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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:49 So 21.12.2008 | | Autor: | Anaximander |
| Aufgabe | [mm] $U=\left\{x\in\IR^4| x_1 + x_2+x_3 = 0 \ \text{ und } \ x_2+x_3+x_4=0\right\}$ [/mm] und $W= [mm] \left\{ x\in\IR^4| x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \ \text{ und } \ x_1-x_2+x_4 = 0 \right\}$ [/mm]
a) Man begründe, warum U und W Unterräume von [mm] \IR^4 [/mm] sind, und gebe die Vektoren von U und W (mit Hilfe von Parameterdarstellungen) explizit an.
b) Man bestimme einen Vektor [mm] v\in\IR^4 [/mm] mit U [mm] \cap [/mm] W = R * v. |
Ich habe keine Ahnung wie an die Aufgabe herangehen soll.
Danke für jede Hilfe!
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> [mm]U=\left\{x\in\IR^4| x_1 + x_2+x_3 = 0 \ \text{ und } \ x_2+x_3+x_4=0\right\}[/mm]
> und [mm]W= \left\{ x\in\IR^4| x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \ \text{ und } \ x_1-x_2+x_4 = 0 \right\}[/mm]
> a) Man begründe, warum U und W Unterräume von [mm]\IR^4[/mm] sind,
> und gebe die Vektoren von U und W (mit Hilfe von
> Parameterdarstellungen) explizit an.
> b) Man bestimme einen Vektor [mm]v\in\IR^4[/mm] mit U vereinigt mit
> W = R * v.
> Ich habe keine Ahnung wie an die Aufgabe herangehen soll.
Hallo,
kannst Du bitte Dein Problem mit der Aufgabe genauer beschreiben?
Hast Du verstanden, welche Elemente des [mm] \IR^4 [/mm] in den beiden mengen U und W enthalten sind?
Habt Ihr bereits über Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen gesprochen? Was weißt Du darüber?
Falls Ihr Euch noch nicht mit den Lösungsmengen beschäftigt habt: wie lauten die Unterraumkriterien?
Die Vektoren von U und W sind ja gerade die Lösungen der entsprechenden Gleichungssysteme.
Hast Du diese Lösungen schon berechnet, wie lauten sie?
Bei Aufgabe b) bin ich mir sicher, daß Du sie nicht richtig gepostet hast.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Ja, es muss geschnitten, also das "und" sein bei der Aufgabe b), entschuldige bitte.
Mal sehen was ich bereits aus den Vorlesungen verstanden habe- eher sehr wenig:
Ein Unterraum ist ein Teilraum eines Vektorraumes. Unterraumkriterien, hier muß gezeit werden, daß eine gegebene Menge die Unterraumaxioma- Was ist ein Axiom?- erfüllt. Es muß sich wohl um eine Abgeschlossenheit von der gegebenen Menge gegenüber der Multiplikation und Addition handeln, oder?! Keine Ahnung wie genau das gemeint ist, das kann ich nur vermuten. Oder man findet ein schnelles Gegenbeispiel dafür, daß die Menge nicht im übergeordneten Vektorraum ist. Nach den Unterraumaxiomen muß die Summe der Vektoren auch in U (Unterraum) enthalten sein. Eigentlich kann man 2 beliebige Vektoren wählen, aber die gegebenen Vektoren zu nehmen( = kanonische Basen- Was ist das ?) ist oft am einfachsten. Es kann bei der Untersuchung ob einen Menge zu einem Unterraum gehört viele Beispiele geben.
Nun, trotzdem komme ich nicht voran bei der Aufgabe.
Lineare Gleichungssystem nach Gauß hatten wir schon, aber wie das jetzt bei Unterraumen aussieht kann ich nicht sagen.
Danke für euere Hilfe!
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> Mal sehen was ich bereits aus den Vorlesungen verstanden
> habe- eher sehr wenig:
Hallo,
das geht ja sehr vielen so - man muß das zu Hause nacharbeiten.
Ich habe "so mal eben im Vorübergehen" nichts verstehen können - und es hat ein Weilchen gedauert, bis ich wußte, was ich dagegen zu tun habe.
Spätestens parallel zur Bearbeitung der Aufgaben mußt Du die Vorlesung nacharbeiten. Du mußt nicht jeden Beweis können (der Zeitfaktor spielt ja auch eine Rolle), aber zumindest die Definitionen und die Aussagen der Sätze muß man sich klarmachen. Wenn man die kennt, weiß man natürlich besser, wsa man mit den Aufgaben zu tun hat.
In Aufgabe a) ist es für den Aufwand, der zu treiben ist, von entscheidender Bedeutung, ob bereits gezeigt wurde, daß die Lösungsmengen linearer homogener Gleichungssysteme Vektorräume sind. Steht Dir das zur Verfügung, hast Du in a) die Unterraumeigenschaft bereits begründet und kannst Dir weiteres gemuckel mit den Unterraumkriterien ersparen. Kläre das!
> Ein Unterraum ist ein Teilraum eines Vektorraumes.
Teilraum ist ein anderes Wort für Unter(vektor)raum. Ein Unterraum ist selbst auch ein Vektorraum, welcher eine Teilmenge eines "größeren" Vektorraumes ist.
Da aufgrund dieser Tatsache gewisse Regeln gelten müssen, beschränkt sich die Untersuchung auf die sogenannten Unterraumkriterien.
1. nichtleer
2. Abgeschlossen bzgl. der Addition
3- Abgeschlossen bzgl der Multiplikation mit Skalaren (körperelementen)
> Was ist ein Axiom?-
Hu! Ich bleibe ganz an der Oberfläche und zitiere aus der Wikipedia:
Ein Axiom ist dann eine grundlegende Aussage, die
* Bestandteil eines formalisierten Systems von Sätzen ist,
* ohne Beweis angenommen wird und
* aus der zusammen mit anderen Axiomen alle Sätze (Theoreme) des Systems logisch abgeleitet werden.
> erfüllt. Es muß sich wohl um eine Abgeschlossenheit von der
> gegebenen Menge gegenüber der Multiplikation und Addition
> handeln, oder?! Keine Ahnung wie genau das gemeint ist,
Du nimmst ja eine Teilmenge U eines VRes und mußt gucken, ob wenn Du zwei Elemente aus U addierst, das Ergebnis wieder in U liegt, mult. mit Skalaren entsprechend.
> Oder man findet ein schnelles
> Gegenbeispiel dafür, daß die Menge nicht im übergeordneten
> Vektorraum ist.
Ja, so widerlegt man.
> Nach den Unterraumaxiomen muß die Summe der
> Vektoren auch in U (Unterraum) enthalten sein. Eigentlich
> kann man 2 beliebige Vektoren wählen,
Unbedingt!
> ( = kanonische Basen- Was ist das ?)
Eine einfache, natürliche naheliegende Basis.
Im [mm] \IR^n [/mm] also die Spaltenvektoren mit lauter Nullen und einer Eins.
Was Du nun schonmal tun kannst: kläre das mit den Lösungsmengen und den homogenen Gleichungssystemen, was ich angesprochen hatte.
Löse schonmal die beiden Gleichungssysteme.
Mach Dir klar, daß in [mm] U\cap [/mm] W die vektoren sind, die alle 4 Gleichungen lösen.
Löse auch dieses Gleichungssystem.
Wenn Du das hast, bist Du einen Riesenschritt weiter, dann kann man Dir zeigen, was Du damit machen kannst.
Gruß v. Angela
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