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| Aufgabe | Die Funktion [mm] y=f(x)=\bruch{x^2-1}{x-1} [/mm] ist an der Stelle unstetig. Zwar ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} \bruch{x^2-1}{x-1}=2 [/mm] vorhanden, aber f(1) existiert nicht.
Die Funktion ist an der Stelle x=2 defeniert:f(2)=2
Es gilt aber:
[mm] \limes_{n\rightarrow\2+0}= \limes_{n\rightarrow\+0}[2+h]=2,
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\2-0}= \limes_{n\rightarrow\+0}[2-h]=1
[/mm]
Daraus folgt wohl
[mm] \limes_{n\rightarrow\2}[x] [/mm] ist nicht vorhanden. Daraus soll folgen die Funktion ist bei x02 unstetig. |
Wieso soll f(2)=2 sein?
Und wieso die Funktion dort unstetig. Die unprofessionelle Aussage ist doch dass die Funktion an der Stelle nicht gezeichnet werden kann -->unstetig. Bei f(2) kommt bei mir aber 3 heraus und kann somit gezeichnet werden. Es steht jedoch als Beispiel in einem Buch
Gruß niesel
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Hallo,
wieso sprichst du andauernd von der Stelle x=2. Die interessante Stelle ist x=1, denn für x=1 wird der Nenner null. Mann kann aber die binomische Formel anwenden und dann folgt:
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}-1}{x-1}=\bruch{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
[/mm]
Das ist eine lineare Funktion und die ist überall stetig.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Niesel,
ich glaube eher, du sprichst von zwei verschiedenen Funktionen $f$:
Die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{x^2-1}{x-1}$ [/mm] ist an der Stelle $x=1$ unstetig.
Zwar ist [mm] $\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} [/mm] x+1=2$ vorhanden, aber $f(1)$ existiert nicht.
(Ich habe hier mal ein wenig editiert, weil bei dir unter dem Limes immer $n$ stand...)
Das ist also ein Beispiel für eine Funktion, deren Grenzwert an der Stelle $x=1$ zwar existiert, die aber dort keinen Funktionswert hat.
Jetzt betrachten wir eine andere Funktion, nämlich die Gauss-Klammer $f(x)=[x]$. Diese Funktion schneidet jeweils die Nachkommastellen einer Zahl ab, rundet also ab. Der Graph ist eine sogenannte Treppenfunktion.
Diese Funktion ist an der Stelle $x=2$ definiert: $f(2)=2$ (hier gibt's ja nichts abzurunden!). Es gilt aber: [mm] $\limes_{x\rightarrow 2+0}[x]=\limes_{h\rightarrow +0}[2+h]=2$, [/mm] denn wir nähern uns der $2$ ja von rechts. Kommen wir jedoch von links, so [mm] gilt$\limes_{x\rightarrow 2-0}[x]= \limes_{h\rightarrow +0}[2-h]=1$, [/mm] weil ja jetzt auf $1$ abgerundet wird.
Daraus folgt: [mm] $\limes_{x\rightarrow 2}[x]$ [/mm] existiert nicht.
Das ist also ein Beispiel für eine Funktion, deren Grenzwert an der Stelle $x=2$ nicht existiert, die aber trotzdem dort einen Funktionswert hat.
Ich hoffe, ich habe das richtig interpretiert. Frag' bitte nochmal nach, falls dir etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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