Untergruppe und Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Zeige:
(a) Die Gruppe [mm] (\IZ,+) [/mm] ist zu einer echten Untergruppe von sich selbst isomorph.
(b) Die Gruppe [mm] (\IQ,+) [/mm] ist nicht zu einer echten Untergruppe von sich selbst isomorph. |
Ich tue mir mit diesen Isomorphiebeweisen sehr schwer. Die Aufgabe (b) kriege ich glaube ich bestimmt noch hin aber bei (a) hänge ich total. Ich wüsste z.b. schon bei der Surjektivität überhaupt nicht wie ich ansetzen soll.
Kann mir da jemand ein wenig auf die Sprünge helfen?
Danke im Voraus, Gruß.
|
|
| |
|
Hallo Physy,
> Zeige:
> (a) Die Gruppe [mm](\IZ,+)[/mm] ist zu einer echten Untergruppe von
> sich selbst isomorph.
> (b) Die Gruppe [mm](\IQ,+)[/mm] ist nicht zu einer echten
> Untergruppe von sich selbst isomorph.
> Ich tue mir mit diesen Isomorphiebeweisen sehr schwer. Die
> Aufgabe (b) kriege ich glaube ich bestimmt noch hin aber
> bei (a) hänge ich total. Ich wüsste z.b. schon bei der
> Surjektivität überhaupt nicht wie ich ansetzen soll.
>
> Kann mir da jemand ein wenig auf die Sprünge helfen?
Nimm die geraden ganzen Zahlen. Die bilden eine Untergruppe bzgl. [mm] $(\IZ,+)$ [/mm] - ist dir das klar?
Findest du einen Isomorphismus [mm] $\psi:\IZ\to 2\IZ$ [/mm] ?
>
>
> Danke im Voraus, Gruß.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Physy |
Hi, danke für die schnelle Antwort.
Sicher dass mit dem "zu einer" nicht zu allen gemeint ist? Also im Sinne von "zu einer beliebigen"
Das ist ja jetzt nur ein Beispiel bei dir.
Sonst wäre ich da auch drauf gekommen :)
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hi, danke für die schnelle Antwort.
>
> Sicher dass mit dem "zu einer" nicht zu allen gemeint ist?
> Also im Sinne von "zu einer beliebigen"
> Das ist ja jetzt nur ein Beispiel bei dir.
Naja, die Aufgabenstellung ist m.E. nicht ganz glücklich ...
Das kann man so oder so lesen ...
> Sonst wäre ich da auch drauf gekommen :)
Wie dem auch sei: Jede additive Untergruppe von [mm]\IZ[/mm] ist von der Form [mm]m\IZ[/mm] für ein [mm]m\in\IN[/mm].
Und echt ist sie für [mm]m\neq 1[/mm]
Damit kannst du den Isomorphismus für [mm]2\IZ[/mm] doch leicht verallgemeinern.
>
>
>
> Gruß
Zurück
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Physy |
Danke :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Physy |
Noch eine Frage :)
Also es gilt ja, dass (U,+) genau dann eine Untergruppe von [mm] (\IZ,+) [/mm] ist, wenn U = [mm] m*\IZ.
[/mm]
Dann kann ich ja einfach den Isomorphismus f: U -> [mm] \IZ, [/mm] u -> u/m nehmen, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Noch eine Frage :)
>
> Also es gilt ja, dass (U,+) genau dann eine Untergruppe von
> [mm](\IZ,+)[/mm] ist, wenn U = [mm]m*\IZ.[/mm]
> Dann kann ich ja einfach den Isomorphismus f: U -> [mm]\IZ,[/mm] u
> -> u/m nehmen, oder?
Jo, prüfe doch kurz nach, ob das ein Isomorphismus ist ...
Umgekehrt hast du den Iso. [mm]\psi:\IZ\to m\IZ, z\mapsto mz[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Physy |
Ich möchte trotzdem nochmal wegen der (b) nachhaken :)
Es gilt ja [mm] 3\IZ [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] \IQ [/mm] => Dann ex. ein x aus [mm] 3\IZ, [/mm] so dass phi(x) = 2 => phi(x/2) + phi(x/2) = 2 aber x/2 ist nicht aus [mm] 3\IZ, [/mm] also kann phi kein Isomorphismus sein.
Ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Physy |
Kann mir noch jemand bei der (b) helfen? :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Sa 19.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich möchte trotzdem nochmal wegen der (b) nachhaken :)
>
> Es gilt ja [mm]3\IZ[/mm] ist eine Untergruppe von [mm]\IQ[/mm] => Dann ex.
> ein x aus [mm]3\IZ,[/mm] so dass phi(x) = 2 => phi(x/2) + phi(x/2) =
> 2 aber x/2 ist nicht aus [mm]3\IZ,[/mm] also kann phi kein
> Isomorphismus sein.
>
> Ist das so korrekt?
Nein.
Wie du schon sagst: $x/2$ ist nicht in [mm] $3\IZ$. [/mm] Also was soll $x/2$ sein?
Es koennte ja [mm] $\phi$ [/mm] die Restklasse $x = 2 + [mm] 3\IZ$ [/mm] auf 2 abbilden. Dann wird $1 + [mm] 3\IZ$ [/mm] auf $1 = [mm] \phi(x)/2$ [/mm] abgebildet.
Wenn du b) bearbeiten willst (das ist aus dem was du oben schreibst nicht klar), dann geh wie folgt vor: nimm dir eine Untergruppe $U [mm] \subseteq \IQ$ [/mm] zusammen mit einem Isomorphismus [mm] $\phi [/mm] : U [mm] \to \IQ$. [/mm] Zeige jetzt, dass $U = [mm] \IQ$ [/mm] ist. Dazu nimmst du ein nicht-triviales Element $x = [mm] \frac{p}{q} \in [/mm] U [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] und zeigst zuerst, dass [mm] $\frac{1}{q} \in [/mm] U$ ist, und dann, dass $1 [mm] \in [/mm] U$ ist. Damit kannst du dann genauso weitermachen und folgern, dass jedes Element aus $U$ ist.
Nur den ersten Schritt, von [mm] $\frac{p}{q} \in [/mm] U$ zu [mm] $\frac{1}{q} \in [/mm] U$, den musst du erstmal hinbekommen. Und dazu brauchst du [mm] $\phi$ [/mm] und eine wichtige Eigenschaft der rationalen Zahlen.
LG Felix
|
|
|
|
