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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 10.04.2011 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Für eine Primzahl p sei die Menge M:= {n [mm] \in\IZ [/mm] | p teilt n} [mm] \subset \IZ [/mm] mit den Verknüpfungen + und * aus [mm] \IZ [/mm] gegeben.
Zeigen Sie: (M,+) ist eine abelsche Gruppe, aber (M,+,*) ist kein Ring. |
Also ich habe leider Anfangsprobleme,
man muss ja zunächst zeigen, dass 8M,+) eine abelsche Gruppe ist:
für eine abelsche Gruppe gilt:
das Kommutativgesetz muss gelten und
das Assoziativgesetz
und es muss ein neutrales und ein Einselement geben
ich verstehe nur nicht ganz wie ich jetzt p teilt n benutzen soll.., kann mir jemand helfen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo julmarie,
> Für eine Primzahl p sei die Menge M:= {n [mm]\in\IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| p teilt
> n} [mm]\subset \IZ[/mm] mit den Verknüpfungen + und * aus [mm]\IZ[/mm]
> gegeben.
> Zeigen Sie: (M,+) ist eine abelsche Gruppe, aber (M,+,*)
> ist kein Ring.
> Also ich habe leider Anfangsprobleme,
>
> man muss ja zunächst zeigen, dass 8M,+) eine abelsche
> Gruppe ist:
>
> für eine abelsche Gruppe gilt:
> das Kommutativgesetz muss gelten und
> das Assoziativgesetz
> und es muss ein neutrales und ein Einselement geben
Ja, und die Abgeschlossenheit!
Mit [mm]n_1,n_2\in M[/mm] sollte auch [mm]n_1+n_2\in M[/mm] sein.
Wenn du [mm]n_1,n_2\in M[/mm] hernimmst, so gilt [mm]p\mid n_1[/mm] und [mm]p\mid n_2[/mm]
Zu prüfen ist, ob [mm]n_1+n_2\in M[/mm] ist, ob also [mm]p\mid (n_1+n_2)[/mm] gilt.
Tut es das?
Dann weiter:
Was könnte neutral bzgl. "+" sein?
Das müsste ein Element [mm]n\in M[/mm] sein (also [mm]p\mid n[/mm]), so dass für alle Elemente [mm]z\in M[/mm] gilt: [mm]n+z=z+n=z[/mm]
Das sollte schnell gefunden sein, damit steht auch das Inverse (bzgl. "+") zu einem Element [mm]z\in M[/mm]
Und Assoziativität und Kommutativität vererben ich auch vom "+" in [mm]\IZ[/mm]
Du kannst einfacher zeigen, dass [mm](M,+)[/mm] eine Untergruppe von [mm](\IZ,+)[/mm] ist ...
Da ist weniger zu zeigen ...
>
> ich verstehe nur nicht ganz wie ich jetzt p teilt n
> benutzen soll..,
Das ist "nur" eine Eigenschaft, die Elemente in [mm]M[/mm] charakterisiert ...
> kann mir jemand helfen?
Gruß
schachuzipus
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