Untersuchung auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe wieder eine Reihe, die ich auf Konvergenz untersuchen möchte.
Und zwar: [mm] [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}= \bruch{2_n + 3}{n!}
[/mm]
Wie oder woran erkennt der Mathematiker jetzt, mit welchem Kriterium er das am besten untersuchen könnte?
Nun gut, ich habe mich zunächst spontan für das Quotientenkriterium entschieden.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \vmat{ \bruch{a_n+1}{a_n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{ \bruch{2_{n+1} + 3}{(n+1)!}}{ \bruch{2_n + 3}{n!}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2_{n+1} + 3}{(n+1)!}*\bruch{n!}{2_n + 3}
[/mm]
= [mm] \bruch{3*(2_{n+1})+(n!)}{3*(n+1)+(2n)!}
[/mm]
was ja [mm] \ge [/mm] 1 ist...
Bevor ich jetzt ein mit einem weiteren Kriterium rechne, wollte ich mal nachfragen, ob das so schon einmal richtig ist?
Danke
Gruß
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Hallo Fruchtsaft!
Eine Frage vorneweg: Meinst Du hier [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^{\red{n}}+3}{n!}$ [/mm] ??
Deine Idee mit dem Quotienten-Kriterium ist schon ganz gut. Allerdings hast Du ja gemerkt, dass irgendwie der Term $+ \ 3$ im Zähler stört.
Daher zerlegen wir unsere Reihe in zwei Teilreihen gemäß:
[mm] $\bruch{2^n+3}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^n}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{3}{n!}$
[/mm]
Nun wenden wir auf beide Teilreihen separat das Quotienten-Kriterium an. Dieses bietet sich nun an, da wir ja nur noch Faktoren und Potenzen haben.
Und aus der Summe zweier konvergenter Reihen folgt dann ...
Nun klar(er) ??
Gruß vom
Roadrunner
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Danke für die schnelle Antwort..
Ich meinte eigentlich die Reihe $ [mm] a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2n+3}{n!} [/mm] $..
Aber es scheint wohl klarer mit der Zerlegung in zwei Teilreihen.
Für beide Teilreihen $\ [mm] \bruch{2^n}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{3}{n!} [/mm] $ kann man doch folgenden Beweis für die Konvergenz mitliefern.
Die Folge [mm]a_n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] ist monoton wachsend und beschränkt, also konvergent.
Und aus der Summe der Teilreihen ergibt sich die Konvergenz für die gesamte Reihe..
Ok?
Gruss
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Hallo Fruchtsaft!
> Ich meinte eigentlich die Reihe [mm]a_n \ = \ \bruch{2n+3}{n!} [/mm]..
Ach soo!
> Aber es scheint wohl klarer mit der Zerlegung in zwei Teilreihen.
Fein!
> Für beide Teilreihen [mm]\ \bruch{2^n}{n!} + \bruch{3}{n!}[/mm] kann
> man doch folgenden Beweis für die Konvergenz mitliefern.
>
> Die Folge [mm]a_n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] ist monoton
> wachsend und beschränkt, also konvergent.
a.) Das ist eine Reihe, keine Folge.
b.) Woher kennst Du diese Eigenschaften?
Am einfachsten und schnellsten kannst Du doch die Konvergenz der beiden Teilfolgen wirklich jeweils über das Quotienten-Kriterium nachweisen.
> Und aus der Summe der Teilreihen ergibt sich die Konvergenz für die
> gesamte Reihe..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Do 29.09.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Ok.. 
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Do 29.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Die Folge [mm]a_n= \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] ist monoton
> > wachsend und beschränkt, also konvergent.
> a.) Das ist eine Reihe, keine Folge.
Was da steht ist total korrekt - die Folge [m]a_n[/m], also die Partialsummen. Du kannst aus jeder Folge eine Reihe machen, und vice versa. Woher man weiss, dass diese Folge beschraenkt ist, ist eine ganz andere Sache ...
SEcki
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