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| Aufgabe | 1)
Zeigen Sie: Für [mm]n \in \IN_0[/mm] ist [mm]n\IZ=\left\{ nz:z \in \IZ \right\}[/mm] eine Untergruppe von [mm]\left( \IZ, + \right)[/mm]. Ist umgekehrt [mm]U[/mm] eine Untergruppe von [mm]\IZ[/mm], so gilt [mm]U=n \IZ[/mm] für ein passendes [mm]n \in \IN_0[/mm]. |
Hallo Mathefreunde,
ich wollte wissen, ob mein Ansatz richtig ist. Laut Vorlesung gelten folgende Axiome für Untergruppen:[mm]G' \subset G[/mm] mit [mm]a,b \in G'[/mm] dann gilt: [mm]a \* b \in G'[/mm] und [mm]a^{-1} \in G'[/mm].
ZZ: [mm]n\IZ[/mm] ist eine Untergruppe:
i) [mm]n_1z_1+n_2z_2 \in G'[/mm]
ii)[mm]n_1z_1+n_2z_2 = 0 \Rightarrow n_2z_2=-n_1z_1 \in G'[/mm]
ZZ: [mm]U=n \IZ[/mm] für ein passendes [mm]n \in \IN_0[/mm]:
Sei [mm]a,b \in U[/mm]
Dann ist[mm]a+b \in U[/mm]und[mm]a^{-1} \in U[/mm].
Wähle [mm]a=n_1z_1 \wedge b=n_2z_2 \Rightarrow U=n \IZ[/mm]
Danke schon mal für eure Hilfe im Voraus
Christoph
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> 1)
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> Zeigen Sie: Für [mm]n \in \IN_0[/mm] ist [mm]n\IZ=\left\{ nz:z \in \IZ \right\}[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\left( \IZ, + \right)[/mm]. Ist umgekehrt [mm]U[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\IZ[/mm], so gilt [mm]U=n \IZ[/mm] für ein
> passendes [mm]n \in \IN_0[/mm].
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich wollte wissen, ob mein Ansatz richtig ist. Laut
> Vorlesung gelten folgende Axiome für Untergruppen:[mm]G' \subset G[/mm]
> mit [mm]a,b \in G'[/mm] dann gilt: [mm]a \* b \in G'[/mm] und [mm]a^{-1} \in G'[/mm].
Hallo,
ja, das ist richtig, das, was Du anschließend schreibst, aber nicht mehr.
Ist Dir eigentlich klar, welche Elemente in [mm] n\IZ [/mm] sind?
Führen wir den Beweis doch erstmal für n=3, zeigen also , daß [mm] 3\IZ [/mm] eine Untergrupe der ganzen Zahlen ist.
[mm] 3\IZ=\{3z|z\in \IZ\}=\{ ...\}. [/mm] Schreib die Menge hier ruhig mal in aufzählender Form auf.
>
> ZZ: [mm]n\IZ[/mm] ist eine Untergruppe:
Hierfür ist zu zeigen:
i) für [mm] a\in 3\IZ [/mm] und [mm] b\in 3\IZ [/mm] ist [mm] a+b\in 3\IZ.
[/mm]
Wenn [mm] a\in 3\IZ, [/mm] wie sieht a dann aus? a= ???
Wenn [mm] b\in 3\IZ, [/mm] wie sieht b dann aus? b= ???
Dann ist a+b= ... (Schreibe das Ergebnis der Addition so, daß man sieht, daß die Summe in [mm] 3\IZ [/mm] isz.)
ii) Sei [mm] a\in 3\IZ.
[/mm]
Was ist das Inverse von a bzgl der Addition in [mm] \IZ?
[/mm]
Warum in es auch in [mm] 3\IZ?
[/mm]
Wenn Dir das gelungen ist, führe den Beweis statt für n=3 allgemein für n.
Die andere Richtung stellen wir vorerst zurück.
Gruß v. Angela
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> > 1)
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> > Zeigen Sie: Für [mm]n \in \IN_0[/mm] ist [mm]n\IZ=\left\{ nz:z \in \IZ \right\}[/mm]
> > eine Untergruppe von [mm]\left( \IZ, + \right)[/mm]. Ist umgekehrt [mm]U[/mm]
> > eine Untergruppe von [mm]\IZ[/mm], so gilt [mm]U=n \IZ[/mm] für ein
> > passendes [mm]n \in \IN_0[/mm].
> > Hallo Mathefreunde,
> >
> > ich wollte wissen, ob mein Ansatz richtig ist. Laut
> > Vorlesung gelten folgende Axiome für Untergruppen:[mm]G' \subset G[/mm]
> > mit [mm]a,b \in G'[/mm] dann gilt: [mm]a \* b \in G'[/mm] und [mm]a^{-1} \in G'[/mm].
>
> Hallo,
>
> ja, das ist richtig, das, was Du anschließend schreibst,
> aber nicht mehr.
>
> Ist Dir eigentlich klar, welche Elemente in [mm]n\IZ[/mm] sind?
Ich würde sagen für [mm]n=0 \Rightarrow n\IZ=\left\{ 0 \right\}[/mm]. Für alle [mm]n>0[/mm] ist [mm]n\IZ[/mm] die Menge aller ganzen Zahlen, die durch n teilbar sind.
> Führen wir den Beweis doch erstmal für n=3, zeigen also
> , daß [mm]3\IZ[/mm] eine Untergrupe der ganzen Zahlen ist.
>
> [mm]3\IZ=\{3z|z\in \IZ\}=\{ ...\}.[/mm] Schreib die Menge hier ruhig
> mal in aufzählender Form auf.
[mm]3\IZ=\left\{...-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9... \right\}[/mm]
> >
> > ZZ: [mm]n\IZ[/mm] ist eine Untergruppe:
>
> Hierfür ist zu zeigen:
>
> i) für [mm]a\in 3\IZ[/mm] und [mm]b\in 3\IZ[/mm] ist [mm]a+b\in 3\IZ.[/mm]
>
> Wenn [mm]a\in 3\IZ,[/mm] wie sieht a dann aus? a= ???
> Wenn [mm]b\in 3\IZ,[/mm] wie sieht b dann aus? b= ???
[mm]a=3z_1 \wedge b=3z_2[/mm]
> Dann ist a+b= ... (Schreibe das Ergebnis der Addition so,
> daß man sieht, daß die Summe in [mm]3\IZ[/mm] isz.)
[mm]3z_1+3z_2=3\left( z_1+z_2 \right) \Rightarrow 3\left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ [/mm]
> ii) Sei [mm]a\in 3\IZ.[/mm]
> Was ist das Inverse von a bzgl der
> Addition in [mm]\IZ?[/mm]
[mm]a=3z_1 \gdw -a=-3z_1 [/mm]
> Warum in es auch in [mm]3\IZ?[/mm]
[mm]-a=-3z_1 \in n\IZ[/mm],weil alle negativen Zahlen Teilmenge von [mm]\IZ[/mm] sind folglich auch [mm]n\IZ[/mm], da [mm]z \in \IZ[/mm].
> Wenn Dir das gelungen ist, führe den Beweis statt für n=3
> allgemein für n.
Das heißt wohl, dass ich eine Induktion durchführen muss, richtig? ;)
> Die andere Richtung stellen wir vorerst zurück.
>
> Gruß v. Angela
>
Danke für deine Hilfe.
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
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> > > 1)
> > >
> > > Zeigen Sie: Für [mm]n \in \IN_0[/mm] ist [mm]n\IZ=\left\{ nz:z \in \IZ \right\}[/mm]
> > > eine Untergruppe von [mm]\left( \IZ, + \right)[/mm]. Ist umgekehrt [mm]U[/mm]
> > > eine Untergruppe von [mm]\IZ[/mm], so gilt [mm]U=n \IZ[/mm] für ein
> > > passendes [mm]n \in \IN_0[/mm].
> > > Hallo Mathefreunde,
> > >
> > > ich wollte wissen, ob mein Ansatz richtig ist. Laut
> > > Vorlesung gelten folgende Axiome für Untergruppen:[mm]G' \subset G[/mm]
> > > mit [mm]a,b \in G'[/mm] dann gilt: [mm]a \* b \in G'[/mm] und [mm]a^{-1} \in G'[/mm].
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, das ist richtig, das, was Du anschließend schreibst,
> > aber nicht mehr.
> >
> > Ist Dir eigentlich klar, welche Elemente in [mm]n\IZ[/mm] sind?
>
> Ich würde sagen für [mm]n=0 \Rightarrow n\IZ=\left\{ 0 \right\}[/mm].
> Für alle [mm]n>0[/mm] ist [mm]n\IZ[/mm] die Menge aller ganzen Zahlen, die
> durch n teilbar sind.
Ja
>
> > Führen wir den Beweis doch erstmal für n=3, zeigen also
> > , daß [mm]3\IZ[/mm] eine Untergrupe der ganzen Zahlen ist.
> >
> > [mm]3\IZ=\{3z|z\in \IZ\}=\{ ...\}.[/mm] Schreib die Menge hier ruhig
> > mal in aufzählender Form auf.
>
> [mm]3\IZ=\left\{...-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9... \right\}[/mm]
Ja
>
> > >
> > > ZZ: [mm]n\IZ[/mm] ist eine Untergruppe:
> >
> > Hierfür ist zu zeigen:
> >
> > i) für [mm]a\in 3\IZ[/mm] und [mm]b\in 3\IZ[/mm] ist [mm]a+b\in 3\IZ.[/mm]
> >
> > Wenn [mm]a\in 3\IZ,[/mm] wie sieht a dann aus? a= ???
> > Wenn [mm]b\in 3\IZ,[/mm] wie sieht b dann aus? b= ???
>
> [mm]a=3z_1 \wedge b=3z_2[/mm]
>
> > Dann ist a+b= ... (Schreibe das Ergebnis der Addition so,
> > daß man sieht, daß die Summe in [mm]3\IZ[/mm] isz.)
>
> [mm]3z_1+3z_2=3\left( z_1+z_2 \right) \Rightarrow 3\left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ[/mm]
>
>
> > ii) Sei [mm]a\in 3\IZ.[/mm]
> > Was ist das Inverse von a bzgl der
> > Addition in [mm]\IZ?[/mm]
>
> [mm]a=3z_1 \gdw -a=-3z_1[/mm]
>
> > Warum in es auch in [mm]3\IZ?[/mm]
>
> [mm]-a=-3z_1 \in n\IZ[/mm],weil alle negativen Zahlen Teilmenge von
> [mm]\IZ[/mm] sind folglich auch [mm]n\IZ[/mm], da [mm]z \in \IZ[/mm].
Ja
>
> > Wenn Dir das gelungen ist, führe den Beweis statt für n=3
> > allgemein für n.
>
> Das heißt wohl, dass ich eine Induktion durchführen muss,
> richtig? ;)
Nein. Für festes n [mm] \in \IN_0 [/mm] ist: [mm] nz_1+nz_2 [/mm] = [mm] n(z_1+z_2)
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> > Die andere Richtung stellen wir vorerst zurück.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> Danke für deine Hilfe.
> >
> >
> >
> >
> >
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Hallo Fred,
danke für deine Teilnahme. Ich denke, ich weiß was du meinst.
[mm]nz_1+nz_2=n\left( z_1+z_2 \right) \Rightarrow n\left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ[/mm]. Desweiteren gilt: [mm]-nz_1 \in n\IZ[/mm]. Damit hätte ich alle Untergruppenaxiome berücksichtigt. Ist das, was ich geschrieben habe formell ausreichend?
Woran machst du fest, dass n fest ist? Normalerweise sind "feste" Elemente doch immer mit einer 0 als Indexzahl versehen.
Schönen Gruß
Christoph
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> Hallo Fred,
>
> danke für deine Teilnahme. Ich denke, ich weiß was du
> meinst.
> [mm]nz_1+nz_2=n\left( z_1+z_2 \right) \Rightarrow n\left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ[/mm].
> Desweiteren gilt: [mm]-nz_1 \in n\IZ[/mm]. Damit hätte ich alle
> Untergruppenaxiome berücksichtigt. Ist das, was ich
> geschrieben habe formell ausreichend?
Hallo,
ich weiß jetzt nicht, von welchem des von Dir Geschriebenen Du redest.
Das da oben ist nicht ausreichend.
Da muß stehen:
1. Seien [mm] a,b\in n\IZ. [/mm] Dann gibt es [mm] z_1, z_2 [/mm] usw.
und es ist a+b= ... [mm] \in n\IZ, [/mm] denn ...
Fürs Inverse entsprechend.
>
> Woran machst du fest, dass n fest ist?
An der Def. von [mm] n\IZ:=\{nz| z\in \IZ\}.
[/mm]
Da steht nichts davon, daß das n variiert.
n ist beliebig, aber fest, und die Menge enthält die ganzzahligen Vielfachen von n.
> Normalerweise sind
> "feste" Elemente doch immer mit einer 0 als Indexzahl
> versehen.
Namen sind Schall und Rauch.
Ich könnte auch definieren:
für [mm] x\in \IN [/mm] ist [mm] x\IZ:=\{xz|z\in \IZ\}, [/mm]
oder
für [mm] \alpha_{17}\in \IN [/mm] ist [mm] \alpha_{17}\IZ:=\{\alpha_{17} z|z\in \IZ\}.
[/mm]
Das ändert nichts, ist nur nicht so suggestiv .
Gruß v. Angela
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> > Hallo Fred,
> >
> > danke für deine Teilnahme. Ich denke, ich weiß was du
> > meinst.
> > [mm]nz_1+nz_2=n\left( z_1+z_2 \right) \Rightarrow n\left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ[/mm].
> > Desweiteren gilt: [mm]-nz_1 \in n\IZ[/mm]. Damit hätte ich alle
> > Untergruppenaxiome berücksichtigt. Ist das, was ich
> > geschrieben habe formell ausreichend?
>
> Hallo,
>
> ich weiß jetzt nicht, von welchem des von Dir
> Geschriebenen Du redest.
> Das da oben ist nicht ausreichend.
>
>
> Da muß stehen:
>
> 1. Seien [mm]a,b\in n\IZ.[/mm] Dann gibt es [mm]z_1, z_2[/mm] usw.
> und es ist a+b= ... [mm]\in n\IZ,[/mm] denn ...
[mm]a+b=nz_1+nz_2=n \left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ[/mm], da [mm]n \in \IN_0[/mm] und [mm]\left( z_1+z_2 \right) \in \IZ[/mm]
> Fürs Inverse entsprechend.
[mm]a^{-1}=-nz_1=n\left( -z_1 \right)[/mm], also ist [mm]n \in \IN_0[/mm] und [mm]-z \in \IZ[/mm] [mm]n\IZ[/mm] ist somit eine Untergruppe von [mm]\left( \IZ,+ \right)[/mm]
> >
> > Woran machst du fest, dass n fest ist?
>
> An der Def. von [mm]n\IZ:=\{nz| z\in \IZ\}.[/mm]
> Da steht nichts
> davon, daß das n variiert.
> n ist beliebig, aber fest, und die Menge enthält die
> ganzzahligen Vielfachen von n.
>
>
> > Normalerweise sind
> > "feste" Elemente doch immer mit einer 0 als Indexzahl
> > versehen.
>
> Namen sind Schall und Rauch.
> Ich könnte auch definieren:
> für [mm]x\in \IN[/mm] ist [mm]x\IZ:=\{xz|z\in \IZ\},[/mm]
> oder
> für [mm]\alpha_{17}\in \IN[/mm] ist [mm]\alpha_{17}\IZ:=\{\alpha_{17} z|z\in \IZ\}.[/mm]
>
> Das ändert nichts, ist nur nicht so suggestiv .
>
> Gruß v. Angela
>
Zum zweiten Teil der Aufgabe soll [mm]U=n\IZ[/mm] sein. Wenn ich [mm]U:= \left\{ a_i \in U : a_i=nz_i \in n\IZ: i=1,...,n \right\}[/mm] wähle, dann [mm]\Rightarrow n\IZ=U[/mm]. Also für jedes [mm]n \in \IN_0 [/mm] mit [mm]nz_i \in n\IZ [/mm] gibt es ein [mm]a_i \in U [/mm].
Ist das so korrekt?
Schönen Gruß
Christoph
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Hallo,
> > 1. Seien [mm]a,b\in n\IZ.[/mm] Dann gibt es [mm]z_1, z_2[/mm]
[mm] \red{\in \IZ}
[/mm]
> > und es ist a+b= ... [mm]\in n\IZ,[/mm] denn ...
>
> [mm]a+b=nz_1+nz_2=n \left( z_1+z_2 \right) \in n\IZ[/mm], da [mm] \quad[/mm] [mm]n \in \IN_0[/mm]
> und [mm]\left( z_1+z_2 \right) \in \IZ[/mm]
>
> [mm]a^{-1}=-nz_1=n\left( -z_1 \right)[/mm], also ist [mm]n \in \IN_0[/mm] und
Es ist
> [mm]-z \in \IZ[/mm],
also ist [mm] $a^{-1}=-nz_1=n\left( -z_1 \right)$\inn\IZ.
[/mm]
> [mm]n\IZ[/mm] ist somit eine Untergruppe von [mm]\left( \IZ,+ \right)[/mm]
>
> Zum zweiten Teil der Aufgabe soll [mm]U=n\IZ[/mm] sein. Wenn ich
> [mm]U:= \left\{ a_i \in U : a_i=nz_i \in n\IZ: i=1,...,n \right\}[/mm]
> wähle, dann [mm]\Rightarrow n\IZ=U[/mm]. Also für jedes [mm]n \in \IN_0[/mm]
> mit [mm]nz_i \in n\IZ[/mm] gibt es ein [mm]a_i \in U [/mm].
>
> Ist das so korrekt?
Nein. Du hast nicht verstanden, was gezeigt werden soll.
Nämlich dies:
wenn wir irgendeine Untergruppe U von [mm] \IZ [/mm] haben, dann kann es nicht anders sein, als daß diese Untergruppe gerade [mm] U=n\IZ [/mm] ist für ein [mm] n\in \IN. [/mm] (Es gibt keine Untergruppen, die von anderer Bauart sind als [mm] n\IZ.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
also so wie du die Aufgabe mir wiedergegeben hast, habe ich sie auch verstanden. Nur ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgae herangehen soll. Kannst du mir bitte einen Tipp geben?
Das wäre sehr nett
Liebe Grüße
Christoph
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> Nur ich weiß nicht, wie ich an diese
> Aufgae herangehen soll. Kannst du mir bitte einen Tipp
> geben?
Hallo,
mir ist das, was Du hier bringst, zu wenig Lösungsansatz.
Was hast Du denn schon versucht?
Mal ein kleines Experiment:
Nehmen wir mal eine Untergruppe, die nicht nur aus der 0 besteht.
Nehmen wir jetz mal das kleinste pos. Element. (warum ist ein pos. Element in der Untergruppe?)
Angenommen, dieses kleinste Element wäre die 3.
Ist Dir klar, daß alle vielfachen davon auch in U sind?
Jetzt nimm mal an, daß ein Element in U ist, welches kein Vielfaches von 3 ist.
Nun suche einen Widerspruch...
Gruß v. Angela
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> > Nur ich weiß nicht, wie ich an diese
> > Aufgae herangehen soll. Kannst du mir bitte einen Tipp
> > geben?
>
> Hallo,
>
> mir ist das, was Du hier bringst, zu wenig Lösungsansatz.
> Was hast Du denn schon versucht?
> Mal ein kleines Experiment:
>
> Nehmen wir mal eine Untergruppe, die nicht nur aus der 0
> besteht.
> Nehmen wir jetz mal das kleinste pos. Element. (warum ist
> ein pos. Element in der Untergruppe?)
Weil die Untergruppe Teilmenge der Gruppe der ganzen Zahlen, bezüglich der Addition, ist.
> Angenommen, dieses kleinste Element wäre die 3.
> Ist Dir klar, daß alle vielfachen davon auch in U sind?
Ja, ansonsten wäre [mm]U \not= 3\IZ[/mm]. Aber es soll [mm]U = 3\IZ[/mm] gelten nach deinem Beispiel. Außerdem soll dies auch gezeigt werden.
> Jetzt nimm mal an, daß ein Element in U ist, welches kein
> Vielfaches von 3 ist.
> Nun suche einen Widerspruch...
> Gruß v. Angela
>
Ich glaube zu wissen, was du meinst. Ich soll für das kleinste Element, aus den natürlichen Zahlen, zeigen, dass es auch in U ist und dann für alle natürlichen Zahlen.
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> > Nehmen wir mal eine Untergruppe, die nicht nur aus der 0
> > besteht.
> > Nehmen wir jetz mal das kleinste pos. Element. (warum
> ist
> > ein pos. Element in der Untergruppe?)
>
> Weil die Untergruppe Teilmenge der Gruppe der ganzen
> Zahlen, bezüglich der Addition, ist.
Hallo,
das überzeugt mich noch nicht.
Warum ist eine Menge, die nur ganze zahle [mm] \le [/mm] 0 enthält, keine Gruppe?
>
> > Angenommen, dieses kleinste Element wäre die 3.
> > Ist Dir klar, daß alle vielfachen davon auch in U
> sind?
>
> Ja, ansonsten wäre [mm]U \not= 3\IZ[/mm].
Das ist kein gutes Argument. Wir wollen doch erst zeigen, daß U von dieser Gestalt ist.
Sei also [mm] 3\in [/mm] U. Warum sind 6,9,12 usw. auch drin?
Und 0,-3, -6, -9?
>Aber es soll [mm]U = 3\IZ[/mm]
> gelten nach deinem Beispiel.
Nein, nicht von vornherein. Daß es darauf hinausläuft, wollen wir erst zeigen.
> Außerdem soll dies auch
> gezeigt werden.
>
> > Jetzt nimm mal an, daß ein Element in U ist, welches kein
> > Vielfaches von 3 ist.
>
> > Nun suche einen Widerspruch...
> Ich glaube zu wissen, was du meinst. Ich soll für das
> kleinste Element, aus den natürlichen Zahlen, zeigen, dass
> es auch in U ist und dann für alle natürlichen Zahlen.
Nein.
Wir wollen Klarheit über die Bauart der Untergruppen von [mm] \IZ [/mm] gewinnen.
Natülich ist [mm] U_0:=\{0\} [/mm] eine Untergruppe.
Nun nehmen wir an, daß wir eine von [mm] U_0 [/mm] verschiedene Untergruppe haben.
Diese enthält ein von 0 verschiedenes Element.
Sie enthält ein von 0 verschiedenenes positives Element.
Ich nehme jetzt zu Übungszwecken an, daß das kleinste pos. Element in U die 3 ist.
Du sollst jetzt sagen, warum die Vielfachen von 3 auch in U sind. Das ergibt sich aus den Untergruppenkriterien.
Jetzt empfahl ich Dir, mal anzunehmen, daß eine Zahl in U ist, die kein Vielfaches von 3 ist, etwa die 17.
Was hat das für Konseqenzen? Welche Elemente sind in dieser Untergruppe U?
Du erhältst einen Widerspruch.
Wnn Du diesen begriffen hast, wirst Du den Beweis allgemein führen können.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe die Aufgabe nun gelöst mithilfe meiner Kommilitonen.
Schönen Gruß
Christoph
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