Unstetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 08.03.2009 | | Autor: | Hanz |
Guten Morgen!
Ich sitze im Moment an folgender Aufgabe:
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{falls} x \in \IQ \mbox{ } \\ 1+x, & \mbox{falls } x \notin \IQ \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Zeige, dass f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist und sonst unstetig ist.
Dann zeige ich erstmal die Stetigkeit:
Mit [mm] x_0 [/mm] wird wohl [mm] x_0=0 [/mm] gemeint sein.
Ich definiere [mm] g(x)=e^x [/mm] und h(x)=1+x
Wenn [mm] g(x_0)=h(x_0) [/mm] dann gilt: [mm] g(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0}h(x)
[/mm]
Also: [mm] g(0)=e^0 [/mm] = 1 und h(0)=1+0=1
[mm] \Rightarrow e^0 \overbrace{=}^{!} \limes_{x\rightarrow 0}1+x
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist in [mm] x_0=0 [/mm] stetig!
Nun kommt der unangenehme Teil: Unstetigkeit zeigen :-s
Ich meine mich eriennern zu können, dass man hier irgendwie Folgen finden musste die nicht gegen 1 konvergieren...?
Aber ich weiss gar nicht genau wie ich hier ansetzen muss.
Danke schonmal,
Hanz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 08.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) hast du die Def.gebiete von x fuer dein h und g nicht benutzt.
in b) musst du benutzen, dass es in jeder umgebung eines rat. Punktes nicht rationale gibt, und dass man jede nicht rationale zahl als GW einer rationalen Folge bekommt.
Dann nimm einmal ein ratinales [mm] x_0 [/mm] und zeig, dass die fkt da unstetig ist, dann ein nicht rationales.
Gruss leduart
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