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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Do 03.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es seien G und H Gruppen und f : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
a) Ist G1 eine Untergruppe von G, so ist f (G1) eine Untergruppe von H.
b) Ist H1 eine Untergruppe von H, so ist f ^{-1}1(H1) eine Untergruppe von G.
c) Es ist Ke( f ) eine Untergruppe von G und Bi( f ) eine Untergruppe von H. |
Hallo.
Hab die a so versucht:
- Da G1 nichtleer ist, ist auch das Bild nichtleer.
- f(x) * f(y) = f(x*y) Da x*y [mm] \in [/mm] G ist f(x*y) [mm] \in [/mm] f(G), x,y [mm] \in [/mm] G
Stimmt das (grob) soweit? Wie zeigt man hier die Abgeschlossenheit bzgl. des Inversen.
Und kann mir bei b) und c) jemand helfen?
Danke sehr. Gruß
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Hallo SolRakt,
> Es seien G und H Gruppen und f : G [mm]\to[/mm] H ein
> Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
> a) Ist G1 eine Untergruppe von G, so ist f (G1) eine
> Untergruppe von H.
> Hab die a so versucht:
>
> - Da G1 nichtleer ist, ist auch das Bild nichtleer.
Welches Gruppenaxiom soll das beweisen?
> - f(x) * f(y) = f(x*y) Da x*y [mm]\in[/mm] [mm] G\red{1} [/mm] ist f(x*y) [mm]\in[/mm] [mm] f(G\red{1}), [/mm]
> x,y [mm]\in[/mm] [mm] G\red{1}
[/mm]
So in etwa die Abgeschlossenheit. Ist [mm] $f(x),f(y)\in [/mm] f(G1)$ wegen [mm] $x,y\in [/mm] G1$, so auch [mm] f(x)*f(y)=f(x*y)\in [/mm] f(G1), denn [mm] $x\*y\in [/mm] G1$
Mir fehlen noch die anderen Gruppenaxiome.
neutrales Element: Zeige, dass ein Homomorphismus das eine neutrale Element auf das andere abbildet.
Assoziativität (klar [mm] f(G1)\subseteq [/mm] H, damit vererbt sich die Eigenschaft)
>
> Stimmt das (grob) soweit? Wie zeigt man hier die
> Abgeschlossenheit bzgl. des Inversen.
inverses Element: Homomorphismen bilden das Inverse von [mm] x\in [/mm] G auf das Inverse von [mm] f(x)\in [/mm] H ab (warum?) Somit werden die inversen Elemente der Untergruppe G1 auf die entsprechenden inversen Elemente von f(G1) abgebildet.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 03.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Muss man das bei Untergruppen denn zeigen?
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Das kommt halt darauf an, wie ihr Untergruppen definiert habt. Meistens recht eine nichtleere Menge die bzgl. der geerbten Verknüpfung auch eie Gruppe ist.
Es reicht also zu zeigen:
[mm] $e\in [/mm] U$ und [mm] $a,b\in [/mm] U [mm] \Rightarrow a\circ b^{-1}\in [/mm] U$.
Die existenz des neutralen Elements folgt aus der Homomorphie-Eigenschaft. Naja und das mit der Verknüpfung ist auch einfach nachrechnen. Also Assoziativität muss eigentlich nicht gezeigt werden.
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> Es seien G und H Gruppen und f : G [mm]\to[/mm] H ein
> Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
> c) Es ist Ke( f ) eine Untergruppe von G und Bi( f ) eine
> Untergruppe von H.
> Hallo.
>
Kern
[mm]Kern(f):=\{a\in G : f(a)=e_H\}[/mm]
Eigenschaft Homomorphismus [mm] $f(e_G)=e_H$.
[/mm]
Seien [mm] $a,b\in [/mm] Kern(f)$, d.h. [mm] $f(a)=f(b)=e_H$. [/mm] z.z. [mm] $a*b^{-1}\in [/mm] Kern(f)$, d.h. [mm] $f(a\circ b^{-1})=e_H$. [/mm] Wir hatten hier im Forum schon öfters die Eigenschaft [mm] $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$ [/mm] eines HM.
Bild
Eigentlich haargenauso
[mm] $Bild(f):=\{f(a) | a\in G\}$
[/mm]
Neutrales Element liegt wieder drin....
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> Es seien G und H Gruppen und f : G [mm]\to[/mm] H ein
> Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
> b) Ist H1 eine Untergruppe von H, so ist f ^{-1}1(H1) eine
> Untergruppe von G.
Wieder schön aufschreiben:
[mm]H_1\leq H[/mm] Untergruppe.
z.z: [mm]G_1:=f^{-1}(H_1)\leq G[/mm] Untergruppe.
U1) [mm]e\in G_1[/mm]
U2) [mm]a,b \in G_1 \Rightarrow ab^{-1}\in G_1[/mm]
Wie sieht das neutrale Element hier aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Fr 04.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
Das wurde eigentlich absichtlich nur als Mitteilung von mir deklariert.
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