Unterräume und direkte Summen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] Unterräume des Vektorraums V über dem Körper K. Zu zeigen ist, dass die Summe von [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] im allgemeinen selbst dann nicht direkte Summe von [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] sein muss. wenn zusätzlich [mm] U_{i} \cap U_{j}=0 [/mm] für alle i [mm] \not= [/mm] j aus {1,...,n} gilt. |
Hallo ihr Lieben,
ich habe leider überhapt keine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen kann; momentan habe ich nicht mal einen Ansatz und bin mir auch nicht wirklich sicher, was ich jetzt eigentlich zeigen muss...
Ich kenne die Definitionen von Vektorräumen, Untervektorräumen und von direkten Summen. Mir fehlt nur die Idee, was ich jetzt eigentlich zeigen muss und dann auch einwn Ansatz, wie das zu tun ist?!?!
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen. Kann mir jemand helfen??
LG und vielen Dank schon mal
pythagora
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 07.01.2010 | | Autor: | max3000 |
Da musst du eigentlich nur ein Gegenbeispiel finden.
Ich würde vielleicht über die Basen von [mm] U_1,\ldots,U_n [/mm] gehen.
Das ist leider der einzige Hinweis den ich dir geben kann.
Wenn du die Definitionen kennst, dann schreib sie doch mal bitte hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Do 07.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo
Danke erstmal für die schnelle Reaktion
> Da musst du eigentlich nur ein Gegenbeispiel finden.
> Ich würde vielleicht über die Basen von [mm]U_1,\ldots,U_n[/mm]
> gehen.
> Das ist leider der einzige Hinweis den ich dir geben
> kann.
Das hilft mir leider nicht wirklich, ich weiß ja nicht mal wirklich, was ich genau zeigen muss
> Wenn du die Definitionen kennst, dann schreib sie doch mal
> bitte hin.
OK:
Untervektorräume:
1) U ist nicht leer
2) wenn x und y in U sind, so ist auch ihre additive Verknüpfung in U
3) wenn x in U sind, so ist auch die multiplikative Verknüpfung von k (aus K) mit x in U
direkte Summe:
V1 [mm] \oplus [/mm] V2 = V1 [mm] \times [/mm] V2
(soweit ich weiß!?!)
Vektorräume:
Ich kenne da die 10 einzelenen Axiome bzw. die "Kurzversion" (http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum -->sorry, mag die nicht noch alle tippen^^)
Jetzt müsste ich nur noch wissen, was ich zeigen soll; das ist bislang mein größtes Problem,...
Mag mir jemand helfen??
LG
pythagora
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> Seien [mm]U_{1},...,U_{n}[/mm] Unterräume des Vektorraums V über
> dem Körper K. Zu zeigen ist, dass die Summe von
> [mm]U_{1},...,U_{n}[/mm] im allgemeinen selbst dann nicht direkte
> Summe von [mm]U_{1},...,U_{n}[/mm] sein muss. wenn zusätzlich
> [mm]U_{i} \cap U_{j}=0[/mm] für alle i [mm]\not=[/mm] j aus {1,...,n} gilt.
Hallo,
zunächst einmal wäre es wichtig, mal die Def. der direkten Summe von n Unterräumen aufzuschreiben, denn die brauchen wir ja auf jeden Fall - und zwar nichts Ausgedachtes, sondern so, wie es in Deiner Vorlesung definiert wurde...
Nun machen wir ein konkretes Bespiel:
geh mal in den [mm] \IR^3 [/mm] und sag drei eindimensionale Unterräume [mm] U_1:=, U_2:=, U_3:=, [/mm] deren Summe direkt ist.
Und jetzt betrachte als nächstes die Unterräume [mm] U_1, U_2, U_4:=
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 Fr 08.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo
ich habe hier im Anhang meine Notizen der Vorlesung, also die Definition, die wir gemacht haben von direkten Summen... Ist leider ein bisschen schief, weil ich das Dokument selbst nur auf dem Laptop habe, daher musste ich den Ausdruck scannen...
Ich komme aber leider immer noch nicht weiter mit dieser Aufgabe.
Kann mir jemand erklären was ich zeigen muss und mir vielleicht einen Denkansatz geben??
Das wäre lieb
LG
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist doch nicht zuviel verlangt die Definition abzuschreiben, das ist auch ne Hilfe für dich, sie zu lernen!
Gruss leduart
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Hey, ja ich weiß, ich brauche nur immer so lange für die Formeln^^ daher nur als Anhang
Tut mir leid, also hier die Definition für direkte Summen:
Es seinen [mm] U_{1},...,U_{r} [/mm] lineare Unterräume eines K-Vektorraums V. Dann wird die Summe dieser Unterräume erklärt durch:
[mm] \summe_{i=1}^{r} U_{i} [/mm] = { [mm] \summe_{i=1}^{r} b_{i} [/mm] ; [mm] b_{i} \in U_{i} [/mm] für i=1,...,r}
Aber was muss ich denn nun zeigen?? Ich habe noch immer Probeleme dabei zu verstehen, was genau die aufgabe "verlangt"!? (Ich möchte nicht die Lösung haben, sondern möchte es gerne selber machen und verstehen bzw. lernen wie das geht)
Mag mir jemand helfen??
LG
pythagora
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> Hey, ja ich weiß, ich brauche nur immer so lange für die
> Formeln^^ daher nur als Anhang
> Tut mir leid, also hier die Definition für direkte
> Summen:
> Es seinen [mm]U_{1},...,U_{r}[/mm] lineare Unterräume eines
> K-Vektorraums V. Dann wird die Summe dieser Unterräume
> erklärt durch:
> [mm]\summe_{i=1}^{r} U_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\summe_{i=1}^{r} b_{i}[/mm] ; [mm]b_{i} \in U_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> für i=1,...,r}
Hallo,
was Du hier schreibst, ist die Definition der Summe von n Unterräumen.
Das ist schonmal nützlich.
Wir brauchen aber für die Aufgabe noch die Definition für die direkte Summe.
Ohne zu wissen, worum es geht, kann man ja die Aufgabe nicht lösen.
Du sollst dann ja zeigen, daß eine Aussage "i.a. nicht gilt".
Das tut man, in dem man ein Beispiel liefert.
Hier: Unterräume, deren paarweiser Schnitt nur die 0 enthält, deren Summe aber nicht direkt ist.
Es ist sicher kein Fehler, wenn Du den Abschnitt über die direkte Summe gründlich nacharbeitest, bevor Du die Augabe löst.
Gruß v. Angela
>
> Aber was muss ich denn nun zeigen?? Ich habe noch immer
> Probeleme dabei zu verstehen, was genau die aufgabe
> "verlangt"!? (Ich möchte nicht die Lösung haben, sondern
> möchte es gerne selber machen und verstehen bzw. lernen
> wie das geht)
> Mag mir jemand helfen??
>
> LG
> pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Fr 08.01.2010 | | Autor: | pythagora |
aber nach der summe von unterräumen war ja auch gefragt, somit hab ich schonmal eine definition, die der direkten summe müsste:
U = [mm] \otimes_(i=1-bis-r) U_{i} [/mm] die direkte Summer der [mm] U_{i}
[/mm]
sein
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pythagora,
das ist die direkte Summe von Vektorräumen. Verwirrenderweise gibt es daneben eine direkte Summe von Unterräumen. Obwohl das ja auch Vektorräume sind. Man muss also bei Unterräumen aufpassen, welche direkte Summe nun gemeint ist (so gut wie immer und insbesondere hier schon die von Unterräumen).
Wie lautet die Definition einer direkten Summe von Unterräumen? Schlag das am besten noch mal nach!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Fr 08.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
ich beziehe mich auf die Frage unter https://matheraum.de/read?i=639087.
> >Hey also ich sitze an der selben Aufgabe und habe keinen wirklichen Ansatz die Definition einer direkten Summe ist mir schon klar..d.h. ja neben der Voraussetzung die in der Aufgabe gegeben ist nämlich das [mm] U_{1}\cap U_{2}=0 [/mm] ist
Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume [mm] $U_1,\ldots,U_n$ [/mm] von V, so dass
a) $ [mm] U_{i} \cap U_{j}=0 [/mm] $ für alle [mm] $i\not= [/mm] j$ aus [mm] \{1,\ldots,n\}
[/mm]
b) die Summe [mm] $\summe_{i=1}^nU_i$ [/mm] ist NICHT direkt.
Diese Objekte sind gesucht, nicht gegeben.
> >des weiteren muss für eine Summe [mm] U=\summe_{i=1}^{r} U_{i} [/mm] folgendes gelten:
> >a) für jedes [mm] b\in [/mm] U gibt es eine Darstellung [mm] b=\summe_{i=1}^{r} b_{i} [/mm] mit eindeutig bestimmten Vektoren [mm] b_{i} \in U_{i}, [/mm] i=1,...,r
> >b) Aus [mm] \summe_{i=1}^{r} b_{i} [/mm] =0 mit Vektoren [mm] b_{i} \in U_{i} [/mm] folgt [mm] b_{i}=0 [/mm] für i=1,...,r
> >c) Für p=1,...,r gilt [mm] U_{p} \cap \summe_{i \not= p} [/mm] =0
Ihr habt in der Vorlesung sicherlich gezeigt, dass a), b) und c) äquivalent sind. Definition davon, dass die Summe [mm] $\summe_{i=1}^rU_i$ [/mm] direkt ist, ist dann, dass diese äquivalenten Bedingungen gelten.
> >aber wie hilft mir diese Definition bei der Aufgabe weiter?
Wir suchen Objekte mit Eigenschaft b), also müssen wir wissen was b) bedeutet und dazu müssen wir wissen was es bedeutet, dass eine Summe direkt ist.
Während alles obige Standardüberlegungen für diverse Übungsaufgaben sind, braucht man jetzt irgendwelche speziellen Ideen, wie man an solche Objekte drankommt. Da gibt es keine ganz pauschale Strategie. Ich versuche mal ein paar mögliche Gedanken aufzuschreiben. Gar nicht so einfach...
Naheliegend finde ich, möglichst "einfache" Objekte zu wählen, also z.B. n möglichst klein. Zu "einfach" wird uns aber auch nicht zum Ziel führen, denn z.B. n=2 würde aus aus a) automatisch folgen, dass die Summe [mm] $\summe_{i=1}^2U_i=U_1+U_2$ [/mm] direkt ist (das hattet ihr anscheinend in der Vorlesung), also b) NICHT gilt. Nehmen wir mal n=3!
Wenn einer der Unterräume [mm] $U_1,U_2,U_3$ [/mm] (die wir noch geeignet finden müssen) der Nullraum 0 ist, etwa [mm] $U_1=0$, [/mm] so könnte man mit [mm] $U_2\cap U_3=0$ [/mm] (folgt aus a)) zeigen, dass die Summe [mm] $\summe_{i=1}^nU_i=U_1+U_2+U_3$ [/mm] direkt wäre und damit b) verletzt. Den Nullraum als einen der Unterräume zu nehmen wäre also eine schlechte Idee.
Genauso wäre es eine schlechte Idee, als einen der Unterräume ganz V zu nehmen. Denn wenn z.B. [mm] $U_1=V$, [/mm] dann wäre [mm] $U_1\cap U_2=U_2$ [/mm] und damit (da wir ja [mm] $U_2$ [/mm] nicht als den Nullraum wählen können) wäre [mm] $U_1\cap U_2\not=0$, [/mm] also a) verletzt.
Mehrmals den gleichen Unterraum sollten wir auch nicht nehmen, denn wenn z.B. [mm] $U_1=U_2$ [/mm] wäre, dann wäre [mm] $U_1\cap U_2=U_1\not=0$ [/mm] und erneut wäre a) verletzt.
Wir brauchen also auf jeden Fall (vorausgesetzt man kann n=3 nehmen) drei verschiedene Unterräume, die weder der Nullraum noch ganz V sind, in einem Vektorraum V.
Welche (möglichst einfachen) Vektorräume V kennst du so? Ist da einer dabei, der mindestens drei verschiedene Unterräume außer dem Nullraum und ganz V hat? Tipp: 0-dimensionale und 1-dimensionale Vektorräume V tun dies nicht. Wie wäre es mit einem 2-dimensionalen?
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> > >des weiteren muss für eine Summe [mm]U=\summe_{i=1}^{r} U_{i}[/mm]
> folgendes gelten:
> > >a) für jedes [mm]b\in[/mm] U gibt es eine Darstellung
> [mm]b=\summe_{i=1}^{r} b_{i}[/mm] mit eindeutig bestimmten Vektoren
> [mm]b_{i} \in U_{i},[/mm] i=1,...,r
> > >b) Aus [mm]\summe_{i=1}^{r} b_{i}[/mm] =0 mit Vektoren [mm]b_{i} \in U_{i}[/mm]
> folgt [mm]b_{i}=0[/mm] für i=1,...,r
> > >c) Für p=1,...,r gilt [mm]U_{p} \cap \summe_{i \not= p}[/mm] =0
> Ihr habt in der Vorlesung sicherlich gezeigt, dass a), b)
> und c) äquivalent sind.
Ja haben wir ich war mir bloß nicht sicher welcher Satz für diese Aufgabe am nützlichsten ist...
>Definition davon, dass die Summe
> [mm]\summe_{i=1}^rU_i[/mm] direkt ist, ist dann, dass diese
> äquivalenten Bedingungen gelten.
>
> > >aber wie hilft mir diese Definition bei der Aufgabe
> weiter?
> Wir suchen Objekte mit Eigenschaft b), also müssen wir
> wissen was b) bedeutet und dazu müssen wir wissen was es
> bedeutet, dass eine Summe direkt ist.
>
>
> Naheliegend finde ich, möglichst "einfache" Objekte zu
> wählen, also z.B. n möglichst klein. Zu "einfach" wird
> uns aber auch nicht zum Ziel führen, denn z.B. n=2 würde
> aus aus a) automatisch folgen, dass die Summe
> [mm]\summe_{i=1}^2U_i=U_1+U_2[/mm] direkt ist (das hattet ihr
> anscheinend in der Vorlesung), also b) NICHT gilt. Nehmen
> wir mal n=3!
> Wenn einer der Unterräume [mm]U_1,U_2,U_3[/mm] (die wir noch
> geeignet finden müssen) der Nullraum 0 ist, etwa [mm]U_1=0[/mm], so
> könnte man mit [mm]U_2\cap U_3=0[/mm] (folgt aus a)) zeigen, dass
> die Summe [mm]\summe_{i=1}^nU_i=U_1+U_2+U_3[/mm] direkt wäre und
> damit b) verletzt. Den Nullraum als einen der Unterräume
> zu nehmen wäre also eine schlechte Idee.
> Genauso wäre es eine schlechte Idee, als einen der
> Unterräume ganz V zu nehmen. Denn wenn z.B. [mm]U_1=V[/mm], dann
> wäre [mm]U_1\cap U_2=U_2[/mm] und damit (da wir ja [mm]U_2[/mm] nicht als
> den Nullraum wählen können) wäre [mm]U_1\cap U_2\not=0[/mm], also
> a) verletzt.
> Mehrmals den gleichen Unterraum sollten wir auch nicht
> nehmen, denn wenn z.B. [mm]U_1=U_2[/mm] wäre, dann wäre [mm]U_1\cap U_2=U_1\not=0[/mm]
> und erneut wäre a) verletzt.
> Wir brauchen also auf jeden Fall (vorausgesetzt man kann
> n=3 nehmen) drei verschiedene Unterräume, die weder der
> Nullraum noch ganz V sind, in einem Vektorraum V.
Also jetzt habe ich wenigstens schonmal verstanden was ich genau machen soll...
> Welche (möglichst einfachen) Vektorräume V kennst du so?
> Ist da einer dabei, der mindestens drei verschiedene
> Unterräume außer dem Nullraum und ganz V hat? Tipp:
> 0-dimensionale und 1-dimensionale Vektorräume V tun dies
> nicht. Wie wäre es mit einem 2-dimensionalen?
Da fallen mir jetzt so spontan nur [mm] \IR^{2} [/mm] und [mm] K^{2} [/mm] ein...nützt uns von den beiden Vektorräumen einer etwas?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Ihr habt in der Vorlesung sicherlich gezeigt, dass a), b)
> > und c) äquivalent sind.
>
> Ja haben wir ich war mir bloß nicht sicher welcher Satz
> für diese Aufgabe am nützlichsten ist...
Das ist eine gute Herangehensweise!
> Da fallen mir jetzt so spontan nur [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]K^{2}[/mm]
> ein...nützt uns von den beiden Vektorräumen einer etwas?
Wir benötigen in jedem Fall (wieder vorausgesetzt, es gibt überhaupt ein Gegenbeispiel mit n=3) drei verschiedene Unterräume des Vektorraumes (die darüber hinaus nicht der Nullraum und nicht der ganze Vektorraum sind). Wie sehen die Unterräume von [mm] $\IR^2$ [/mm] bzw. [mm] $K^2$ [/mm] für beliebigen Körper K aus? (Falls du nicht weiterkommst: Überlege zu den einzelnen möglichen Dimensionen, welche Unterräume dieser Dimension es gibt.)
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> > Da fallen mir jetzt so spontan nur [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]K^{2}[/mm]
> > ein...nützt uns von den beiden Vektorräumen einer etwas?
> Wir benötigen in jedem Fall (wieder vorausgesetzt, es gibt
> überhaupt ein Gegenbeispiel mit n=3) drei verschiedene
> Unterräume des Vektorraumes (die darüber hinaus nicht der
> Nullraum und nicht der ganze Vektorraum sind). Wie sehen
> die Unterräume von [mm]\IR^2[/mm] bzw. [mm]K^2[/mm] für beliebigen Körper
> K aus? (Falls du nicht weiterkommst: Überlege zu den
> einzelnen möglichen Dimensionen, welche Unterräume dieser
> Dimension es gibt.)
Ganz ehrlichd as mit den Dimensionen und dem Vorstellen klappt bei mir noch nicht so..das einzige was ich von [mm] K^{2} [/mm] weiß ist das er ohne den Nullraum |K|+1 Unterräume hat aber das bringt mir ja auch nicht weiter..die Unterräume dieser beiden Vektorräume sind doch einfach nur Graden oder nicht?...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ganz ehrlichd as mit den Dimensionen und dem Vorstellen
> klappt bei mir noch nicht so..das einzige was ich von [mm]K^{2}[/mm]
> weiß ist das er ohne den Nullraum |K|+1 Unterräume hat
> aber das bringt mir ja auch nicht weiter..die Unterräume
> dieser beiden Vektorräume sind doch einfach nur Graden
> oder nicht?...
(Ich komme EINSCHLIEßLICH des Nullraumes auf |K|+1 Unterräume.) Bis auf zwei Unterräume sind alle Unterräume Geraden. Wie sieht eine Gerade aus? Kannst du mal ein oder mehrere Beispiele für Geraden nennen? Anders gefragt: Fallen dir außer dem Nullraum irgendwelche Beispielunterräume des [mm] $K^2$ [/mm] oder konkreter des [mm] $\IR^2$ [/mm] ein?
Danach beantworte ich auch die Frage nach allen Unterräumen des [mm] $K^2$. [/mm] Wenn uns geeignete Beispiele für Unterräume einfallen, brauchen wir diese genaue Klassifikation für diese Aufgabe gar nicht. Aber trotzdem ist es sicherlich ganz gut, sie zu kennen und zu verstehen.
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> > Ganz ehrlichd as mit den Dimensionen und dem Vorstellen
> > klappt bei mir noch nicht so..das einzige was ich von [mm]K^{2}[/mm]
> > weiß ist das er ohne den Nullraum |K|+1 Unterräume hat
> > aber das bringt mir ja auch nicht weiter..die Unterräume
> > dieser beiden Vektorräume sind doch einfach nur Graden
> > oder nicht?...
> (Ich komme EINSCHLIEßLICH des Nullraumes auf |K|+1
> Unterräume.) Bis auf zwei Unterräume sind alle
> Unterräume Geraden. Wie sieht eine Gerade aus?
Naja eine Gerade kann man doch einfach durch f(x)=mx+n definieren oder nicht?
> Kannst du
> mal ein oder mehrere Beispiele für Geraden nennen? Anders
> gefragt: Fallen dir außer dem Nullraum irgendwelche
> Beispielunterräume des [mm]K^2[/mm] oder konkreter des [mm]\IR^2[/mm] ein?
Könnte ich nicht einfach beliebige reele Zahlen in die Gradengleichung einsetzen um einen Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] zu erhalten?
> Danach beantworte ich auch die Frage nach allen
> Unterräumen des [mm]K^2[/mm]. Wenn uns geeignete Beispiele für
> Unterräume einfallen, brauchen wir diese genaue
> Klassifikation für diese Aufgabe gar nicht. Aber trotzdem
> ist es sicherlich ganz gut, sie zu kennen und zu verstehen.
Ja auf jedenfall will ichd as verstehen das brauch ich ja garantiert in Zukunft auch noch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Wie sieht eine Gerade aus?
>
> Naja eine Gerade kann man doch einfach durch f(x)=mx+n
> definieren oder nicht?
Das sind Geraden, wie man sie aus der Mittelstufe der Schule kennt: spezielle Funktionen [mm] $\IR\to\IR$.
[/mm]
Mit Geraden sind hier dagegen spezielle Unterräume von Vektorräumen gemeint. Ich weiß nicht genau, was ihr als Definition von Gerade hattet, eine mögliche Definition lautet jedenfalls, dass eine Gerade ein eindimensionaler Unterraum eines Vektorraumes ist.
(Der Graph einer wie von dir angegebenen Funktion f bildet einen AFFINEN Unterraum (das ist im Allgemeinen kein Unterraum) des [mm] $\IR^2$. [/mm] Die beiden Begriffe haben also schon etwas miteinander zu tun. Aber das braucht dich gar nicht zu interessieren, weil du in der Uni-linearen-Algebra den Schul-Begriff gar nicht brauchen wirst.)
> > Kannst du
> > mal ein oder mehrere Beispiele für Geraden nennen? Anders
> > gefragt: Fallen dir außer dem Nullraum irgendwelche
> > Beispielunterräume des [mm]K^2[/mm] oder konkreter des [mm]\IR^2[/mm] ein?
>
> Könnte ich nicht einfach beliebige reele Zahlen in die
> Gradengleichung einsetzen um einen Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm] zu
> erhalten?
Du müsstest schon irgendwie eine Teilmenge von [mm] $\IR^2$ [/mm] erhalten. (Und mit dem Graph einer solchen Funktion würdest du i.A. nur einen affinen Unterraum und keinen Unterraum erhalten.) Also besser den Schul-Begriff beiseite lassen.
> Ja auf jedenfall will ichd as verstehen das brauch ich ja
> garantiert in Zukunft auch noch...
Sicherlich.
Ich behaupte: Für eine natürliche Zahl k sind die k-dimensionalen Unterräume eines Vektorraumes V gerade die Unterräume [mm] $\subset [/mm] V$ für Vektoren [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] V$, die linear unabhängig sind. Das System [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] bildet dann eine Basis von [mm] .
[/mm]
Beweis: Es genügt, zwei Dinge sind zu zeigen:
1. Für alle linear unabhängigen Vektoren [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] V$ bildet [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] eine Basis von [mm] $$. [/mm] (Da sie Länge k hat, folgt insbesondere, dass [mm] $$ [/mm] die Dimension k hat.)
2. Für jeden k-dimensionalen Unterraum [mm] $U\subset [/mm] V$ gilt [mm] $U=$ [/mm] für gewisse linear unabhängige [mm] $a_1,\ldots,a_k\in [/mm] V$.
zu 1.: Das System [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] ist ein Erzeugendensystem von [mm] $\subset [/mm] V$ und als linear unabhängig vorausgesetzt.
zu 2.: Da U k-dimensional ist, existiert eine Basis [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] der Länge k von U. Dann sind [mm] $a_1,\ldots,a_k$ [/mm] linear unabhängig und es gilt (da [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] Erzeugendensystem von U) [mm] $=U$.
[/mm]
Damit hätten wir beschrieben, wie die k-dimensionalen Unterräume eines beliebigen Vektorraumes aussehen! Auf diese Art stelle ich mir sie auch vor. Und [mm] $$ [/mm] (mit [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] linear unabhängig) kann ich mir am besten vorstellen dadurch, dass er als eine Basis [mm] $(a_1,\ldots,a_k)$ [/mm] hat. Und dies bedeutet gerade, dass die die Vektoren aus [mm] $$ [/mm] gerade die Linearkombinationen von [mm] $a_1,\ldots,a_k$ [/mm] sind (gut, dass ergibt sich auch sofort aus der Definition von [mm] $$...) [/mm] und verschiedene Linearkombinationen (also solche mit verschiedenen Koeffizienten) auch zu verschiedenen Vektoren führen.
Schauen wir uns nun speziell die 1-dimensionalen Unterräume eines Vektorraumes V (also die Geraden) an.
Wir benötigen dazu folgende Aussage: Für einen Vektor [mm] $a\in [/mm] V$ ist das System $(a)$ bestehend nur aus diesem Vektor genau dann linear unabhängig, wenn [mm] $a\not=0$ [/mm] gilt. Das hattet ihr hoffentlich in der Vorlesung? Ansonsten ist es eine gute Übungsaufgabe zum Begriff linear unabhängig!
Die 1-dimensionalen Unterräume von V sind nach unserer Charakterisierung der k-dimensionalen Unterräume mit $k=1$ gerade die Unterräume $<a>$ mit [mm] $a\in [/mm] V$, so dass das System $(a)$ linear unabhängig ist, also gerade die Unterräume $<a>$ mit [mm] $a\in [/mm] V$, [mm] $a\not= [/mm] 0$.
Kannst du also jetzt ein paar Beispielunterräume z.B. von [mm] $\IR^2$ [/mm] angeben? Und sie neben der Spannschreibweise (mithilfe der Definition des Spanns) auch in der Form [mm] $\{\ldots\;|\;\ldots\}$ [/mm] angeben?
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So ich habe mal in meinem Mathebruch geguckt das einzige was ich zum Thema Grade habe ist: Für einen Vektor a [mm] \in [/mm] V ist [mm] K*a:={\alphaa;a\inK} [/mm] stets ein lineare Unterraum von V. Im falle [mm] a\not= [/mm] 0 kann man hier von einer Geraden sprechen.
> > Ja auf jedenfall will ichd as verstehen das brauch ich ja
> > garantiert in Zukunft auch noch...
> Sicherlich.
>
> Ich behaupte: Für eine natürliche Zahl k sind die
> k-dimensionalen Unterräume eines Vektorraumes V gerade die
> Unterräume [mm]\subset V[/mm] für Vektoren
> [mm]a_1,\ldots,a_k\in V[/mm], die linear unabhängig sind. Das
> System [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm] bildet dann eine Basis von
> [mm].[/mm]
>
> Beweis: Es genügt, zwei Dinge sind zu zeigen:
> 1. Für alle linear unabhängigen Vektoren
> [mm]a_1,\ldots,a_k\in V[/mm] bildet [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm] eine Basis von
> [mm][/mm]. (Da sie Länge k hat, folgt insbesondere,
> dass [mm][/mm] die Dimension k hat.)
> 2. Für jeden k-dimensionalen Unterraum [mm]U\subset V[/mm] gilt
> [mm]U=[/mm] für gewisse linear unabhängige
> [mm]a_1,\ldots,a_k\in V[/mm].
> zu 1.: Das System [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm]
> ist ein Erzeugendensystem von [mm]\subset V[/mm] und
> als linear unabhängig vorausgesetzt.
> zu 2.: Da U k-dimensional ist, existiert eine Basis
> [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm] der Länge k von U. Dann sind
> [mm]a_1,\ldots,a_k[/mm] linear unabhängig und es gilt (da
> [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm] Erzeugendensystem von U)
> [mm]=U[/mm].
>
> Damit hätten wir beschrieben, wie die k-dimensionalen
> Unterräume eines beliebigen Vektorraumes aussehen! Auf
> diese Art stelle ich mir sie auch vor. Und [mm][/mm]
> (mit [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm] linear unabhängig) kann ich mir am
> besten vorstellen dadurch, dass er als eine Basis
> [mm](a_1,\ldots,a_k)[/mm] hat. Und dies bedeutet gerade, dass die
> die Vektoren aus [mm][/mm] gerade die
> Linearkombinationen von [mm]a_1,\ldots,a_k[/mm] sind (gut, dass
> ergibt sich auch sofort aus der Definition von
> [mm][/mm]...) und verschiedene Linearkombinationen
> (also solche mit verschiedenen Koeffizienten) auch zu
> verschiedenen Vektoren führen.
>
> Schauen wir uns nun speziell die 1-dimensionalen
> Unterräume eines Vektorraumes V (also die Geraden) an.
>
> Wir benötigen dazu folgende Aussage: Für einen Vektor
> [mm]a\in V[/mm] ist das System [mm](a)[/mm] bestehend nur aus diesem Vektor
> genau dann linear unabhängig, wenn [mm]a\not=0[/mm] gilt. Das
> hattet ihr hoffentlich in der Vorlesung? Ansonsten ist es
> eine gute Übungsaufgabe zum Begriff linear unabhängig!
>
> Die 1-dimensionalen Unterräume von V sind nach unserer
> Charakterisierung der k-dimensionalen Unterräume mit [mm]k=1[/mm]
> gerade die Unterräume [mm][/mm] mit [mm]a\in V[/mm], so dass das System
> [mm](a)[/mm] linear unabhängig ist, also gerade die Unterräume [mm][/mm]
> mit [mm]a\in V[/mm], [mm]a\not= 0[/mm].
so jetzt kann ich es mir chon viel besser vorstellen..
> Kannst du also jetzt ein paar Beispielunterräume z.B. von
> [mm]\IR^2[/mm] angeben? Und sie neben der Spannschreibweise
> (mithilfe der Definition des Spanns) auch in der Form
> [mm]\{\ldots\;|\;\ldots\}[/mm] angeben?
naja auf jedenfall is [mm] R^{2} [/mm] selber ein Unterraum und der Nullraum aber die interessieren uns ja nicht..
und dann gehören natürlich noch alle Geraden dazu die durch 0 gehen..aber ich weiß nicht wie ich dir Formal richtig angebe...wie ich es oben getan habe? { [mm] \alpha [/mm] a [mm] ;a\in [/mm] K }???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> So ich habe mal in meinem Mathebruch geguckt das einzige
> was ich zum Thema Grade habe ist: Für einen Vektor a [mm]\in[/mm] V
> ist [mm]K*a:={\alphaa;a\inK}[/mm] stets ein lineare Unterraum von V.
> Im falle [mm]a\not=[/mm] 0 kann man hier von einer Geraden
> sprechen.
Ah, ok. Dann sind Geraden also bei euch nicht als 1-dimensionale Unterräume definiert, sondern als Unterräume der Form [mm] $\{\alpha a;a\in K\}$ [/mm] für ein [mm] $a\in [/mm] V$ mit [mm] $a\not= [/mm] 0$.
(Wir haben uns gerade überlegt, dass die 1-dimensionalen Unterräume eines Vektorraumes V gerade die Unterräume der Form $<a>$ für ein [mm] $a\in [/mm] V$ mit [mm] $a\not= [/mm] 0$ sind. $<a>$ bedeutet aber nichts anderes als (Definition des Spanns) [mm] $\{\alpha a;\alpha\in K\}$. [/mm] Also sind die Geraden auch nach eurer (sicherlich viel konkreteren) Definition gerade die 1-dimensionalen Unterräume.)
> > Kannst du also jetzt ein paar Beispielunterräume z.B. von
> > [mm]\IR^2[/mm] angeben? Und sie neben der Spannschreibweise
> > (mithilfe der Definition des Spanns) auch in der Form
> > [mm] $\{\ldots\;|\;\ldots\}$ [/mm] angeben?
> naja auf jedenfall is [mm] $R^2$ [/mm] selber ein Unterraum und der
> Nullraum aber die interessieren uns ja nicht..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und dann gehören natürlich noch alle Geraden dazu die durch 0 gehen..
> aber ich weiß nicht wie ich dir Formal
> richtig angebe...wie ich es oben getan habe? [mm] $\{\alpha$ a
> $;a\in K \}$??? [/mm]
Genau!
Jetzt nenne mir mal drei Beispiele für Geraden in [mm] $\IR^2$.
[/mm]
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> > > Kannst du also jetzt ein paar Beispielunterräume z.B. von
> > > [mm]\IR^2[/mm] angeben? Und sie neben der Spannschreibweise
> > > (mithilfe der Definition des Spanns) auch in der Form
> > > [mm]\{\ldots\;|\;\ldots\}[/mm] angeben?
> > naja auf jedenfall is [mm]R^2[/mm] selber ein Unterraum und der
> > Nullraum aber die interessieren uns ja nicht..
>
>
> > und dann gehören natürlich noch alle Geraden dazu die
> durch 0 gehen..
> > aber ich weiß nicht wie ich dir Formal
> > richtig angebe...wie ich es oben getan habe? [mm]\{\alpha[/mm] a
> > [mm];a\in K \}[/mm]???
> Genau!
>
> Jetzt nenne mir mal drei Beispiele für Geraden in [mm]\IR^2[/mm].
also irgendwelche ja???
1. { [mm] \alpha [/mm] a; [mm] a\in \IR [/mm] }
2. { 6 + a; [mm] a\in \IR [/mm] }
3. {2 - [mm] \alpha [/mm] a; [mm] a\in \IR [/mm] }
geht das so oder müssen die [mm] \alpha [/mm] aus diesen Gleichungen weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Vielleicht ist es besser, wenn wir vom Begriff Gerade etwas wegkommen. Er scheint ziemliche Verwirrung zu stiften und erscheint mir nicht sonderlich wichtig. (Der BEGRIFF Gerade wohlgemerkt. Ein Verständnis von Unterräumen der Form [mm] $=\{\alpha a;\alpha\in K\}$ [/mm] für ein [mm] $a\in [/mm] V$ erscheint mir sehr wohl nicht unwichtig.) Vergiss insbesondere mal die Schuldefinition von Geraden als Funktionen!
> > Jetzt nenne mir mal drei Beispiele für Geraden in [mm]\IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
> also irgendwelche ja???
Ja. Es ging mir erstmal darum, dass du irgendwelche Unterräume von $\IR^2$ findest. Ob diese geeignete Gegenbeispiele darstellen, können wir uns anschließend angucken.
> 1. $\{$ [mm]\alpha[/mm] a; [mm]a\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
Du meintest wohl $\alpha\in\IR$ statt $a\in\IR$. Was soll hier dann a sen? Ich meinte drei ganz konkrete Beispiele.
> 2. $\{$ 6 + a; [mm]a\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
Soetwas meinte ich mit konkret. Das ist jetzt allerdings einfach eine komplizierte Schreibweise für die Menge $\IR$!
Also, wir suchen (neben dem Nullraum und ganz $\IR^2$ weitere) Beispiele für Unterräume des $\IR^2$. Wir wissen, dass die 1-dimensionalen Unterräume die Form $\{\alpha a; \alpha\in\IR\}$ für ein $a\in\IR^2$ haben. Wie sehen also konkrete Beispiele für solche Unterräume aus?
P.S. Kannst du Mengenklammern bitte immer innerhalb einer Formel und mittels \ { und \ } (ohne Leerzeichen) schreiben? Sonst erhalte ich beim Antworten komischerweise immer "Klammerfehler", wenn ich das nicht ändere.
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> > > Jetzt nenne mir mal drei Beispiele für Geraden in [mm]\IR^2[/mm].
> > also irgendwelche ja???
> Ja. Es ging mir erstmal darum, dass du irgendwelche
> Unterräume von [mm]\IR^2[/mm] findest. Ob diese geeignete
> Gegenbeispiele darstellen, können wir uns anschließend
> angucken.
>
> > 1. [mm]\{[/mm] [mm]\alpha[/mm] a; [mm]a\in \IR[/mm] [mm]\}[/mm]
> Du meintest wohl [mm]a\in\IR^2[/mm]. Was soll a hier sein? Ich
> meinte drei ganz konkrete Beispiele.
>
> > 2. [mm]\{[/mm] 6 + a; [mm]a\in \IR[/mm] [mm]\}[/mm]
> > 3. [mm]\{[/mm]2 - [mm]\alpha[/mm] a; [mm]a\in \IR[/mm] [mm]\}[/mm]
> Soetwas meinte ich mit konkret. Das sind jetzt allerdings
> einfach komplizierte Schreibweisen für die Menge [mm]\IR[/mm]!
>
Wie sehen also konkrete Beispiele
> für solche Unterräume aus?
Tut mir Leid ich weiß nichtw as ich anderes schreiben soll als ich es bereits getan habe..kannst du mir vll ein Beispiel geben?
> P.S. Kannst du Mengenklammern bitte immer innerhalb einer
> Formel und mittels \ { und \ } (ohne Leerzeichen)
> schreiben? Sonst erhalte ich beim Antworten komischerweise
> immer "Klammerfehler", wenn ich das nicht ändere.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Tut mir Leid ich weiß nichtw as ich anderes schreiben
> soll als ich es bereits getan habe..kannst du mir vll ein
> Beispiel geben?
Wir suchen ein Beispiel für einen Unterraum der Form [mm] $\{\alpha a;\alpha\in \IR\}$ [/mm] für ein [mm] $a\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $a\not= [/mm] 0$. Was könnten wir für a z.B. nehmen? Z.B. [mm] $a=\vektor{5 \\ 3}$. [/mm] Wir erhalten als Beispiel für einen Unterraum von [mm] $\IR^2$: $\{\alpha \vektor{5 \\ 3};\alpha\in\IR\}$.
[/mm]
Weitere Antwort folgt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ich habe hier nochmal reinkopiert, wo wir hinwollen:
Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume [mm] $U_1,\ldots,U_n$ [/mm] von V, so dass
a) $ [mm] U_{i} \cap U_{j}=0 [/mm] $ für alle [mm] $i\not= [/mm] j$ aus [mm] \{1,\ldots,n\} [/mm]
b) die Summe [mm] $\summe_{i=1}^nU_i$ [/mm] ist NICHT direkt.
Wir wollen es mal mit $n=3$, [mm] $K=\IR$, $V=\IR^2$ [/mm] versuchen. Fehlen uns noch [mm] $U_1,U_2,U_3$. [/mm] Vorschläge, womit wir es probieren könnten?
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> Ich habe hier nochmal reinkopiert, wo wir hinwollen:
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> Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem
> Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume
> [mm]U_1,\ldots,U_n[/mm] von V, so dass
> a) [mm]U_{i} \cap U_{j}=0[/mm] für alle [mm]i\not= j[/mm] aus [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm]
> b) die Summe [mm]\summe_{i=1}^nU_i[/mm] ist NICHT direkt.
>
> Wir wollen es mal mit [mm]n=3[/mm], [mm]K=\IR[/mm], [mm]V=\IR^2[/mm] versuchen. Fehlen
> uns noch [mm]U_1,U_2,U_3[/mm]. Vorschläge, womit wir es probieren
> könnten?
Nicht wirklich weil ich auch keinen Unterraum ausschließen kann der es nicht sein kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Vorschläge, womit wir es probieren
> > könnten?
>
> Nicht wirklich weil ich auch keinen Unterraum ausschließen
> kann der es nicht sein kann...
Stimmt, guter Einwand. Ich dachte an drei beliebige verschiedene 1-dimensionale Unterräume, aber a-priori ist natürlich überhaupt nicht klar, dass die es tun. Wir könnten natürlich einfach irgendwelche probieren. Entweder es klappt oder nicht. Aber, da kann man zurecht einwenden, dass das doch nicht sehr plausibel ist, dass es gerade die irgendwie gewählten tun sollen.
Vielleicht schwenken wir jetzt mal um, und gehen erstmal wieder von den konkreten Unterräumen zu drei beliebigen 1-dimensionalen Unterräumen [mm] $U_1=\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}$, $U_2=\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}$ [/mm] und [mm] $U_3=\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}$, [/mm] wobei [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR^2$ [/mm] sind. Dann überlegen wir uns, wie [mm] $a_1,a_2,a_3 [/mm] gewählt sein müssten, damit a) und b) gelten.
Wie lauten die Bedingungen a) und b) für diese drei Unterräume?
(Erinnerung:
Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume [mm] $U_1,\ldots,U_n$ [/mm] von V, so dass
a) $ [mm] U_{i} \cap U_{j}=0 [/mm] $ für alle [mm] $i\not= [/mm] j$ aus [mm] \{1,\ldots,n\} [/mm]
b) die Summe [mm] $\summe_{i=1}^nU_i$ [/mm] ist NICHT direkt.)
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> Vielleicht schwenken wir jetzt mal um, und gehen erstmal
> wieder von den konkreten Unterräumen zu drei beliebigen
> 1-dimensionalen Unterräumen [mm]$U_1=\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}$, $U_2=\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}$[/mm]
> und [mm]$U_3=\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}$,[/mm] wobei
> [mm]$a_1,a_2,a_3\in\IR^2$[/mm] sind. Dann überlegen wir uns, wie
> [mm]$a_1,a_2,a_3[/mm] gewählt sein müssten, damit a) und b)
> gelten.
> Wie lauten die Bedingungen a) und b) für diese drei
> Unterräume?
Naja müsste Bedingung a nicht erfüllen das der Schnitt der Unterräume 0 ist, d.h.
[mm] U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] ; [mm] U_{2} \cap U_{3}=0 [/mm] ; [mm] U_{1} \cap U_{3}=0
[/mm]
So und Bdingung b:
[mm] \summe_{i=1}^{3} U_{i} [/mm] mit [mm] U_{i} \in \IR^{2}, [/mm] i=1,...,3
das is vll nicht das richtige aber das einzige was ich mir grad ableiten kann...
> (Erinnerung:
> Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem
> Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume
> [mm]U_1,\ldots,U_n[/mm] von V, so dass
> a) [mm]U_{i} \cap U_{j}=0[/mm] für alle [mm]i\not= j[/mm] aus [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm]
> b) die Summe [mm]\summe_{i=1}^nU_i[/mm] ist NICHT direkt.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Naja müsste Bedingung a nicht erfüllen das der Schnitt
> der Unterräume 0 ist, d.h.
> [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] ; [mm]U_{2} \cap U_{3}=0[/mm] ; [mm]U_{1} \cap U_{3}=0[/mm]
Das stimmt schon mal! Und z.B. [mm] $U_{1} \cap U_{2}=0$ [/mm] ist gleichbedeutend damit, dass [mm] $U_1\cap U_2\subset [/mm] 0$ gilt (also dass jeder Vektor in [mm] $U_1\cap U_2$ [/mm] schon der Nullvektor ist), denn [mm] $U_1\cap U_2\supset [/mm] 0$ gilt sowieso. Außerdem betrachten wir gerade nicht irgendwelche Unterräume [mm] $U_1,U_2,U_3$, [/mm] sondern die Unterräume [mm] $U_1=\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}$, $U_2=\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}$ [/mm] und [mm] $U_3=\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}$. [/mm] Also bedeutet a) für unsere Situation: [mm] $\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}\cap\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}\subset [/mm] 0$, [mm] $\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}\cap\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}\subset [/mm] 0$ und [mm] $\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}\cap\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}\subset [/mm] 0$. Nehmen wir uns mal die erste der drei Aussagen vor (die anderen kann man dann analog behandeln). Was besagt sie (Definition von Teilmenge und Definition der auftretenden Mengen)?
> So und Bdingung b:
> [mm]\summe_{i=1}^{3} U_{i}[/mm] mit [mm]U_{i} \in \IR^{2},[/mm] i=1,...,3
Das ist ein Unterraum, keine Aussage! Mit [mm]U_{i} \in \IR^{2}[/mm] meintest du hoffentlich [mm] $U_{i} \subset \IR^{2}$?
[/mm]
Bedingung b) ist die Aussage, dass eine gewisse Summe nicht direkt ist. Vielleicht schreibst du erstmal hin, was es bedeutet, dass DIESE Summe direkt ist? Am einfachsten machst du es dir hier, wenn du die zweite deiner drei Charakterisierungen der direkten Summe nimmst.
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> > Naja müsste Bedingung a nicht erfüllen das der Schnitt
> > der Unterräume 0 ist, d.h.
> > [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] ; [mm]U_{2} \cap U_{3}=0[/mm] ; [mm]U_{1} \cap U_{3}=0[/mm]
>
> Das stimmt schon mal! Und z.B. [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] ist
> gleichbedeutend damit, dass [mm]U_1\cap U_2\subset 0[/mm] gilt (also
> dass jeder Vektor in [mm]U_1\cap U_2[/mm] schon der Nullvektor ist),
> denn [mm]U_1\cap U_2\supset 0[/mm] gilt sowieso. Außerdem
> betrachten wir gerade nicht irgendwelche Unterräume
> [mm]U_1,U_2,U_3[/mm], sondern die Unterräume [mm]U_1=\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}[/mm],
> [mm]U_2=\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}[/mm] und [mm]U_3=\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}[/mm].
> Also bedeutet a) für unsere Situation: [mm]\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}\cap\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}\subset 0[/mm],
> [mm]\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}\cap\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}\subset 0[/mm]
> und [mm]\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}\cap\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}\subset 0[/mm].
> Nehmen wir uns mal die erste der drei Aussagen vor (die
> anderen kann man dann analog behandeln). Was besagt sie
> (Definition von Teilmenge und Definition der auftretenden
> Mengen)?
Das di 0 Teilmenge der jeweiligen Schnitte ist, ist ja trivial weil der Nullvektor in jedem Unterraum vorhanden ist.
und das andere sagt doch einfach nur,dass [mm] \alpha a_{1}
[/mm]
= [mm] \alpha a_{2}=0 [/mm] ist oder???
aber wie zeigen wir das?...
> > So und Bedingung b:
> > [mm]\summe_{i=1}^{3} U_{i}[/mm] mit [mm]U_{i} \in \IR^{2},[/mm]
> i=1,...,3
> Das ist ein Unterraum, keine Aussage! Mit [mm]U_{i} \in \IR^{2}[/mm]
> meintest du hoffentlich [mm]U_{i} \subset \IR^{2}[/mm]?
> Bedingung
> b) ist die Aussage, dass eine gewisse Summe nicht direkt
> ist. Vielleicht schreibst du erstmal hin, was es bedeutet,
> dass DIESE Summe direkt ist? Am einfachsten machst du es
> dir hier, wenn du die zweite deiner drei
> Charakterisierungen der direkten Summe nimmst.
[mm] \summe_{i=1}^{r} a_{i} [/mm] =0 mit [mm] a_{i} \in \IR^{2} [/mm] ???? folgt [mm] a_{i} [/mm] =0 für i=1,...,r
muss r in unserem Fall 3 sein??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Bei der Einführung von [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] habe ich folgendes vergessen: Wir wollten ja 1-dimensionale Unterräume [mm] $U_1,U_2,U_3$ [/mm] betrachten. Daher kommen nur [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] ungleich dem Nullvektor in Betracht.
> Das di 0 Teilmenge der jeweiligen Schnitte ist, ist ja
> trivial weil der Nullvektor in jedem Unterraum vorhanden
> ist.
Genau.
> und das andere sagt doch einfach nur,dass [mm]\alpha a_{1}[/mm]
> =
> [mm]\alpha a_{2}=0[/mm] ist oder???
Nein. Es bedeutet: Wenn sich ein Vektor sowohl als [mm] $\alpha a_1$ [/mm] mit irgendeinem [mm] $\alpha\in\IR$, [/mm] als auch als [mm] $\alpha a_2$ [/mm] für irgendein (möglicherweise anderes) [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] schreiben lässt, dann ist er schon der Nullvektor. Also mit anderen Worten: Wenn für gewisse [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$ $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2$ [/mm] gilt, dann ist bereits [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=0$.
[/mm]
Wozu ist die Bedingung [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=0$ [/mm] (oder besser: die beiden Bedingungen [mm] $\alpha_1a_1=0$ [/mm] und [mm] $\alpha_2a_2=0$) [/mm] gleichbedeutend (benutze: [mm] $a_1\not= [/mm] 0$ und [mm] $a_2\not= [/mm] 0$, du brauchst hier eine Regel aus der Vorlesung)? Wie lässt sich also Bedingung a) umformulieren?
> aber wie zeigen wir das?...
Wir müssen ja gar nicht zeigen, dass das für unsere zunächst beliebigen [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}$ [/mm] gilt, sondern nur, dass es geeignete [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}$ [/mm] gibt, für die a) und b) gelten. Noch sind wir auf der Suche nach geeigneten [mm] $a_1,a_2,a_3$.
[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{r} a_{i}[/mm] =0 mit [mm]a_{i} \in \IR^{2}[/mm] ???? folgt
> [mm]a_{i}[/mm] =0 für i=1,...,r
> muss r in unserem Fall 3 sein??
Statt [mm] $\IR^2$ [/mm] muss es in der Tat [mm] $U_i$ [/mm] (oder besser, da wir ja ein konkretes [mm] U_i [/mm] betrachten: [mm] \{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}) [/mm] heißen. Ja, r ist hier 3, denn wir betrachten die Summe dreier Unterräume. Es gibt ein kleines Problem: Du hast die Bezeichnung [mm] $a_i$ [/mm] für einen beliebigen Vektor aus [mm] $U_i$ [/mm] verwendet. [mm] $a_i$ [/mm] ist bei uns schon eine fester Vektor, den wir für die Definition von [mm] $U_i$ [/mm] verwendet haben. Daher solltest du [mm] $b_i$ [/mm] statt [mm] $a_i$ [/mm] schreiben.
Ich fasse zusammen: Die Aussage, dass die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] direkt ist, bedeutet, dass aus [mm] $b_1+b_2+b_3=0$ [/mm] mit Vektoren [mm] $b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}$ [/mm] bereits folgt [mm] $b_i=0$ [/mm] für $i=1,2,3$.
Was bedeutet dabei [mm] $b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}$?
[/mm]
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> Bei der Einführung von [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] habe ich folgendes
> vergessen: Wir wollten ja 1-dimensionale Unterräume
> [mm]U_1,U_2,U_3[/mm] betrachten. Daher kommen nur [mm]a_1,a_2,a_3[/mm]
> ungleich dem Nullvektor in Betracht.
>
> > und das andere sagt doch einfach nur,dass [mm]\alpha a_{1}[/mm]
>
> > =
> > [mm]\alpha a_{2}=0[/mm] ist oder???
> Nein. Es bedeutet: Wenn sich ein Vektor sowohl als [mm]\alpha a_1[/mm]
> mit irgendeinem [mm]\alpha\in\IR[/mm], als auch als [mm]\alpha a_2[/mm] für
> irgendein (möglicherweise anderes) [mm]\alpha\in\IR[/mm] schreiben
> lässt, dann ist er schon der Nullvektor. Also mit anderen
> Worten: Wenn für gewisse [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm]
> [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] gilt, dann ist bereits
> [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=0[/mm].
> Wozu ist die Bedingung [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=0[/mm] (oder
> besser: die beiden Bedingungen [mm]\alpha_1a_1=0[/mm] und
> [mm]\alpha_2a_2=0[/mm]) gleichbedeutend (benutze: [mm]a_1\not= 0[/mm] und
> [mm]a_2\not= 0[/mm], du brauchst hier eine Regel aus der Vorlesung)?
> Wie lässt sich also Bedingung a) umformulieren?
hat das was mit linearer Unabhängigkeit zu tun also dass die [mm] \alpha [/mm] dann =0 sind?
> > aber wie zeigen wir das?...
> Wir müssen ja gar nicht zeigen, dass das für unsere
> zunächst beliebigen [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}[/mm]
> gilt, sondern nur, dass es geeignete
> [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}[/mm] gibt, für die a) und b)
> gelten. Noch sind wir auf der Suche nach geeigneten
> [mm]a_1,a_2,a_3[/mm].
>
> > [mm]\summe_{i=1}^{r} a_{i}[/mm] =0 mit [mm]a_{i} \in \IR^{2}[/mm] ???? folgt
> > [mm]a_{i}[/mm] =0 für i=1,...,r
> > muss r in unserem Fall 3 sein??
> Statt [mm]\IR^2[/mm] muss es in der Tat [mm]U_i[/mm] (oder besser, da wir ja
> ein konkretes [mm]U_i[/mm] betrachten: [mm]\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\})[/mm]
> heißen. Ja, r ist hier 3, denn wir betrachten die Summe
> dreier Unterräume. Es gibt ein kleines Problem: Du hast
> die Bezeichnung [mm]a_i[/mm] für einen beliebigen Vektor aus [mm]U_i[/mm]
> verwendet. [mm]a_i[/mm] ist bei uns schon eine fester Vektor, den
> wir für die Definition von [mm]U_i[/mm] verwendet haben. Daher
> solltest du [mm]b_i[/mm] statt [mm]a_i[/mm] schreiben.
>
> Ich fasse zusammen: Die Aussage, dass die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm]
> direkt ist, bedeutet, dass aus [mm]b_1+b_2+b_3=0[/mm] mit Vektoren
> [mm]b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}[/mm] bereits folgt [mm]b_i=0[/mm] für
> [mm]i=1,2,3[/mm].
> Was bedeutet dabei [mm]b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}[/mm]?
müsste das nicht heißen das [mm] b_{i}...im [/mm] schnitt von den Mengen liegt? also nicht nur die 0 im schnitt enthalten ist und das is dann doch ein wiederspruch oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Es bedeutet: Wenn sich ein Vektor sowohl als [mm]\alpha a_1[/mm]
> > mit irgendeinem [mm]\alpha\in\IR[/mm], als auch als [mm]\alpha a_2[/mm] für
> > irgendein (möglicherweise anderes) [mm]\alpha\in\IR[/mm] schreiben
> > lässt, dann ist er schon der Nullvektor. Also mit anderen
> > Worten: Wenn für gewisse [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm]
> > [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] gilt, dann ist bereits
> > [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=0[/mm].
> > Wozu ist die Bedingung [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=0[/mm] (oder
> > besser: die beiden Bedingungen [mm]\alpha_1a_1=0[/mm] und
> > [mm]\alpha_2a_2=0[/mm]) gleichbedeutend (benutze: [mm]a_1\not= 0[/mm] und
> > [mm]a_2\not= 0[/mm], du brauchst hier eine Regel aus der Vorlesung)?
> > Wie lässt sich also Bedingung a) umformulieren?
> hat das was mit linearer Unabhängigkeit zu tun also dass
> die [mm]\alpha[/mm] dann =0 sind?
In der Tat. Die beiden Bedingungen [mm]\alpha_1a_1=0[/mm] und [mm]\alpha_2a_2=0[/mm] sind für [mm] $a_1,a_2\not= [/mm] 0$ gleichbedeutend damit, dass [mm] $\alpha_1=0$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha_2=0$. [/mm] Die Gültigkeit von [mm] $U_1\cap U_2=0$ [/mm] ist also für unsere Wahl von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] gleichbedeutend damit, dass aus [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2$ [/mm] für [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$ [/mm] bereits [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$ [/mm] folgt.
Und in der Tat ist gilt dies genau dann, wenn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] linear unabhängig sind! Dazu sind zwei Richtungen zu zeigen. Ich zeige mal die Rückrichtung und versuche dir die Hinrichtung zu überlassen.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Seien [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] linear unabhängig und sei [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$. [/mm] Zu zeigen ist, dass [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$ [/mm] gilt. Aus [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2$ [/mm] folgt [mm] $\alpha_1a_1+(-\alpha_2)a_2=0$ [/mm] und wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] damit [mm] $\alpha_1=-\alpha_2=0$. [/mm] Also [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$.
[/mm]
Für die Hinrichtung ist ja anzunehmen, dass aus [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2$ [/mm] für [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$ [/mm] bereits [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$ [/mm] folgt. Und zu zeigen ist, dass [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] linear unabhängig sind. Was ist also nach Definition von linear unabhängig zu tun?
> > Was bedeutet dabei [mm]b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}[/mm]?
> müsste das nicht heißen das [mm]b_{i}...im[/mm] schnitt von den
> Mengen liegt? also nicht nur die 0 im schnitt enthalten ist
> und das is dann doch ein wiederspruch oder nicht?
??? Was widerspricht sich womit? [mm] $b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}$ [/mm] für $i=1,2,3$ bedeutet, dass [mm] $b_1\in\{\alpha a_1;\alpha\in\IR\}$, $b_2\in\{\alpha a_2;\alpha\in\IR\}$ [/mm] und [mm] $b_3\in\{\alpha a_3;\alpha\in\IR\}$ [/mm] gilt. Was das mit Schnitten zu tun hat, erkenne ich nicht.
[mm] $b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}$ [/mm] bedeutet, dass es ein [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] gibt mit [mm] $b_i=\alpha a_i$.
[/mm]
Weitere Antwort, wie wir bei b) weitermachen können, folgt.
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> Und in der Tat ist gilt dies genau dann, wenn [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm]
> linear unabhängig sind! Dazu sind zwei Richtungen zu
> zeigen. Ich zeige mal die Rückrichtung und versuche dir
> die Hinrichtung zu überlassen.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]": Seien [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear unabhängig und sei
> [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] für gewisse
> [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm]. Zu zeigen ist, dass
> [mm]\alpha_1=\alpha_2=0[/mm] gilt. Aus [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] folgt
> [mm]\alpha_1a_1+(-\alpha_2)a_2=0[/mm] und wegen der linearen
> Unabhängigkeit von [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] damit [mm]\alpha_1=-\alpha_2=0[/mm].
> Also [mm]\alpha_1=\alpha_2=0[/mm].
>
> Für die Hinrichtung ist ja anzunehmen, dass aus
> [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] für [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm]
> bereits [mm]\alpha_1=\alpha_2=0[/mm] folgt. Und zu zeigen ist, dass
> [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear unabhängig sind. Was ist also nach
> Definition von linear unabhängig zu tun?
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Seien [mm] \alpha_1a_1=\alpha_2a_2 [/mm] für [mm] \alpha_1,\alpha_2\in\IR
[/mm]
mit [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] sind l.u.
Aus
[mm] \summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0 [/mm] folgt [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0 [/mm] damit sind die beiden vektoren l.u.
ich weiß das das so nicht richtig ist aber weiß nicht wie ich es anders machen soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Für die Hinrichtung ist ja anzunehmen, dass aus
> > [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] für [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm]
> > bereits [mm]\alpha_1=\alpha_2=0[/mm] folgt. Und zu zeigen ist, dass
> > [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear unabhängig sind. Was ist also nach
> > Definition von linear unabhängig zu tun?
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] Seien [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] für
> [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm]
> mit [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0.[/mm]
Hm... Wir setzen für diese Richtung voraus, dass für ALLE [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$, [/mm] die [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] erfüllen, [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] gilt. Das wird man im Laufe des Beweises geschickt für gewisse [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] anwenden müssen. Einfach IRGENDWELCHE [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] mit [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2[/mm] zu betrachten, wird nicht weiterhelfen. (Auch wäre zu begründen, warum es solche [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] überhaupt gibt.)
> Zu zeigen: [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] sind l.u.
> Aus
> [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0[/mm] folgt
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] damit sind die beiden vektoren
> l.u.
Du musst dir zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit von [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] BELIEBIGE [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0$ [/mm] vorgeben (und nicht irgendwelche weiter oben schon festgelegten [mm] $\alpha_1,\alpha_2$). [/mm] Warum [mm] $\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$ [/mm] gilt, hast du für beliebige [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] überhaupt nicht begründet.
Betrachten wir also beliebige [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0$. [/mm] Wir wollen irgendwie unsere Voraussetzung ins Spiel bringen, also benötigen wir irgendeine Gleichung der Form [mm] $\beta_1a_1=\beta_2a_2$ [/mm] für gewisse [mm] $\beta_1,\beta_2\in\IR$. [/mm] (Hier habe ich die Bezeichnungen [mm] $\beta_1,\beta_2\$ [/mm] gewählt, da die Bezeichnungen [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] schon vergeben sind.) Wie kriegen wir mithilfe von [mm] $\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0$ [/mm] durch eine Umformung so eine Gleichung? Was können wir aus ihr schlussfolgern? Können wir damit [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$ [/mm] zeigen?
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> Betrachten wir also beliebige [mm]\alpha_1,\alpha_2\in\IR[/mm] mit
> [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0[/mm]. Wir wollen irgendwie
> unsere Voraussetzung ins Spiel bringen, also benötigen wir
> irgendeine Gleichung der Form [mm]\beta_1a_1=\beta_2a_2[/mm] für
> gewisse [mm]\beta_1,\beta_2\in\IR[/mm]. (Hier habe ich die
> Bezeichnungen [mm]\beta_1,\beta_2\[/mm] gewählt, da die
> Bezeichnungen [mm]\alpha_1,\alpha_2[/mm] schon vergeben sind.) Wie
> kriegen wir mithilfe von [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=0[/mm]
> durch eine Umformung so eine Gleichung? Was können wir aus
> ihr schlussfolgern? Können wir damit [mm]\alpha_1=\alpha_2=0[/mm]
> zeigen?
[mm] \summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=\beta_{1}a_{1}+\beta_{2}a_{2}=0
[/mm]
[mm] \beta_{1}a_{1}=-\beta_{2}a_{2}=0
[/mm]
Da laut vorrausetzung unsere a ungleich null sind müssen folglich die [mm] \beta [/mm] 0 sein und da [mm] \alpha_{i} [/mm] durch Multiplikation von [mm] \beta [/mm] entsteht müssen folglich auch die [mm] \alpha [/mm] 0 sein??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=\beta_{1}a_{1}+\beta_{2}a_{2}=0[/mm]
> [mm]\beta_{1}a_{1}=-\beta_{2}a_{2}=0[/mm]
Statt [mm] \beta [/mm] sollte da überall [mm] \alpha [/mm] stehen. Warum gilt das letzte Gleichheitszeichen (ich bin nicht in der Lage, dass zu begründen, ohne schon [mm] \alpha_1=\alpha_2=0 [/mm] zu zeigen)?
> Da laut vorrausetzung unsere a ungleich null sind
> müssen folglich die [mm]\beta[/mm] 0 sein
Folgerichtig.
> und da [mm]\alpha_{i}[/mm] durch
> Multiplikation von [mm]\beta[/mm] entsteht
??? So wie ich deine Argumentation verstehe, sind deine [mm] \beta_i [/mm] nichts anderes als die [mm] $\alpha_i$.
[/mm]
Mit den [mm] $\alpha_i$ [/mm] statt [mm] $\beta_i$ [/mm] geschrieben, hast du [mm] $\alpha_{1}a_{1}=(-\alpha_{2})a_{2} [/mm] gezeigt. Mit unserer Voraussetzung (aus [mm] $\gamma_1a_1=\gamma_2a_2$ [/mm] für [mm] $\gamma_1,\gamma_2\in\IR$ [/mm] folgt bereits [mm] $\gamma_1=\gamma_2=0$; [/mm] ich habe sie hier mit [mm] $\gamma_i$ [/mm] umgeschrieben, da die Bezeichnungen [mm] $\alpha_i$ [/mm] ja schon vergeben sind) erhalten wir: ...? Können wir daraus auf [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$ [/mm] schließen?
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> > [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i}a_{i}=\beta_{1}a_{1}+\beta_{2}a_{2}=0[/mm]
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> > [mm]\beta_{1}a_{1}=-\beta_{2}a_{2}=0[/mm]
> Statt [mm]\beta[/mm] sollte da überall [mm]\alpha[/mm] stehen. Warum gilt
> das letzte Gleichheitszeichen (ich bin nicht in der Lage,
> dass zu begründen, ohne schon [mm]\alpha_1=\alpha_2=0[/mm] zu
> zeigen)?
>
> > Da laut vorrausetzung unsere a ungleich null sind
>
> > müssen folglich die [mm]\beta[/mm] 0 sein
> Folgerichtig.
habe ichd enn so das letzte gleichheitszeichen von oben begründet?
> > und da [mm]\alpha_{i}[/mm] durch
> > Multiplikation von [mm]\beta[/mm] entsteht
> ??? So wie ich deine Argumentation verstehe, sind deine
> [mm]\beta_i[/mm] nichts anderes als die [mm]\alpha_i[/mm].
oh sorry um die falsche ecke in meinem kopf gedacht:(
> Mit den [mm]$\alpha_i$[/mm] statt [mm]$\beta_i$[/mm] geschrieben, hast du
> [mm]$\alpha_{1}a_{1}=(-\alpha_{2})a_{2}[/mm] gezeigt. Mit unserer
> Voraussetzung (aus [mm]$\gamma_1a_1=\gamma_2a_2$[/mm] für
> [mm]$\gamma_1,\gamma_2\in\IR$[/mm] folgt bereits
> [mm]$\gamma_1=\gamma_2=0$;[/mm] ich habe sie hier mit [mm]$\gamma_i$[/mm]
> umgeschrieben, da die Bezeichnungen [mm]$\alpha_i$[/mm] ja schon
> vergeben sind) erhalten wir: ...?
> Können wir daraus auf
> [mm]$\alpha_1=\alpha_2=0$[/mm] schließen?
naja eigentlich steht das ja da schon oder? wir haben doch [mm] \alpha_{1}a_{1}=(-\alpha_{2})a_{2} [/mm] und somit bis auf ein Minuszeichen vor dem [mm] \alpha_{2} [/mm] unsere Vorrausetzung oder?? aber wie drücken wir das jetzt formal aus..man sieht ja das wir das geforderte gezeigt haben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > Da laut vorrausetzung unsere a ungleich null sind
> >
> > > müssen folglich die [mm]\beta[/mm] 0 sein
> > Folgerichtig.
>
> habe ichd enn so das letzte gleichheitszeichen von oben
> begründet?
Nein. Daher folgerichtig: Wenn das vorherige richtig wäre, wäre dieser Schluss korrekt.
> > Mit den [mm]$\alpha_i$[/mm] statt [mm]$\beta_i$[/mm] geschrieben, hast du
> > [mm]$\alpha_{1}a_{1}=(-\alpha_{2})a_{2}[/mm] gezeigt. Mit unserer
> > Voraussetzung (aus [mm]$\gamma_1a_1=\gamma_2a_2$[/mm] für
> > [mm]$\gamma_1,\gamma_2\in\IR$[/mm] folgt bereits
> > [mm]$\gamma_1=\gamma_2=0$;[/mm] ich habe sie hier mit [mm]$\gamma_i$[/mm]
> > umgeschrieben, da die Bezeichnungen [mm]$\alpha_i$[/mm] ja schon
> > vergeben sind) erhalten wir: ...?
> > Können wir daraus auf
> > [mm]$\alpha_1=\alpha_2=0$[/mm] schließen?
>
> naja eigentlich steht das ja da schon oder? wir haben doch
> [mm]\alpha_{1}a_{1}=(-\alpha_{2})a_{2}[/mm] und somit bis auf ein
> Minuszeichen vor dem [mm]\alpha_{2}[/mm] unsere Vorrausetzung oder??
> aber wie drücken wir das jetzt formal aus..
Mit unserer Voraussetzung folgt [mm] $\alpha_1=-\alpha_2=0$. [/mm] Also gilt [mm] $\alpha_1=\alpha_2=0$.
[/mm]
Was haben wir also gezeigt: Die Bedingung [mm] $U_1\cap U_2=0$ [/mm] aus a) ist gleichbedeutend damit, dass [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] linear unabhängig sind! Genauso ist für beliebige [mm] $i,j\in\{1,2,3\}$ [/mm] mit [mm] $i\not= [/mm] j$ die Bedingung [mm] $U_i\cap U_j=0$ [/mm] aus a) ist gleichbedeutend damit, dass [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $a_j$ [/mm] linear unabhängig sind. a) ist also gleichbedeutend damit, dass je zwei der drei Vektoren [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] linear unabhängig sind. Wieder eine sehr schöne Charakterisierung, wie ich finde!
Jetzt können wir nach einem geeigneten Beispiel für [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] suchen. Eigenschaft b) ist ja automatisch erfüllt, wir benötigen jetzt also nur noch drei Vektoren [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR\setminus\{0\}$, [/mm] die paarweise linear unabhängig sind. Fallen dir drei ein?
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> Was haben wir also gezeigt: Die Bedingung [mm]U_1\cap U_2=0[/mm] aus
> a) ist gleichbedeutend damit, dass [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] linear
> unabhängig sind! Genauso ist für beliebige
> [mm]i,j\in\{1,2,3\}[/mm] mit [mm]i\not= j[/mm] die Bedingung [mm]U_i\cap U_j=0[/mm]
> aus a) ist gleichbedeutend damit, dass [mm]a_i[/mm] und [mm]a_j[/mm] linear
> unabhängig sind. a) ist also gleichbedeutend damit, dass
> je zwei der drei Vektoren [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] linear unabhängig
> sind. Wieder eine sehr schöne Charakterisierung, wie ich
> finde!
>
> Jetzt können wir nach einem geeigneten Beispiel für
> [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] suchen. Eigenschaft b) ist ja automatisch
> erfüllt, wir benötigen jetzt also nur noch drei Vektoren
> [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR\setminus\{0\}[/mm], die paarweise linear
> unabhängig sind. Fallen dir drei ein?
3 vektoren die paarweise linearunabhängig sind..mmh das wären ja z.b. [mm] a_{1}=\vektor{1\\ 0} a_{2}=\vektor{0\\ 1} a_{3}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> 3 vektoren die paarweise linearunabhängig sind..mmh das
> wären ja z.b. [mm]a_{1}=\vektor{1\\ 0} a_{2}=\vektor{0\\ 1} a_{3}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> oder?
Sehr gut, die tun es! Und dürften sogar die "einfachsten" sein, die es tun.
Super, also haben wir ein Beispiel der gewünschten Art gefunden!
Unsere bisherigen Überlegungen waren noch sehr daran orientiert, auf ein passendes Beispiel zu kommen. Jetzt, wo wir eins haben, könnten wir viel kürzer (ohne unsere Charakterisierungen von a) und b) für eindimensionale Unterräume) beweisen, warum dieses Beispiel es tut, also a) und b) erfüllt. Möchtest du das tun?
Auch wenn nicht, würde ich dir empfehlen, auf jeden Fall mal im Zusammenhang aufzuschreiben, wie jetzt unser mit der Aufgabenstellung gesuchtes Beispiel konkret aussieht.
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> > 3 vektoren die paarweise linearunabhängig sind..mmh das
> > wären ja z.b. [mm]a_{1}=\vektor{1\\ 0} a_{2}=\vektor{0\\ 1} a_{3}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> > oder?
> Sehr gut, die tun es! Und dürften sogar die "einfachsten"
> sein, die es tun.
>
> Super, also haben wir ein Beispiel der gewünschten Art
> gefunden!
>
> Unsere bisherigen Überlegungen waren noch sehr daran
> orientiert, auf ein passendes Beispiel zu kommen. Jetzt, wo
> wir eins haben, könnten wir viel kürzer (ohne unsere
> Charakterisierungen von a) und b) für eindimensionale
> Unterräume) beweisen, warum dieses Beispiel es tut, also
> a) und b) erfüllt. Möchtest du das tun?
>
> Auch wenn nicht, würde ich dir empfehlen, auf jeden Fall
> mal im Zusammenhang aufzuschreiben, wie jetzt unser mit der
> Aufgabenstellung gesuchtes Beispiel konkret aussieht.
Bei den ganzen Überlegungen die wir jetzt hatten bin ich mir nicht mehr schlüssig was davon alles in den beweis gehört was muss ich da jetzt alles rein schreiben??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Bei den ganzen Überlegungen die wir jetzt hatten bin ich
> mir nicht mehr schlüssig was davon alles in den beweis
> gehört was muss ich da jetzt alles rein schreiben??
In der Tat deutlich weniger, als das, was wir uns unterwegs so alles überlegt haben.
Ich erinnere nochmal daran, was mit der Aufgabenstellung gesucht ist:
Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume [mm] $U_1,\ldots,U_n$ [/mm] von V, so dass
a) $ [mm] U_{i} \cap U_{j}=0 [/mm] $ für alle [mm] $i\not= [/mm] j$ aus [mm] \{1,\ldots,n\} [/mm]
b) die Summe [mm] $\summe_{i=1}^nU_i$ [/mm] ist NICHT direkt.
Also sollte unser Beweis damit beginnen, dass wir unser Beispiel für die gesuchten Objekte angeben (also welcher Körper K? Welcher Vektorraum V?...).
Dann ist zu zeigen, dass in diesem konkreten Beispiel a) und b) tatsächlich erfüllt sind. Dieser Beweis wird weitgehend unabhängig von unseren bisherigen Überlegungen und deutlich kürzer sein.
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> > Bei den ganzen Überlegungen die wir jetzt hatten bin ich
> > mir nicht mehr schlüssig was davon alles in den beweis
> > gehört was muss ich da jetzt alles rein schreiben??
> In der Tat deutlich weniger, als das, was wir uns unterwegs
> so alles überlegt haben.
>
> Ich erinnere nochmal daran, was mit der Aufgabenstellung
> gesucht ist:
>
> Gesucht ist ein Körper K, ein Vektorraum V über dem
> Körper K, eine natürliche Zahl n, Unterräume
> [mm]U_1,\ldots,U_n[/mm] von V, so dass
> a) [mm]U_{i} \cap U_{j}=0[/mm] für alle [mm]i\not= j[/mm] aus [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm]
> b) die Summe [mm]\summe_{i=1}^nU_i[/mm] ist NICHT direkt.
>
> Also sollte unser Beweis damit beginnen, dass wir unser
> Beispiel für die gesuchten Objekte angeben (also welcher
> Körper K? Welcher Vektorraum V?...).
Naja Körper ist doch [mm] \IR [/mm] und Vektorraum [mm] \IR^{2} [/mm] naja n=3 bei uns
[mm] U_{1}:=\{\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}; \alpha_{1} \in \IR\}
[/mm]
[mm] U_{2}:=\{\alpha_{2} \vektor{0 \\ 1}; \alpha_{2} \in \IR\}
[/mm]
[mm] U_{3}:=\{\alpha_{3} \vektor{1 \\ 1}; \alpha_{3} \in \IR\}
[/mm]
> Dann ist zu zeigen, dass in diesem konkreten Beispiel a)
> und b) tatsächlich erfüllt sind. Dieser Beweis wird
> weitgehend unabhängig von unseren bisherigen Überlegungen
> und deutlich kürzer sein.
so und womit fangen wir dort an?
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> > Naja Körper ist doch [mm]\IR[/mm] und Vektorraum [mm]\IR^{2}[/mm] naja n=3
> > bei uns
> > [mm]U_{1}:=\{\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}; \alpha_{1} \in \IR\}[/mm]
> > [mm]U_{2}:=\{\alpha_{2} \vektor{0 \\ 1}; \alpha_{2} \in \IR\}[/mm]
>
> >
> > [mm]U_{3}:=\{\alpha_{3} \vektor{1 \\ 1}; \alpha_{3} \in \IR\}[/mm]
>
> Genau!
>
> > > Dann ist zu zeigen, dass in diesem konkreten Beispiel a)
> > > und b) tatsächlich erfüllt sind. Dieser Beweis wird
> > > weitgehend unabhängig von unseren bisherigen Überlegungen
> > > und deutlich kürzer sein.
> > so und womit fangen wir dort an?
> Mit a) oder mit b)  . Wir können auch beides parallel
> machen (in zwei verschiedenen Unterthreads). Versuche mal,
> selbst einen Anfang zu finden! Bei a) ist für jede
> Kombination von i und j etwas zu zeigen. Das sind drei
> Kombinationen. Starte mit einer der drei! Bei b) würde ich
> eines der ersten beiden Kriterien für die direkte Summe
> verwenden.
Also gilt es zunächst mal zu zeigen, dass [mm] U_{i} \cap U_{j} [/mm] =0
So ich versuch das an einem beispiel und der rest ist dann ja analog
Seien [mm]U_{1}:=\{\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}; \alpha_{1} \in \IR\}[/mm]
[mm]U_{2}:=\{\alpha_{2} \vektor{0 \\ 1}; \alpha_{2} \in \IR\}[/mm]
Zu zeigen [mm] U_{1} \cap U_{2}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{1} \vektor{1 \\ 0} \cap \alpha_{2} \vektor{0 \\ 1} [/mm] =0
ich weiß nicht wie ich das jetzt formal ausdrücke...irgendwie muss ich ja jetzt einbringen, dass die koeffizienten 0 sind aber wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> So ich versuch das an einem beispiel und der rest ist dann
> ja analog
O.K.
> Zu zeigen [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm]
Ja.
> [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0} \cap \alpha_{2} \vektor{0 \\ 1}[/mm] =0
Da steht der Schnitt zweier Vektoren. Man kann nur Mengen schneiden, nicht Vektoren.
Da ja [mm] $U_{1} \cap U_{2}\supset [/mm] 0$ ohnehin gilt, müssen wir nur [mm] $U_{1} \cap U_{2}\subset [/mm] 0$ nachweisen. Was bedeutet nochmal diese Teilmengenbeziehung? Wie starten wir also?
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> > So ich versuch das an einem beispiel und der rest ist dann
> > ja analog
> O.K.
>
> > Zu zeigen [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm]
> Ja.
>
>
> Da ja [mm]U_{1} \cap U_{2}\supset 0[/mm] ohnehin gilt, müssen wir
> nur [mm]U_{1} \cap U_{2}\subset 0[/mm] nachweisen.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Für alle [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR [/mm] , die [mm] \alpha_{1} a_{1}=\alpha_{2} a_{2} [/mm] erfüllen, gelte [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{2} \alpha_{i} a_{i} [/mm] =0
Daraus folgt [mm] \alpha_{1} a_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} a_{2} [/mm] =0
[mm] \alpha_{1} a_{1} [/mm] = [mm] -\alpha_{2} a_{2} [/mm]
Nach unserer Voraussetzung folgt daraus [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
" [mm] \Leftarrow": [/mm] Seien [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] linear unabhängig und sei [mm] \alpha_{1} a_{1}= \alpha_{2} a_{2} [/mm] für gewisse [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR [/mm] . Zu zeigen ist, dass [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0 [/mm] gilt. Aus [mm] \alpha_{1} a_{1}= \alpha_{2} a_{2} [/mm] folgt [mm] \alpha_{1} a_{1} [/mm] + [mm] (i\alpha_{2}) a_{2} [/mm] und wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] damit [mm] \alpha_{1}=-\alpha{2}=0 [/mm] . Also [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0 [/mm] .
geht dsa so formal?..und kann ich dann schreiben das das für die andern zwei fälle analog gemacht werden muss?..und wie gehts dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Da ja [mm]U_{1} \cap U_{2}\supset 0[/mm] ohnehin gilt, müssen wir
> > nur [mm]U_{1} \cap U_{2}\subset 0[/mm] nachweisen.
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] Für alle [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR[/mm] ,
> die [mm]\alpha_{1} a_{1}=\alpha_{2} a_{2}[/mm] erfüllen, gelte
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i} a_{i}[/mm] =0
> Daraus folgt [mm]\alpha_{1} a_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} a_{2}[/mm] =0
> [mm]\alpha_{1} a_{1}[/mm] = [mm]-\alpha_{2} a_{2}[/mm]
> Nach unserer Voraussetzung folgt daraus
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
>
> " [mm]\Leftarrow":[/mm] Seien [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] linear unabhängig und
> sei [mm]\alpha_{1} a_{1}= \alpha_{2} a_{2}[/mm] für gewisse
> [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR[/mm] . Zu zeigen ist, dass
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] gilt. Aus [mm]\alpha_{1} a_{1}= \alpha_{2} a_{2}[/mm]
> folgt [mm]\alpha_{1} a_{1}[/mm] + [mm](i\alpha_{2}) a_{2}[/mm] und wegen der
> linearen Unabhängigkeit von [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] damit
> [mm]\alpha_{1}=-\alpha{2}=0[/mm] . Also [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] .
Was tust du da? Die Mengen [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$, [/mm] über die wir ja etwas zeigen wollen, kommen überhaupt nicht vor. Stattdessen zeigst du offenbar eine "genau-dann-wenn"-Aussage. Es tauchen [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] auf, die in unserem Beweis gar nicht eingeführt wurden.
Ich könnte jetzt anfangen, an deinem Vorschlag herumzuflickschustern (nennt man das so?). Stattdessen schlage ich vor, dass wir nochmal neu mit dem Beweis von [mm]U_{1} \cap U_{2}\subset 0[/mm] beginnen.
Zu zeigen ist, dass alle [mm] $u\in U_{1} \cap U_{2}$ [/mm] bereits [mm] $u\in [/mm] 0$ (d.h. nichts anderes als $u=0$) erfüllen. Betrachten wir also ein beliebiges [mm] $u\in U_{1} \cap U_{2}$. [/mm] Zu zeigen ist $u=0$. Was bedeutet [mm] $u\in U_{1} \cap U_{2}$ [/mm] (benutze: Definition vom Schnitt zweier Mengen, unsere Wahl von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$)?
[/mm]
> ..und kann ich dann schreiben das das
> für die andern zwei fälle analog gemacht werden
> muss?
Von mir aus ja. Ob dein Übungsleiter gerne alle drei Fälle ausgeführt haben möchte, weiß ich nicht, da gibt es sicherlich einen gewissen Ermessensspielraum. In der Klausur würde ich zunächst nur einen Fall durchexerzieren und wenn am Ende noch Zeit bleibt, auch die beiden anderen.
> ..und wie gehts dann weiter?
Wenn wir [mm]U_{1} \cap U_{2}\subset 0[/mm] gezeigt haben, haben wir a) erledigt und können zu b) kommen.
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Ich weiß auch nichtw as da grad für Kraut und rüben in meinem Kopf waren.
> Zu zeigen ist, dass alle [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] bereits [mm]u\in 0[/mm]
> (d.h. nichts anderes als [mm]u=0[/mm]) erfüllen. Betrachten wir
> also ein beliebiges [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]. Zu zeigen ist
> [mm]u=0[/mm]. Was bedeutet [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] (benutze:
> Definition vom Schnitt zweier Mengen, unsere Wahl von [mm]U_1[/mm]
> und [mm]U_2[/mm])?
Wir müssen ja zeigen, dass [mm] \alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2} \vektor{0 \\ 1}=0 [/mm] ist aber wie machen wir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> >Betrachten wir
> > also ein beliebiges [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]. Zu zeigen ist
> > [mm]u=0[/mm]. Was bedeutet [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] (benutze:
> > Definition vom Schnitt zweier Mengen, unsere Wahl von [mm]U_1[/mm]
> > und [mm]U_2[/mm])?
>
> Wir müssen ja zeigen, dass [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2} \vektor{0 \\ 1}=0[/mm] ist
So ungefähr: Wegen [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] besitzt u Darstellungen [mm] $u=\alpha_1\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $u=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$. [/mm] Also gilt [mm] $\alpha_1\vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}$. [/mm] Dann "rechne" mal beide Seiten der Gleichung aus (Definition der skalaren Multiplikation im Vektorraum [mm] $\IR^2$ [/mm] verwenden). Welche Gleichung erhalten wir also? Was folgt aus ihr?
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> > > Da ja [mm]U_{1} \cap U_{2}\supset 0[/mm] ohnehin gilt, müssen wir
> > > nur [mm]U_{1} \cap U_{2}\subset 0[/mm] nachweisen.
> > [mm]"\Rightarrow"[/mm] Für alle [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR[/mm] ,
> > die [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1 [/mm] erfüllen, gelte
> > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> > [mm]\summe_{i=1}^{2} \alpha_{i} a_{i}[/mm] =0
> > Daraus folgt [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=[/mm] + [mm]\alpha_{2} \vektor{0 \\ 1 [/mm] =0
> > [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]-\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1 [/mm]
> > Nach unserer Voraussetzung folgt daraus
> > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> >
> > " [mm]\Leftarrow":[/mm] Seien [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1[/mm] linear unabhängig und
> > sei [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}= \alpha_{2}\vektor{0 \\ 1 [/mm] für gewisse
> > [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR[/mm] . Zu zeigen ist, dass
> > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] gilt. Aus [mm]\alpha_{1}\vektor{1 \\ 0} = \alpha_{2}\vektor{0 \\ 1 [/mm]
> > folgt [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=[/mm] + [mm](i\alpha_{2}) \vektor{0 \\ 1[/mm] und wegen der
> > linearen Unabhängigkeit von [mm]\vektor{1 \\ 0}=[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1[/mm] damit
> > [mm]\alpha_{1}=-\alpha{2}=0[/mm] . Also [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] .
So müsste das doch gehen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Du zeigst anscheinend die Äquivalenz der beiden Aussagen
1. für alle [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR[/mm], die [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1[/mm] erfüllen, gilt bereits [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und
2. $\vektor{1 \\ 0}$ und $\vektor{0 \\ 1}$ sind linear unabhängig.
Eigentlich braucht man diese Äquivalenz gar nicht, aber gut.
Wie kann man mithilfe dieser Äquivalenz (oder besser gesagt mit der Implikation 2.$\Rightarrow$1., die andere braucht man dazu gar nicht) sehen, dass $U_1\cap U_2=0$?
Zunächst mal wisst ihr sicherlich aus der Vorlesung, dass $\vektor{1 \\ 0}$ und $\vektor{0 \\ 1}$ linear unabhängig sind, also 2. gilt! Also gilt auch 1. Da speziell die $\alpha_1,\alpha_2$ aus meinem letzten Post (die mit $u=\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}$ und $u=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1$) $\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}$ erfüllen, liefert 1. $\alpha_1=0$ und damit $u=0$. Das war zu zeigen.
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> Du zeigst anscheinend die Äquivalenz der beiden Aussagen
> 1. für alle [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \IR[/mm], die
> [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1[/mm]
> erfüllen, gilt bereits [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm] und
> 2. [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] sind linear
> unabhängig.
>
> Eigentlich braucht man diese Äquivalenz gar nicht, aber
> gut.
Wie hätte ichd as dennn sonst amchen können?
> Wie kann man mithilfe dieser Äquivalenz (oder besser
> gesagt mit der Implikation 2.[mm]\Rightarrow[/mm]1., die andere
> braucht man dazu gar nicht) sehen, dass [mm]U_1\cap U_2=0[/mm]?
>
> Zunächst mal wisst ihr sicherlich aus der Vorlesung, dass
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] linear unabhängig
> sind, also 2. gilt! Also gilt auch 1. Da speziell die
> [mm]\alpha_1,\alpha_2[/mm] aus meinem letzten Post (die mit
> [mm]u=\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]u=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1[/mm])
> [mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> erfüllen, liefert 1. [mm]\alpha_1=0[/mm] und damit [mm]u=0[/mm]. Das war zu
> zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Der Übersichtlichkeit halber nochmal im Zusammenhang:
Zu zeigen ist [mm] $U_1\cap U_2=0$, [/mm] d.h. für jedes [mm] $u\in U_1\cap U_2$ [/mm] gilt u=0. Sei also [mm] $u\in U_1\cap U_2$ [/mm] beliebig. Zu zeigen ist $u=0$.
Wegen [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] besitzt u Darstellungen [mm] $u=\alpha_1\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $u=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$. [/mm] Also gilt [mm] $\alpha_1\vektor{1 \\ 0}=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}$. [/mm] Nach Definition der skalaren Multiplikation des Vektorraumes [mm] $\IR^2$ [/mm] gilt [mm] $\alpha_1\vektor{1 \\ 0}=\vektor{\alpha_1*1 \\ \alpha_1*0}=\vektor{\alpha_1 \\ 0}$ [/mm] und ebenso [mm] $\alpha_2\vektor{0 \\ 1}=\vektor{\alpha_2*0 \\ \alpha_2*1}=\vektor{0 \\ \alpha_2}$. [/mm] Zusammen erhalten wir [mm] $\vektor{\alpha_1 \\ 0}=\vektor{0 \\ \alpha_2}$ [/mm] Insbesondere stimmen die beiden ersten Komponenten überein, d.h. [mm] $\alpha_1=0$, [/mm] und damit [mm] $u=\alpha_1\vektor{1 \\ 0}=0\vektor{1 \\ 0}=0$.
[/mm]
Der Vorteil des von dir eingeleiteten Weges ist, dass man ausnutzen kann, dass man schon weiß, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Das erspart einem Rechnung. Insofern ist dein Weg konzeptioneller, während meiner naheliegender ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Dann mal zu b)! Welches Kriterium für direkte Summe möchtest du verwenden? Was müssen wir tun (z.B. Was suchen wir?) um zu zeigen, dass die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] nicht direkt ist?
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> Dann mal zu b)! Welches Kriterium für direkte Summe
> möchtest du verwenden? Was müssen wir tun (z.B. Was
> suchen wir?) um zu zeigen, dass die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] nicht
> direkt ist?
wir müssen doch nur zeigen, dass wenn die summe der 3 untervektorräume 0 ist, dass die koeffizienten [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2} [/mm] und [mm] \alpha_{3} [/mm] ungleich 0 sind oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> wir müssen doch nur zeigen, dass wenn die summe der 3
> untervektorräume 0 ist,
Die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] ist sicherlich nicht der Nullraum. Z.B. gilt [mm] $\vektor{1\\0}\in U_1$, [/mm] also erst recht [mm] $\vektor{1\\0}\in U_1+U_2+U_3$ [/mm] (wegen [mm] $U_1\subset U_1+U_2+U_3$).
[/mm]
> dass die koeffizienten [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2}[/mm]
> und [mm]\alpha_{3}[/mm] ungleich 0 sind oder?
Welche Koeffizienten? Gleichbedeutend mit b) ist z.B.: Nicht für alle [mm] $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\alpha_1\vektor{1\\0}+\alpha_2\vektor{0\\1}+\alpha_3\vektor{1\\1}=0$ [/mm] gilt [mm] $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$ [/mm] (soll ich mal lieber einen Zwischenschritt einfügen?).
Weg 1: Gesucht sind also was für [mm] $\alpha_i$? [/mm] Fallen dir solche ein?
Weg 2: Also ist b) gleichbedeutend damit, dass die Vektoren [mm] $\vektor{1\\0},\vektor{0\\1},\vektor{1\\1} [/mm] NICHT linear unabhängig sind. Zeige dies mit Dimensiontheorie für Vektorräume.
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> > wir müssen doch nur zeigen, dass wenn die summe der 3
> > untervektorräume 0 ist,
> Die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] ist sicherlich nicht der Nullraum.
> Z.B. gilt [mm]\vektor{1\\0}\in U_1[/mm], also erst recht
> [mm]\vektor{1\\0}\in U_1+U_2+U_3[/mm] (wegen [mm]U_1\subset U_1+U_2+U_3[/mm]).
>
> > dass die koeffizienten [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2}[/mm]
> > und [mm]\alpha_{3}[/mm] ungleich 0 sind oder?
> Welche Koeffizienten? Gleichbedeutend mit b) ist z.B.:
> Nicht für alle [mm]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\IR[/mm] mit
> [mm]\alpha_1\vektor{1\\0}+\alpha_2\vektor{0\\1}+\alpha_3\vektor{1\\1}=0[/mm]
> gilt [mm]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0[/mm] (soll ich mal lieber
> einen Zwischenschritt einfügen?).
>
> Weg 1: Gesucht sind also was für [mm]\alpha_i[/mm]? Fallen dir
> solche ein?
ich bin ja eher für den ersten Weg, weil ich überzeugter von deinem beweis bin als von meinem...weil ich der meinung bin das meiner zu umständlich ist weil es für die aufgabe nur 2 punkte gibt ja [mm] \alpha_{1} [/mm] könnte ja 1 sein genauso wie [mm] \alpha_{2} [/mm] und [mm] \alpha_{3} [/mm] könnte -1 sein aber wie begründen wir das mit einem Beweis?
> Weg 2: Also ist b) gleichbedeutend damit, dass die
> Vektoren [mm]$\vektor{1\\0},\vektor{0\\1},\vektor{1\\1}[/mm] NICHT
> linear unabhängig sind. Zeige dies mit Dimensiontheorie
> für Vektorräume.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\alpha_{1}[/mm] könnte ja 1 sein genauso
> wie [mm]\alpha_{2}[/mm] und [mm]\alpha_{3}[/mm] könnte -1 sein
Genau!
> aber wie begründen wir das mit einem Beweis?
Ich setze hier lieber noch mal neu an (da mein "gleichbedeutend zu b) ist..." aus dem letzten Post doch etwas wenig begründet war):
Wir verwenden die zweite Charakterisierung der direkten Summe, also die, dass die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] direkt ist, genau dann, wenn aus [mm] $b_1+b_2+b_3=0$ [/mm] mit Vektoren [mm] b_{i} \in U_{i} [/mm] bereits [mm] b_{i}=0 [/mm] für i=1,2,3 folgt. Um zu zeigen, dass die Summe nicht direkt ist, geben wir drei Vektoren [mm] $b_1\in U_1,b_2\in U_2,b_3\in U_3$ [/mm] an, die nicht alle 0 sind und [mm] $b_1+b_2+b_3=0$ [/mm] erfüllen. Fallen dir auch hier welche ein?
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> > [mm]\alpha_{1}[/mm] könnte ja 1 sein genauso
> > wie [mm]\alpha_{2}[/mm] und [mm]\alpha_{3}[/mm] könnte -1 sein
> Genau!
>
> > aber wie begründen wir das mit einem Beweis?
> Ich setze hier lieber noch mal neu an (da mein
> "gleichbedeutend zu b) ist..." aus dem letzten Post doch
> etwas wenig begründet war):
>
> Wir verwenden die zweite Charakterisierung der direkten
> Summe, also die, dass die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] direkt ist,
> genau dann, wenn aus [mm]b_1+b_2+b_3=0[/mm] mit Vektoren [mm]b_{i} \in U_{i}[/mm]
> bereits [mm]b_{i}=0[/mm] für i=1,2,3 folgt. Um zu zeigen, dass die
> Summe nicht direkt ist, geben wir drei Vektoren [mm]b_1\in U_1,b_2\in U_2,b_3\in U_3[/mm]
> an, die nicht alle 0 sind und [mm]b_1+b_2+b_3=0[/mm] erfüllen.
> Fallen dir auch hier welche ein?
sind das nicht einfach die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} \in U_{1} \vektor{0 \\ 1} \in U_{2} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ -1} \in U_{3}
[/mm]
ich hab das jetzt einfach mit den koeefizienten ausgerechnte oder geht das so nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Wir verwenden die zweite Charakterisierung der direkten
> > Summe, also die, dass die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] direkt ist,
> > genau dann, wenn aus [mm]b_1+b_2+b_3=0[/mm] mit Vektoren [mm]b_{i} \in U_{i}[/mm]
> > bereits [mm]b_{i}=0[/mm] für i=1,2,3 folgt. Um zu zeigen, dass die
> > Summe nicht direkt ist, geben wir drei Vektoren [mm]b_1\in U_1,b_2\in U_2,b_3\in U_3[/mm]
> > an, die nicht alle 0 sind und [mm]b_1+b_2+b_3=0[/mm] erfüllen.
> > Fallen dir auch hier welche ein?
> sind das nicht einfach die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0} \in U_{1} \vektor{0 \\ 1} \in U_{2}[/mm]
> und [mm]\vektor{-1 \\ -1} \in U_{3}[/mm]
Sehr gut! Den Beweis von b) könnte man damit z.B. einfach so formulieren:
Wegen [mm]\vektor{1 \\ 0} \in U_{1}[/mm], [mm]\vektor{0 \\ 1} \in U_{2}[/mm], [mm]\vektor{-1 \\ -1}=-1\vektor{1\\1} \in U_{3}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}+\vektor{-1 \\ -1}=0[/mm] ist die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] nicht direkt.
Damit sind wir durch! Sollen wir es dabei belassen, soll ich den Beweis noch mal zusammenfassen, oder möchtest du das tun? In letzterem Fall wäre ich auch morgen im Laufe des Tages bereit, ihn nochmal Korrektur zu lesen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 So 10.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
| Aufgabe | | Seien [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] Unterräume des Vektorraums V über dem Körper K. Zu zeigen ist, dass die Summe von [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] im allgemeinen selbst dann nicht direkte Summe von [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] sein muss. wenn zusätzlich [mm] U_{i} \cap U_{j}=0 [/mm] für alle i [mm] \not= [/mm] j aus {1,...,n} gilt. |
Als Gegenbeispiel betrachten wir den Vektorraum [mm] $V=\IR^{2}$ [/mm] über dem Körper [mm] $K=\IR$ [/mm] und dessen Unterräume [mm] $U_{1}:=\IR\cdot\vektor{1 \\ 0}$, $U_{2}:=\IR\cdot\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $U_{3}:=\IR\cdot\vektor{1 \\ 1}$.
[/mm]
Es gilt [mm] $U_{i} \cap U_{j}=0$ [/mm] für alle $i [mm] \not= [/mm] j$ aus [mm] $\{1,2,3\}$. [/mm] Wir zeigen exemplarisch [mm] $U_1\cap U_2=0$. [/mm] Sei also [mm] $u\in U_1\cap U_2$ [/mm] beliebig. Zu zeigen ist $u=0$. Wegen [mm]u\in U_{1} \cap U_{2}[/mm] besitzt $u$ Darstellungen [mm] $u=\alpha_1\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $u=\alpha_{2}\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] für gewisse [mm] $\alpha_1,\alpha_2\in\IR$. [/mm] Diese [mm] $\alpha_1,\alpha_2$ [/mm] erfüllen [mm] $\vektor{\alpha_1 \\ 0}=\vektor{\alpha_1*1 \\ \alpha_1*0}=\alpha_1\vektor{1 \\ 0}=u=\alpha_2\vektor{0 \\ 1}=\vektor{\alpha_2*0 \\ \alpha_2*1}=\vektor{0 \\ \alpha_2}$. [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $\alpha_1=0$ [/mm] und damit [mm] $u=\alpha_1\vektor{1 \\ 0}=0\vektor{1 \\ 0}=0$.
[/mm]
Wegen [mm]0\not=\vektor{1 \\ 0} \in U_{1}[/mm], [mm]\vektor{0 \\ 1} \in U_{2}[/mm], [mm]\vektor{-1 \\ -1}=-1\vektor{1\\1} \in U_{3}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}+\vektor{-1 \\ -1}=0[/mm] ist die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] nicht direkt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ich wiederhole kurz, was wir im Hinblick auf b) herausgefunden haben:
Die Aussage, dass die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] direkt ist, bedeutet, dass aus [mm] $b_1+b_2+b_3=0$ [/mm] mit Vektoren [mm] $b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}$ [/mm] bereits folgt [mm] $b_i=0$ [/mm] für $i=1,2,3$.
[mm] $b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}$ [/mm] bedeutet dabei, dass es ein [mm] $\alpha_i\in\IR$ [/mm] gibt mit [mm] $b_i=\alpha_ia_i$.
[/mm]
Also ist die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] genau dann direkt, wenn aus [mm] $\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3$ [/mm] bereits folgt [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=\alpha_3a_3=0$. [/mm] Und die Bedingung [mm] $\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=\alpha_3a_3=0$ [/mm] (oder wieder besser gesagt, die drei Bedingungen [mm] $\alpha_1a_1=0$,$\alpha_2a_2=0$,$\alpha_3a_3=0$) [/mm] lässt sich wieder einfacher formulieren, da [mm] $a_1,a_2,a_3\not= [/mm] 0$ (Wie?). Also ist die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] genau dann direkt, wenn...? Und dies ist eine Eigenschaft, die einen speziellen Namen trägt...
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> Ich wiederhole kurz, was wir im Hinblick auf b)
> herausgefunden haben:
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> Die Aussage, dass die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] direkt ist,
> bedeutet, dass aus [mm]b_1+b_2+b_3=0[/mm] mit Vektoren
> [mm]b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}[/mm] bereits folgt [mm]b_i=0[/mm] für
> [mm]i=1,2,3[/mm].
>
> [mm]b_i\in\{\alpha a_i;\alpha\in\IR\}[/mm] bedeutet dabei, dass es
> ein [mm]\alpha_i\in\IR[/mm] gibt mit [mm]b_i=\alpha_ia_i[/mm].
>
> Also ist die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] genau dann direkt, wenn aus
> [mm]\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3[/mm] bereits folgt
> [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=\alpha_3a_3=0[/mm]. Und die Bedingung
> [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=\alpha_3a_3=0[/mm] (oder wieder besser
> gesagt, die drei Bedingungen
> [mm]\alpha_1a_1=0[/mm],[mm]\alpha_2a_2=0[/mm],[mm]\alpha_3a_3=0[/mm]) lässt sich
> wieder einfacher formulieren, da [mm]a_1,a_2,a_3\not= 0[/mm] (Wie?).
Naja das ist doch auch wieder lineare Unabhängigkeit oder nicht?..weil ja wieder die koeffizienten 0 werden müssen...
> Also ist die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] genau dann direkt, wenn...?
[mm] a_{1}, a_{2} [/mm] und [mm] a_{3} [/mm] linear unabhängig sind? bzw. [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] und [mm] U_{3} [/mm] l.u. sind...
> Und dies ist eine Eigenschaft, die einen speziellen Namen
> trägt...
??keine ahnung was für ne eigenachaft in bezug auf was??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Also ist die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] genau dann direkt, wenn aus
> > [mm]\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3[/mm] bereits folgt
> > [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=\alpha_3a_3=0[/mm]. Und die Bedingung
> > [mm]\alpha_1a_1=\alpha_2a_2=\alpha_3a_3=0[/mm] (oder wieder besser
> > gesagt, die drei Bedingungen
> > [mm]\alpha_1a_1=0[/mm],[mm]\alpha_2a_2=0[/mm],[mm]\alpha_3a_3=0[/mm]) lässt sich
> > wieder einfacher formulieren, da [mm]a_1,a_2,a_3\not= 0[/mm]
> (Wie?).
> Naja das ist doch auch wieder lineare Unabhängigkeit oder
> nicht?..weil ja wieder die koeffizienten 0 werden
> müssen...
Ja. Z.B. ist die Bedingung [mm] $\alpha_1a_1=0$ [/mm] wegen [mm] $a_1\not= [/mm] 0$ äquivalent zu [mm] $\alpha_1=0$.
[/mm]
>
> > Also ist die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] genau dann direkt, wenn...?
>
> [mm]a_{1}, a_{2}[/mm] und [mm]a_{3}[/mm] linear unabhängig sind?
Genau! Das ist doch mal eine schöne Charakterisierung, oder?
Damit b) erfüllt ist, also die Summe [mm] $U_1+U_2+U_3$ [/mm] NICHT direkt ist, müssen wir einfach [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}$ [/mm] so wählen, dass sie NICHT linear unabhängig sind! Kannst du irgendwie angeben, welche Vektorentripel [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR^2$ [/mm] dies leisten (mithilfe der Dimensionstheorie für Vektorräume kann man das direkt sehen)?
> bzw. [mm]U_{1}, U_{2}[/mm]
> und [mm]U_{3}[/mm] l.u. sind...
Hattet ihr eine Definition davon, dass MEHRERE TEILMENGEN/UNTERRÄUME eines Vektorraumes linear unabhängig sind? Ich kenne keine.
> > Und dies ist eine Eigenschaft, die einen speziellen Namen
> > trägt...
> ??keine ahnung was für ne eigenachaft in bezug auf was??
Damit meinte ich schlichtweg die lineare Unabhängigkeit von [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$.
[/mm]
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> Genau! Das ist doch mal eine schöne Charakterisierung,
> oder?
> Damit b) erfüllt ist, also die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] NICHT
> direkt ist, müssen wir einfach
> [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}[/mm] so wählen, dass sie
> NICHT linear unabhängig sind! Kannst du irgendwie angeben,
> welche Vektorentripel [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2[/mm] dies leisten
> (mithilfe der Dimensionstheorie für Vektorräume kann man
> das direkt sehen)?
Naja zum Beispiel [mm] a_{1}=\vektor{-2 \\ 2} a_{2}=\vektor{1 \\ -1} a_{3}=\vektor{-1\\ 1}
[/mm]
mit denen ist das doch möglich sind ja linear abhängig...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Damit b) erfüllt ist, also die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] NICHT
> > direkt ist, müssen wir einfach
> > [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}[/mm] so wählen, dass sie
> > NICHT linear unabhängig sind! Kannst du irgendwie angeben,
> > welche Vektorentripel [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2[/mm] dies leisten
> > (mithilfe der Dimensionstheorie für Vektorräume kann man
> > das direkt sehen)?
>
> Naja zum Beispiel [mm]a_{1}=\vektor{-2 \\ 2} a_{2}=\vektor{1 \\ -1} a_{3}=\vektor{-1\\ 1}[/mm]
>
> mit denen ist das doch möglich sind ja linear
> abhängig...
Genau. Also mit diesen Vektoren b) erfüllt. Noch unklar ist, ob sie auch a) erfüllen.
Tatsächlich hättest du die Beispielvektoren genauso gut auswürfeln können: Je drei Vektoren des [mm] $\IR^2$ [/mm] sind nämlich IMMER linear abhängig! Das ergibt sich aus der Dimensionstheorie der Vektorräume: Hat ein Vektorraum die Dimension n (hier: der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Dimension n=2), so haben alle Erzeugendensysteme Länge [mm] $\ge [/mm] n$ und alle linear unabhängigen Systeme Länge [mm] $\le [/mm] n$.
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> > > Damit b) erfüllt ist, also die Summe [mm]U_1+U_2+U_3[/mm] NICHT
> > > direkt ist, müssen wir einfach
> > > [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2\setminus\{0\}[/mm] so wählen, dass sie
> > > NICHT linear unabhängig sind! Kannst du irgendwie angeben,
> > > welche Vektorentripel [mm]a_1,a_2,a_3\in\IR^2[/mm] dies leisten
> > > (mithilfe der Dimensionstheorie für Vektorräume kann man
> > > das direkt sehen)?
> >
> > Naja zum Beispiel [mm]a_{1}=\vektor{-2 \\ 2} a_{2}=\vektor{1 \\ -1} a_{3}=\vektor{-1\\ 1}[/mm]
>
> >
> > mit denen ist das doch möglich sind ja linear
> > abhängig...
> Genau. Also mit diesen Vektoren b) erfüllt. Noch unklar
> ist, ob sie auch a) erfüllen.
>
aber läuft das jetzt nicht schon 100% auf einen wiederspruch hinaus...weil wenn die vektoren abhängig sind dann haben sie doch garantiert mehr elemente zusammen als die 0 und somit ist der schnitt doch nicht 0 oder denke ich jetzt vekehrt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> aber läuft das jetzt nicht schon 100% auf einen
> wiederspruch hinaus...weil wenn die vektoren abhängig sind
> dann haben sie doch garantiert mehr elemente zusammen als
> die 0 und somit ist der schnitt doch nicht 0 oder denke ich
> jetzt vekehrt?
In der Tat haben wir bei der Betrachtung der Bedingung a) herausbekommen, dass beispielsweise [mm] $U_1\cap U_2=0$ [/mm] gleichbedeutend damit ist, dass [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] NICHT linear abhängig sind. Aber das System [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] kann trotzdem linear abhängig sein.
(Es gilt: Aus der Unabhängigkeit eines Systems von Vektoren folgt auch die paarweise lineare Unabhängigkeit. Aus der paarweisen linearen Unabhängigkeit folgt i.A. NICHT die lineare Unabhängigkeit des ganzen Systems.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Sa 09.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Achja, wir wollten ja auch alle Unterräume des [mm] $K^2$ [/mm] bestimmen. Die 1-dimensionalen habe ich gerade betrachtet. Fehlen uns noch die 0-dimensionalen und die 2-dimensionalen.
Allgemeiner können wir in einem Vektorraum V der Dimension [mm] $n\in\IN$ [/mm] die 0-dimensionalen und die n-dimensionalen Unterräume bestimmen.
Zu den 0-dimensionalen Unterräumen [mm] $U\subset [/mm] V$: Ein solches U muss eine Basis der Länge 0 haben, also kommt nur das leere System $()$ als Basis in Betracht (und es ist tatsächlich eine Basis von U). U besteht also aus den Linearkombinationen der Vektoren des leeren Systems. Linearkombinationen des leeren Systems bestehen aus 0 Summanden, und da gibt es genau eine und die gibt den Nullvektor. Also besteht U genau aus dem Nullvektor und ist somit der Nullraum. Umgekehrt hat der Nullraum als Basis das leere System und somit Dimension 0. Also gibt es genau einen 0-dimensionale Unterraum von V, nämlich den Nullraum.
Zu den n-dimensionalen Unterräumen [mm] $U\subset [/mm] V$: Ihr solltet in der Vorlesung gehabt haben, dass ein Unterraum [mm] $U\subset [/mm] V$, der die gleiche endliche Dimension wie V hat, bereits ganz V sein muss. $U=V$ ist also der einzige Unterraum [mm] $U\subset [/mm] V$ der Dimension n.
Kannst du nun alle Unterräume von [mm] $K^2$ [/mm] für einen beliebigen Körper K oder alle Unterräume von [mm] $\IR^2$ [/mm] hinschreiben?
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