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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mo 01.01.2007 | | Autor: | unwanted |
| Aufgabe | H und K seien Untergruppen de Gruppe G. Es gelte
|H| = 44, |K| = 56 und |H [mm] \cap [/mm] K| > 1.
Zeige, dass es in G ein Element der Ordnung 2 gibt. |
Hallo an alle :)
Ich habe eine Lösung zu der Aufgabe, kann der aber nicht ganz folgen. Es wäre schön wenn mir hier jemend weiter helfen könnte.
In der Lösung heisst es:
Wegen |H| = [mm] 2^{2}*11, [/mm] |K| = [mm] 2^{3}*7 [/mm] und |H [mm] \cap [/mm] K| > 1 folgt, dass entweder |H [mm] \cap [/mm] K| = 2 oder |H [mm] \cap [/mm] K| = 4 gilt.
Warum schreibt man |H| und |K| als |H| = [mm] 2^{2}*11, [/mm] |K| = [mm] 2^{3}*7 [/mm] ?
Und wie kommt man dann auf diese Schlussfolgerung |H [mm] \cap [/mm] K| = 2 oder |H [mm] \cap [/mm] K| = 4 ?
Ich habe jetzt schon eine Weile überlegt wie das einen Sinn ergibt, ich komme aber nicht drauf.
Die Definitionen von Untergruppen und Ordnungen habe ich alle drauf. Dass die Ordnung eines Elements die Ordnung der Gruppe teilt usw...
Ich verstehe nur diese Aussage innerhalb der Lösung nicht, kann mir jemand das erläutern bitte?
Danke :)
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Hallo Unwanted,
> H und K seien Untergruppen de Gruppe G. Es gelte
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> |H| = 44, |K| = 56 und |H [mm]\cap[/mm] K| > 1.
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> Zeige, dass es in G ein Element der Ordnung 2 gibt.
> Hallo an alle :)
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> Ich habe eine Lösung zu der Aufgabe, kann der aber nicht
> ganz folgen. Es wäre schön wenn mir hier jemend weiter
> helfen könnte.
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> In der Lösung heisst es:
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> Wegen |H| = [mm]2^{2}*11,[/mm] |K| = [mm]2^{3}*7[/mm] und |H [mm]\cap[/mm] K| > 1
> folgt, dass entweder |H [mm]\cap[/mm] K| = 2 oder |H [mm]\cap[/mm] K| = 4
> gilt.
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> Warum schreibt man |H| und |K| als |H| = [mm]2^{2}*11,[/mm] |K| =
> [mm]2^{3}*7[/mm] ?
>
> Und wie kommt man dann auf diese Schlussfolgerung |H [mm]\cap[/mm]
> K| = 2 oder |H [mm]\cap[/mm] K| = 4 ?
$H [mm] \cup [/mm] K$ ist doch Untergruppe sowohl von $H$ als auch von $K$; und nu benutz den Satz von Lagrange, dann kommst Du sicher drauf.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Di 02.01.2007 | | Autor: | unwanted |
du meist weill der ggT 4 ist? und somit die Ordnung ein Teiler von 4 sein muss?
das ist mir schon klar...
In der Lösung geht es weiter:
Sei g [mm] \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K und g [mm] \not= [/mm] 1. Da die Ordung von g ein Teiler von H [mm] \cap [/mm] K ist, hat g entweder die Ordnung 2 oder 4. Ist die Ordnung von g gleich 2 so sind wir fertig. Ist die Ordnung von g gleich 4, so sind wir ebenfalls fertig, da dann [mm] g^{2} \in [/mm] G ein Element der Ordnung 2 ist.
Ok zurück zu meiner Frage.
Warum schreiben wir am Anfang in der Antwort für |H| und |K| : |H| = [mm] 2^{2}\cdot{}11, [/mm] |K| = [mm] 2^{3}\cdot{}7 [/mm] ?
Warum wird das hier gemacht? Und wie ist der zweite Abschnitt der Lösung zu verstehen?
Ich kann nicht nachvollziehen warum dies der Beweis dafür ist dass es in G ein Element der Ordnung 2 gibt.
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Hallo Unwanted,
> du meist weill der ggT 4 ist? und somit die Ordnung ein
> Teiler von 4 sein muss?
Genau!
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> das ist mir schon klar...
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> In der Lösung geht es weiter:
>
> Sei g [mm]\in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K und g [mm]\not=[/mm] 1. Da die Ordung von g ein
> Teiler von H [mm]\cap[/mm] K ist, hat g entweder die Ordnung 2 oder
> 4. Ist die Ordnung von g gleich 2 so sind wir fertig. Ist
> die Ordnung von g gleich 4, so sind wir ebenfalls fertig,
> da dann [mm]g^{2} \in[/mm] G ein Element der Ordnung 2 ist.
>
> Ok zurück zu meiner Frage.
>
> Warum schreiben wir am Anfang in der Antwort für |H| und
> |K| : |H| = [mm]2^{2}\cdot{}11,[/mm] |K| = [mm]2^{3}\cdot{}7[/mm] ?
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> Warum wird das hier gemacht? Und wie ist der zweite
> Abschnitt der Lösung zu verstehen?
Ich vermute, weil man aus der Primfaktorzerlegung von $|H|$ und $|K|$ leichter sieht, was der ggT dieser Zahlen ist. (Man kann es aber auch ohne den ggT sehen.)
Den 2. Teil der Lösung find' ich auch etwas seltsam; man hätte hier nach den beiden möglichen Ordnungen unterscheiden müssen.
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> Ich kann nicht nachvollziehen warum dies der Beweis dafür
> ist dass es in G ein Element der Ordnung 2 gibt.
Überleg Dir mal: Welche Möglichkeiten gibt es für Gruppen der Ordnungen 2 bzw. 4?
Mfg
zahlenspieler
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