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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
Geben Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbildung an.
Sei R die Menge der Rechtecke mit positivem Flächeninhalt in der Ebene.
Sei F: [mm] (R)\to\IR+ [/mm] : [mm] x\mapsto(Flächeninhalt [/mm] von x). |
Hallo, entschuldigt bitte, dass ich zur zeit viele Fragen stelle, ich tu mich noch immer sehr schwer mit dem Studienanfang und komme kaum alleine zurecht. Wird wohl in Zukunft auch so sein.
Also was injektiv, surjektiv und bijektiv bedeuten, weiß ich bereits.
Da R die Menge der Rechtecke mit positiver Fläche sind, nehme ich an, dass von Ebenen die Rede ist, die sich teilweise über und teilweise unter der x-Achse befinden. Die Variable x steht demnach für eine besagte variable Ebene, aber wie kann ich mir das als Abbildung vorstellen? Ich habe leider keine Ahnung.
Danke im Voraus.
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Hallo,
naja, R ist ja die Menge aller Rechtecke mit positiven Flächeninhalt. Und weiter ist [mm] x\in [/mm] R. Also beschreiben die Elemente von R ja die Rechtecke.
Sind also [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] Elemente von R, dann ist [mm] x_1 [/mm] ein Rechteck, und [mm] x_2 [/mm] ebenso ein Rechteck. Dabei ist es unerheblich, wo das im Raum/Ebene liegt.
Nun nimmt man eben ein Rechteck [mm] x_1 [/mm] und ordnet ihm einen Flächeninhalt zu.
Jetzt stellt sich also die Frage: Haben zwei Rechtecke den identischen Flächeninhalt, sind dann auch die Rechtecke gleich? (inj.)
Und: Wird jedem möglichen Flächeninhalt auch wirklich ein Rechteck zugeordnet? (surj.)
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Logisch betrachtet hätte jedes Rechteck seinen eigenen Flächeninhalt (injektiv), sonst würde solch eine Zusammenfassung in eine Menge keinen Sinn machen. Ob aber jeder Flächeninhalt einem Rechteck zugeordnet werden kann ist noch die Frage? (surjektiv)
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Hallo,
> Logisch betrachtet hätte jedes Rechteck seinen eigenen
> Flächeninhalt (injektiv),
nein. Es gibt unendlich viele unterschiedliche Rechtecke mit den geforderten Eigenschaften und mit dem gleichen Flächeninhalt.
Beispiel: A=1 FE
Setzen wir die linke untere Ecke in den Ursprung. Dann ergänzen A(1|1) und B(2|0.5) als rechte obere Ecke das ganze jeweils zu einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 1FE. Also ist die obige Abbildung nicht injektiv.
> sonst würde solch eine
> Zusammenfassung in eine Menge keinen Sinn machen.
???
> Ob aber
> jeder Flächeninhalt einem Rechteck zugeordnet werden kann
> ist noch die Frage? (surjektiv)
Falls dies nicht möglich sein sollte, müsstest du nicht weniger tun als eine positive reelle Zahl anzugeben, die nicht als Maßzahl für den Inhalt eines Rechtecks infrage kommt...
Gruß, Diophant
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Ich kann dir leider nicht folgen. Die Punkte die du genannt hast ergeben ein parallelogramm aber kein Rechteck. Meinst du vielleicht im 3dimensionalen Koordinatensystem?
Und ein Beispiel aus den reellen Zahlen kann ich auch nicht finden
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Hallo,
> Ich kann dir leider nicht folgen. Die Punkte die du genannt
> hast ergeben ein parallelogramm aber kein Rechteck.
Weißt du, was man im Koordinatensystem unter Quadrant versteht? Ich habe dir einen Weg aufgezeigt, wie man schon mal alle Punkte des [mm] \IR^2 [/mm] mit von Null verschiedenen Koordinaten (das sind ziemlich viele) der [mm] Menge \{0;1;2;3\} [/mm] zuordnen kann. Wie um alles in der Welt kann man hier auf die Idee kommen, irgendwelche Parallelogramme oder Rechtecke insSpiel zu bringen.- Tut mir Leid: aber da komme ich auch nicht mehr mit! 
> Meinst
> du vielleicht im 3dimensionalen Koordinatensystem?
Nein.
> Und ein Beispiel aus den reellen Zahlen kann ich auch nicht
> finden
Für was?
Lies bitte in deinem eigenen Interesse sowohl die Aufgabenstellungen als auch die gegebenen Antworten gründlicher durch. Es hapert hier ganz gewaltig am Textverständnis, welches aber unabdingbar ist in der Mathematik!
Sorry, das gleiche gilt für mich: ich habe die Threads verwechselt...
Gruß, Diophant
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Jetzt weiß ich was du mit den Punkten gemeint has! Anfangs dachte ich du bildest 1 Rechteck mit den genannten punkten aber du meinst 2 verschiedene mit gleichem Flächeninhalt, klar!
Damit ist natürlich die nicht-injektivität bewiesen. Danke!
Surjektiv müsste es sein, da jeder Flächeninhalt aus [mm] \IR+ [/mm] mindestens einmal vorkommt bzw. die Wahrscheinlichkeit dafür sehr hoch is, weil die Rechtecke sehr variabel sind denke ich mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Sa 02.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Jetzt weiß ich was du mit den Punkten gemeint has! Anfangs
> dachte ich du bildest 1 Rechteck mit den genannten punkten
> aber du meinst 2 verschiedene mit gleichem Flächeninhalt,
> klar!
> Damit ist natürlich die nicht-injektivität bewiesen.
So ist es. Es gibt als Rechtecke, die denselben Flächeninhalt haben, obwohl sie komplett unterschiedlicher Seitenlängen haben.
> Danke!
> Surjektiv müsste es sein, da jeder Flächeninhalt aus [mm]\IR+[/mm]
> mindestens einmal vorkommt bzw. die Wahrscheinlichkeit
> dafür sehr hoch is, weil die Rechtecke sehr variabel sind
> denke ich mal
Lass die Wahrscheinlichkeit aus dem Spiel. Jede positive reelle Zahl kann ich auf verschiedene Art als Produkt Je zweier reeller Zahlen schreiben.
Marius
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> Lass die Wahrscheinlichkeit aus dem Spiel. Jede positive
> reelle Zahl kann ich auf verschiedene Art als Produkt Je
> zweier reeller Zahlen schreiben.
>
Und das ist so die Antwort auf die Frage der surjektivität.
Besten Dank euch!
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