Unterräume von Banachräumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich suche ein anschauliches Beispiel eines nichtabgeschlossenen Unterraumes eines Banachraumes!
|
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand von Euch ein anschauliches Beispiel eines Banachraumes und seinen nicht abgeschlossenen Unterraumes geben könnte!
Ausserdem würde mich noch interessieren: Gilt folgende Aussage: ein abgeschlossener Unterraum eines Banachraumes ist ebenfalls ein Banachraum
Vielen Dank und viele Grüsse,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 28.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Wie wärs mit dem Banachraum
[mm] (C[a,b],\parallel*\parallel)
[/mm]
Den stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm?
Diese bilden einen Banachraum und da findet sich sicherlich leicht ein Unterraum.
|
|
|
| |
|
Hmm, das ist richtig, aber ich frage mich immer noch, wo da der NICHT ABGESCHLOSSENE Unterraum sein soll!
die betonung liegt auf "nicht abgeschlossen", denn einen beliebigen unterraum zu finden ist doch recht einfach!
Viele Grüsse,
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hi Tomatito80,
betrachte stetig-differenzierbare Funktionen, und gucke, ob sich diese Eigenschaft auf die Grenzfunktion vererbt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Tomatito80 |
Ok, vielen Dank! Jetzt verstehe ich endlich, die [mm] f_{n}(x)= x^{n} [/mm] in dem Raum C([0,1]) konvergieren gegen 0, falls x [mm] \in [/mm] [0,1) und 1, falls x = 1
Viele Grüsse,
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo Thomas,
Deine Argumentation klingt zwar eigentlich schlüssig, aber es ist unklar, mit welcher Norm Du dann $C([0,1])$ betrachtest. Das müßtest Du explizit angeben. Denn bzgl. der Supremumsnorm ist die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN} \in C([0,1])^\IN$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$) z.B. noch nicht mal konvergent.
Der Hinweis ist übrigens anders gemeint:
Eine Funktion $f$ ist genau dann stetig diff'bar auf $[0,1]$
(also [mm] $\in C^1([0,1])$), [/mm] wenn $f$ diffbar auf $(0,1)$,
rechtsseitig diffbar in [mm] $x_0=0$, [/mm] linksseitig diffbar in [mm] $x_0=1$ [/mm] und auch wieder $f' [mm] \in [/mm] C([0,1])$ ist.
P.S.:
Betrachte nun mal $C([-1,1])$ mit der Supremumsnorm und die Folge
[mm] $(f_n)_{n \in \IN} \in C^1([-1,1])^\IN$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=\wurzel(x^2+\frac{1}{n})$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [-1,1]$),
d.h. die so definierten [mm] $f_n$ [/mm] sind alle in dem Unterraum [mm] $C^1([-1,1])$ [/mm] (das behaupte ich jetzt einfach, kannst Du das begründen?).
(Genauer:
[mm] $(C([-1,1]),\parallel [/mm] . [mm] \parallel_\infty)$ [/mm] ist der zugrunde liegende normierte Raum, und
[mm] (C^1([-1,1]),\parallel [/mm] . [mm] \parallel^{(2)}_\infty) [/mm] ist der betrachtete Unterraum,
wobei [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel^{(2)}_\infty [/mm] die "Norm [mm] \parallel.\parallel_\infty [/mm] eingeschränkt auf [mm] $C^1([-1,1])$" [/mm] ist.)
Zeige:
Die Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN} \in C^1([-1,1])$ [/mm] ist in $C([-1,1])$, versehen mit der Supremumsnorm, konvergent gegen $f(x)=|x|$. Das bedeutet was?
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
