = 1 müsste diese Funktion allerdings auf
> der y Achse liegen und das geht ja laut Definition einer
> Abbildung nicht?!
Ja und nein.
Die Funktion muss nicht nur durch die 0 gehen, sie muss überall gleich 0 sein, also die Nullfunktion.
Diese hat die Form:
$f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0$
Eine Funktion, die im Ursprung gleich 0 st, muss nicht zwangsläufig die Nullfunktion sein, also bitte nicht verwechseln. ;)
> Also: (g+h)(x) = g(x) + h(x) = g(-x) + h(-x) = (g+h)(-x) so
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zur (3): Für alle g [mm]\in \IR,[/mm] h [mm]\in M_2[/mm] ist auch g * h [mm]\in M_2[/mm]
>
> d.h. h(x) = h(-x)
> z.z. g * h [mm]\in M_2[/mm]
> also [mm] \red{(}g [/mm] * [mm] h\red{)}(x) [/mm] = g * h(-x) und das gilt
> weil h(x) = h(-x) so richtig?
Inhaltlich ja, aber nenn die reelle Zahl besser nicht g, sonst ist das verwirrend, weil g noch kurz davor (in Teil 2) eine Funktion war.
Also bis auf ein wenig Form in Teil 3) und auf die Nullfunktion soweit richtig.
lg
Schadow
|
|
|
|
