www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Unterräume
Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Unterräume: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Mo 06.12.2004
Autor: grunicke

Hallo!
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabehelfen?!

Seien A, B, C endlich- dimensionale Unterräume eines K-Vektorraums E.

(a) Beweisen Sie die Ungleichung dim (A+B+C) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC
(b) Geben Sie ein (hinreichendes und notwendiges) Kriterium dafür an, dass die Ungleichung aus Teil (a) zu einer Gleichung wird.
(c) Zeigen Sie die verschärfte Ungleichun
     dim ( A+B+C ) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC - 2dim (A  [mm] \cap [/mm] B  [mm] \cap [/mm] C)

Also die (a) habe ich so bewiesen, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob dies richtig ist und es ausreicht.

(a) Es sei dim (A+B) = dimA + dimB - dim(A [mm] \cap [/mm] B)

dim (A+B+C)  [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC
[mm] \gdw [/mm] dimA + dimB + dimC - dim(A  [mm] \cap [/mm] B) - dim(B  [mm] \cap [/mm] C) - dim (A  [mm] \cap [/mm] C) + dim(A  [mm] \cap [/mm] B  [mm] \cap [/mm] C) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC
[mm] \gdw [/mm] dim (A  [mm] \cap [/mm] B) + dim(A  [mm] \cap [/mm] C) + dim(B  [mm] \cap [/mm] C)

Es sei A° = (B  [mm] \cup [/mm] C) \ A
          B° = (A  [mm] \cup [/mm] C) \ B
           C°= (A  [mm] \cup [/mm] B) \ C

[mm] \gdw [/mm] dim (A  [mm] \cap [/mm] B  [mm] \cap [/mm] C)  [mm] \le [/mm] dim ((A  [mm] \cap [/mm] B)  [mm] \cap [/mm] C°) + dim ((A  [mm] \capC) \cap [/mm] B°) + dim((B  [mm] \cap [/mm] C)  [mm] \cap [/mm] A°) + 3dim(A  [mm] \cap [/mm] B  [mm] \cap [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] 0  [mm] \le [/mm] dim((A  [mm] \cap [/mm] B)  [mm] \cap [/mm] C°) + dim((A  [mm] \cap [/mm] C)  [mm] \cap [/mm] B°) + dim((B  [mm] \cap [/mm] C)  [mm] \cap [/mm] A°) + 2dim(A  [mm] \cap [/mm] B  [mm] \cap [/mm] C)

So, die (c) müsste auch so funktionieren. Nur was fange ich mit der (b) an?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Di 07.12.2004
Autor: Julius

Hallo!

Also, was du da im Beweis machst, geht so natürlich nicht, da du mengentheoretische Komplemente bildest und diese keine Unterräume mehr darstellen.

Stattdessen kannst du c) (und damit auch a)) ganz einfach mit der Dimensionsformel für Untervektorräume direkt beweisen. Diese Gleichung hast du ja auch angegeben, also kennst du sie offenbar.

Man rechnet dann so:

[mm] $\dim(A+B+C)$ [/mm]

[mm] $=\dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] \dim(A\cap [/mm] B) - [mm] \dim(A\cap [/mm] C) - [mm] \dim(B \cap [/mm] C) + [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C)$.

[mm] $\le \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C) - [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C) - [mm] \dim(A\cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) + [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C)$

$= [mm] \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] 2\dim(A\cap B\cap [/mm] C)$,

wegen [mm] $A\cap B\cap [/mm] C [mm] \subset A\cap [/mm] B$ etc.

Zur b): Es gilt genau dann

[mm] $\dim(A [/mm] + B + C) = [mm] \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C)$, [/mm]

wenn für die Unterräume $A$, $B$ und $C$ gilt:

$A [mm] \cap [/mm] B= [mm] A\cap [/mm] C = B [mm] \cap C=\{0\}$. [/mm]

wie man an der Rechnung unmittelbar erkennt.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]