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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 02.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | Sei V der Vektorraum der quadratischen Matrizen ( 2x2 ) über ℝ . Sei W die
Menge aller ( 2x2 ) Matrizen, deren Determinante Null ist. Dann ist (W,+,*) kein Unterraum von V. Beweis. |
| Aufgabe 2 | Sei V der Vektorraum der quadratischen Matrizen über ℝ .
W sei die Menge aller quadratischen Matrizen, die mit einer gegebenen Matrix T vertauschbar sind: W := {AeV AT = TA}. Beweise: Dann ist (W,+.*) ein Unterraum von (V,+,*). Dabei sind „+“ und „*“ die Matrizenaddition bzw. die Matrizenmultiplikation. |
Zu Aufgabe 1!
Kriterium 1 - die Determinante der Nullmatrix = 0 --> erfüllt!
Kriterium 3 - [mm] det(\lambda*A [/mm] ) = 0?
Ja, weil [mm] \lambda*A [/mm] := [mm] \pmat{ \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d }
[/mm]
Die Determinante sieht nun so aus:
det [mm] (\lambda [/mm] A) = [mm] \lambda [/mm] a * [mm] \lambda [/mm] d - [mm] \lambda [/mm] b * [mm] \lambda [/mm] d = [mm] \lambda [/mm] (a*d-b*c) --> [mm] \lambda [/mm] * 0 (da ja laut Definition det A = 0 ist
Kriterium 2 - det(A) = 0; det(B) = 0; det(A+B)=0?
Weil ich die Determinante einer 2x2 Matrix (wenn die Eintragungen a,b,c,d sind) ja folgend berechnen kann, gilt:
det(A) = a*d-b*c
A := [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }; [/mm] det A = 0
B := [mm] \pmat{ e & f \\ g & h }; [/mm] det B = 0
A+B = [mm] \pmat{ a+e & b+f \\ c+g & d+h }
[/mm]
det (A+B) = (a+e)*(d+h) - (c+g)*(d+h) = 0 ??
Zu Aufgabe 2:
Hier habe ich es bisher nur geschaft, das 1. Kriterium zu beweisen
0 * T = T * 0
Bezüglich der Angabe: ist hier T hier eindeutig? Oder handelt es sich um die Inverse zu A??
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Di 03.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1. du willst doch zeigen, dass es KEIN UR ist. also rechne die Det der Summenmatrix aus. (die steht da falsch) lass wegm was sich weghent, der rest ist docj i.A nicht 0.
zu 2
T ist eine beliebige Matrix, M gehort zu der Mengem wenn MT=TM ist wie ist es mit [mm] A\in [/mm] U also AT=TA und BT=TB mit A+B? mit A*B
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 03.12.2013 | | Autor: | dodo1924 |
Zu Aufgabe 2:
1.) Wenn die Matrizen "vertauschbar" sind, gilt dann A=T??
2.) Zu den Kriterien:
Bei der Matrixmultiplikation gilt ja, dass [mm] (\lambda [/mm] * A) * T = [mm] \lambda [/mm] * (A*T)!
Da AT = TA gilt ja auch [mm] \lambda [/mm] * (A*T) = [mm] \lambda [/mm] * (T*A), nicht?
Bei der Addition weiß ich jetzt noch nicht, wie ich das beweißen soll?
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Hallo,
Erstmal zur Aufgabe 1, wie leduart schon gesagt hat du willst doch zeigen dass es eben kein Unterraum ist. Man findet schnell 2 Matrizen A,B mit $det(A)=0$ und $det(B)=0$ aber [mm] $det(A+B)\not=0$.
[/mm]
Zu der 2.
Seien A,B Matrizen mit der Eigenschaft $AT=TA$ und $BT=TB$.
Dann ist $(A+B)*T=AT+BT=...$
Kommst du damit weiter?
Gruß helicopter
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