Unterraumbestimmung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm] \IR^{n}?
[/mm]
[mm] \{x:x_{1}=0\} \cap \{x:x_{n}=0 \} [/mm] |
Hey ihr,
hab soeben dieses Beispiel gerechnet. Mich hat aber die Angabe verwirrt. Bezieht sich der Ausdruck nach dem "UND" auf den selben Vektor oder bezieht sich das auf einen anderen? Ich hab nun folgendes Behauptet:
1) (x+y)-Kriterium:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ . \\ . \\ . \\x_{n-1} \\ x_{n} } [/mm] + [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ . \\ . \\ . \\y_{n-1} \\y_{n} } [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} + y_{1} \\ . \\ . \\ . \\ x_{n} + y_{n} }
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{n}} \cap \vektor{y_{1} \\ y_{n}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}*y_{1} \\ x_{n}*y_{n}}
[/mm]
0 * 0 = 0 --> [mm] x_{1}*y_{1}
[/mm]
0 * 0 = 0 --> [mm] x_{n}*y_{n}
[/mm]
Und somit existiert der Teilraum. Liegt ihr da einer Meinung mit mir, oder nicht? Denn es heißt dann ja:
[mm] \vektor{0 \\ x_{2} \\ . \\ . \\ . \\x_{n_1} \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ y_{2} \\ . \\ . \\ . \\y_{n_1} \\0 } [/mm] = [mm] \vektor{0 + 0 \\ . \\ . \\ . \\ 0 + 0 }
[/mm]
|
|
| |
|
> Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm]\IR^{n}?[/mm]
>
> [mm]\{x:x_{1}=0\} \cap \{x:x_{n}=0 \}[/mm]
> Hey ihr,
>
> hab soeben dieses Beispiel gerechnet. Mich hat aber die
> Angabe verwirrt. Bezieht sich der Ausdruck nach dem "UND"
> auf den selben Vektor oder bezieht sich das auf einen
> anderen?
Hallo,
es ist U:= [mm] \{x:x_{1}=0\} \cap \{x:x_{n}=0 \}=\{x :x_1=0 und x_n=0\}.
[/mm]
In Worten: die Vektoren, deren erste und n-te Komponente Null ist.
Ich hab nun folgendes Behauptet:
>
> 1) (x+y)-Kriterium:
Hie mußt Du verwenden, daß erste und n -te Komponente =0 sind, also
[mm]\vektor{0 \\ x_{2} \\ . \\ . \\ . \\x_{n-1} \\ 0 }[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ y_{2} \\ . \\ . \\ . \\y_{n-1} \\0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ x_2+y_2 \\ ... \\ x_{n-1}+y_{n-1} \\ 0 }[/mm] [mm] \in [/mm] U
Was soll denn das, was ujetzt folgt???
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{n}} \cap \vektor{y_{1} \\ y_{n}}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}*y_{1} \\ x_{n}*y_{n}}[/mm]
>
> 0 * 0 = 0 --> [mm]x_{1}*y_{1}[/mm]
> 0 * 0 = 0 --> [mm]x_{n}*y_{n}[/mm]
Aha, Vermutlich wolltest Du zeigen, daß für jedes [mm] \alpha \in \IR [/mm] undjedes x [mm] \in [/mm] U gilt [mm] \alpha [/mm] x [mm] \in [/mm] U. (Hal-lo!!!!!!!!!!!!! Die Multiplikation mit Skalaren ist doch nicht das Skalrarprodukt. Wir multiplizieren hier Vektoren mit Zahlen.)
Mach das mal. Es ist einfach, und das Ergebnis liegt drin in U.
> Und somit existiert der Teilraum. Liegt ihr da einer
> Meinung mit mir, oder nicht?
Da "liege" ich einer Meinung mit Dir, auch wenn ich mit Deinem Weg nicht ganz einverstanden bin.
Ein kleines Detail fehlt noch: Bist Du sicher, daß U [mm] \not= \emptyset [/mm] ?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
