Unterraum beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mo 15.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, ob die Menge U ein Unterraum von V ist.
V= [mm] \IR^3
[/mm]
U= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 }* \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich wollte mal fragen, ob mir jemand an diesem Beispiel zeigen kann wie ich beweise, dass U ein Unterraum von V ist.
Also mir ist schon klar, dass ich die 3 Unterraumkriterien
U1) [mm] u_1,u_2 \in [/mm] U --> [mm] u_1+u_2 \in [/mm] U
U2) [mm] \lambda \in [/mm] K u [mm] \in [/mm] U --> [mm] \lambda*u \in [/mm] U
U3) U [mm] \not= [/mm] leer
aber wie zeige ich das an diesem beispiel?
danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Mo 15.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter,
bezeichnen wir die 3x3-Matrix mal mit A (wie A ausssieht, ist für die Lösung der Aufgabe übrigens völlig egal).
> $U= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 }* \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Da hast du wohl etwas vergessen abzutippen? Gemeint ist [mm] $U=\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\;|\;A*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}\}$?
[/mm]
> Also mir ist schon klar, dass ich die 3 Unterraumkriterien
> U1) [mm]u_1,u_2 \in[/mm] U --> [mm]u_1+u_2 \in[/mm] U
> U2) [mm]\lambda \in[/mm] K u [mm]\in[/mm] U --> [mm]\lambda*u \in[/mm] U
> U3) U [mm]\not=[/mm] leer
Ich mach dir mal U1) vor, dann kannst du U2) mal selbst probieren. Da jeder Unterraum den Nullvektor enthält, kannst du für U3) stets [mm] $0\in [/mm] U$ zeigen.
Zu U1): Wie sehen [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] als Elemente von $U$ aus? Sie sind nach Definition von $U$ Vektoren des Vektorraumes [mm] $\IR^3 [/mm] $ und erfüllen die Gleichungen [mm] $A*u_1=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] und [mm] $A*u_2=\vektor{0\\0\\0}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $u_1+u_2\in [/mm] U$, d.h. [mm] $u_1+u_2$ [/mm] ist ein Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] (Ja, das ist er natürlich.) mit [mm] $A*(u_1+u_2)=\vektor{0\\0\\0}$. [/mm] Um [mm] $A*(u_1+u_2)=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] zu zeigen, rechnen wir nach: [mm] $A*(u_1+u_2)=A*u_1+A*u_2=\vektor{0\\0\\0}+\vektor{0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mo 15.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ach okay...
und woher weiß ich was dieses [mm] u_1 [/mm] zum beispiel ist?
ist [mm] u_1 [/mm] z.b. [mm] \vektor{ 1\\ 3 \\ 1} [/mm] ?
gilt dann für U2 folgendes:
[mm] A\cdot{}\lambda *u_1=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
?
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Hallo Peter,
> ach okay...
> und woher weiß ich was dieses [mm]u_1[/mm] zum beispiel ist?
Das ist irgendein nicht näher bestimmtes, für den Nachweis beliebiges, aber festes Element von U
> ist [mm]u_1[/mm] z.b. [mm]\vektor{ 1\\ 3 \\ 1}[/mm] ?
Keine Ahnung, rechne selber nach!
Ist [mm] $A\cdot{}\vektor{1\\3\\1}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] ??
Ich habe gerade keine Lust das auszurechnen ...
>
> gilt dann für U2 folgendes:
>
> [mm]A\cdot{}\lambda *u_1=\vektor{0\\0\\0}[/mm] ?
Du musst genauer aufschreiben!!
Sei [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] beliebig, [mm] $u\in [/mm] U$ beliegig.
Zu zeigen ist, dass [mm] $(\lambda\cdot{}u)\in [/mm] U$ ist
Rechne das nach:
[mm] $A\cdot{}(\lambda\cdot{}u)=\lambda\cdot{}(A\cdot{}u)$ [/mm] wieso??
[mm] $=\lambda\cdot{}\vektor{0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Also [mm] $\lambda\cdot{}u\in [/mm] U$
Gruß
schachuzipus
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