Unterraum - richtige Lösung? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Yami |
Hallo an alle,
ich habe hier eine recht einfache aufgabe zum thema unterräume, ich habe sie auch nach meinem wissen gelöst, also geguckt ob es für die Addition zweier Vektoren und die multiplikation eines Vektors mit einem skalar abgeschloßen ist. Jedoch ging es so schnell das ich dem braten nicht ganz traue und nochmal nachfragen wollte ob es so richtig ist:
Aufgabe:
Zeigen Sie, daß U := { [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] x_1 \in \IR [/mm] } ein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
meine Lösung:
[mm] \vec{x} [/mm] , [mm] \vec{y} \in [/mm] U
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vektor{y_1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
1)
[mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y} \Rightarrow \vektor{x_1 + y_1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Also [mm] x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] = [mm] z_1 [/mm]
bewiesen.
2)
[mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] \vec{x}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda * x_1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] x_1 [/mm] = [mm] z_1
[/mm]
bewiesen.
Reicht das so aus? Ist das richtig?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo an alle,
>
> ich habe hier eine recht einfache aufgabe zum thema
> unterräume, ich habe sie auch nach meinem wissen gelöst,
> also geguckt ob es für die Addition zweier Vektoren und die
> multiplikation eines Vektors mit einem skalar abgeschloßen
> ist. Jedoch ging es so schnell das ich dem braten nicht
> ganz traue und nochmal nachfragen wollte ob es so richtig
> ist:
>
> Aufgabe:
>
> Zeigen Sie, daß U := { [mm]\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]x_1 \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } ein Unterraum des [mm]\IR^3[/mm] ist.
>
> meine Lösung:
Hallo,
Seien
>
> [mm]\vec{x}[/mm] , [mm]\vec{y} \in[/mm] U.
Dann gibt es [mm] x_1 [/mm] und [mm] y_1\in \IR [/mm] mit
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vektor{y_1 \\ 0 \\ 0}[/mm].
>
> 1)
Es ist
>
> [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y} \Rightarrow \vektor{x_1 + y_1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm] \in [/mm] U,
denn
[mm] x_1+y_1\in \IR.
[/mm]
> 2)
>
Sei
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] und [mm]\vec{x}[/mm]
>
Es ist
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{\lambda * x_1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
[mm] \in [/mm] U, denn
>
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]x_1[/mm] [mm] \in \IR
[/mm]
>
> bewiesen.
>
> Reicht das so aus? Ist das richtig?
Ja, das ist richtig.
Eines fehlt: Du hast vergessen zu zeigen, daß U nicht leer ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Yami |
achso, gut dann bin ich ja beruhigt, was mir noch aufgefallen ist unter dieser aufgabe steht eine neue ist ja klar  aber und zwar kommt dieser Vektor wieder vor und zwar:
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm] \IR^3?
[/mm]
a) Die Menge aller Vektoren der Form [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
.
.
.
dann gehts so weiter diese schaffe ich schon doch ich wollte aus reinem verständnis nachfragen.
Mit Menge ist ja nur gemeint das es mehrere sind aber da ich schon in der vorherigen Augabe bewiesen habe das es sich für diesen Vektor der form [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0} [/mm] um ein Unterraum handelt kann ich doch sagen das somit alle in der Menge vorhandenen Vektoren der form [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0} [/mm] auch Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm] sind... also wäre die Menge ein Unterraum von [mm] \IR^3
[/mm]
somit muss ich für die weiteren Mengen also b) c) d) nur für einen Vektor aus der Menge zeigen das es sich um einen Unterraum handelt und kann das dann für die ganze Menge annehmen.
das habe ich doch richtig verstanden und meine argumentationsweise ist doch richtig? Oder muss ich noch was anderes zeigen damit ich behaupten kann das die Menge Unterraum ist?
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> achso, gut dann bin ich ja beruhigt, was mir noch
> aufgefallen ist unter dieser aufgabe steht eine neue ist ja
> klar aber und zwar kommt dieser Vektor wieder vor und
> zwar:
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> Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm]\IR^3?[/mm]
>
> a) Die Menge aller Vektoren der Form [mm]\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> .
> .
> .
> dann gehts so weiter diese schaffe ich schon doch ich
> wollte aus reinem verständnis nachfragen.
>
> Mit Menge ist ja nur gemeint das es mehrere sind
Hallo,
wenn da noch steht. [mm] x_1\in \IR, [/mm] dann ist das dja genau die Menge U, von der Du gerade gezeigt hast, daß es ein UR ist.
> somit muss ich für die weiteren Mengen also b) c) d) nur
> für einen Vektor aus der Menge zeigen das es sich um einen
> Unterraum handelt und kann das dann für die ganze Menge
> annehmen.
Das kapiere ich jetzt nicht.
Ein Vektor ist nie ein Unterraum, es sei denn, es handelt sich um den Nullvektor.
Ich kenne Deine Mengen nicht, und ich weiß nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Yami |
Also die Aufgabenstellung ist nur die hier mehr steht da nicht.....
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] ?
a) Die Menge aller Vektoren der Form [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
b).....
c).....
mehr habe ich nicht und wie ich aus deiner antwort entnommen habe geht das nicht mit meinem Lösungsansatz wie finde ich denn hier einen ansatz um nun a) zu lösen bzw. zu beweisen / widerlegen das es sich um ein Unterraum handelt?
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> Also die Aufgabenstellung ist nur die hier mehr steht da
> nicht.....
>
> Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des [mm]\IR^3[/mm] ?
>
> a) Die Menge aller Vektoren der Form [mm]\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Hallo,
ja, dafür hast Du's doch schon gezeigt. das ist doch Dein U.
>
> b).....
>
> c).....
>
> mehr habe ich nicht und wie ich aus deiner antwort
> entnommen habe geht das nicht mit meinem Lösungsansatz
Ich weiß nicht, vo nwelchem Ansatz Du jetzt redest. Für U hattest du die Unterraumeigenschaft doch nahezu korrekt gezeigt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Yami |
Achso.....
weil die nnächste also b) wäre dann
Ist die follgende Menge Unterraum des [mm] \IR^3
[/mm]
- die Menge aller Vektorn der Form [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3
[/mm]
wie würde ich hier vorgehen weil hier steht nichts mit [mm] x_1, x_2, x_3 \in \IR [/mm] oder etwas in der art.....
oder kann ich das einfach annehmen?
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> Achso.....
>
> weil die nnächste also b) wäre dann
>
> Ist die follgende Menge Unterraum des [mm]\IR^3[/mm]
>
> - die Menge aller Vektorn der Form [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
> und [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm]
>
> wie würde ich hier vorgehen weil hier steht nichts mit [mm]x_1, x_2, x_3 \in \IR[/mm]
> oder etwas in der art.....
>
> oder kann ich das einfach annehmen?
Jaja, da es um den [mm] \IR^3 [/mm] geht, sind die in [mm] \IR.
[/mm]
Du mußt hier wie zuvor die drei Unterraumkriterien vorrechnen, also zeigen, daß die Menge nichtleer ist, und jede Summe aus zwei solcher Vektoren sowie das Produkt mit einem Skalar wieder diese Gestalt hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Yami |
Achso, das habe ich mir auch so gedacht nur vielleicht falsch formuliert..... also kann ich sagen:
U := [mm] {\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}, x_1 \in \IR} [/mm] ist gleich die mange aller Vektoren der Form [mm] \vektor{x_1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ?
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> Achso, das habe ich mir auch so gedacht nur vielleicht
> falsch formuliert..... also kann ich sagen:
>
> U := [mm]{\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}, x_1 \in \IR}[/mm] ist gleich die
> mange aller Vektoren der Form [mm]\vektor{x_1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ?
Hallo,
ja.
Gruß v. Angela
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