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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Unterraum IR³

Unterraum IR³ < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Unterraum IR³: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:53 Do 22.10.2009
Autor:	itse

Aufgabe

 Ist dies ein Unterraum des IR³:

Alle Vektoren [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] mit [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm] ?

Hallo Zusammen,

damit dies ein Unterraum U des IR³ ist, müssen folgende Bedingungen gelten:

Nullvektor: 0 [mm] \in [/mm] U
Addition: u, v [mm] \in [/mm] U mit u+v [mm] \in [/mm] U
Multiplikation: [mm] \lambda \in \IR, [/mm] v [mm] \in [/mm] U mit [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U

1, Aufgrund der Bedingung [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm] können die Komponenten des Vektors auch alle Null sein, bzw. mit Null multipliziert werden: Somit 0 [mm] \in [/mm] U

2, [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{pmatrix} [/mm]

Bedingung  [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm] und  [mm] y_1 \le y_2 \le y_3 [/mm] gilt auch für [mm] x_1+y_1 \le x_2+y_2 \le x_3+y_3 [/mm]

3, [mm] \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3 \end{pmatrix} [/mm]

Für [mm] \lambda \in \IR_+ [/mm] :  [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm]
Für [mm] \lambda \in \IR_- [/mm] :  - [mm] x_1 \ge [/mm] - [mm] x_2 \ge x_3 [/mm]

gelten beide Bedingungen.

Somit gelten alle drei Bedingungen und dies ist ein Unterraum des IR³.

Stimmt dies so alles?

Gruß
itse

Bezug

Unterraum IR³: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:31 Do 22.10.2009
Autor:	rainerS

Hallo!

> Ist dies ein Unterraum des IR³:
>
> Alle Vektoren [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]x_1 \le x_2 \le x_3[/mm] ?
>  Hallo Zusammen,
>
> damit dies ein Unterraum U des IR³ ist, müssen folgende
> Bedingungen gelten:
>
> Nullvektor: 0 [mm]\in[/mm] U
>  Addition: u, v [mm]\in[/mm] U mit u+v [mm]\in[/mm] U
>  Multiplikation: [mm]\lambda \in \IR,[/mm] v [mm]\in[/mm] U mit [mm]\lambda[/mm] v [mm]\in[/mm]
> U
>
> 1, Aufgrund der Bedingung [mm]x_1 \le x_2 \le x_3[/mm] können die
> Komponenten des Vektors auch alle Null sein, bzw. mit Null
> multipliziert werden: Somit 0 [mm]\in[/mm] U

> 2, [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Bedingung [mm]x_1 \le x_2 \le x_3[/mm] und [mm]y_1 \le y_2 \le y_3[/mm]
> gilt auch für [mm]x_1+y_1 \le x_2+y_2 \le x_3+y_3[/mm]

> 3, [mm]\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Für [mm]\lambda \in \IR_+[/mm] :  [mm]x_1 \le x_2 \le x_3[/mm]
>  Für [mm]\lambda \in \IR_-[/mm]
> :  - [mm]x_1 \ge[/mm] - [mm]x_2 \ge x_3[/mm]
>
> gelten beide Bedingungen.

Es muss für beliebiges [mm] $\lambda\in \IR$ [/mm] und [mm]x_1 \le x_2 \le x_3[/mm] gelten:

[mm] \lambda x_1 \le \lambda x_2 \le \lambda x_3 [/mm]

Dies ist für [mm] $\lambda<0$ [/mm] offensichtlich falsch.

Also ist die angegebene Menge kein Unterraum.

Viele Grüße
Rainer