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| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler unitärer VR, U ein Unterraum von V, f: V [mm] \rightarrow [/mm] V . Beweisen Sie:
f(U(orthogonal)) = (f(U))(orthogonal) |
U(orthogonal) soll die Menge aller zu U orthogonaler Vektoren sein; f(U)(orthogonal) ist die Menge aller zu f(U), d.h. zur Bildmenge von U , orthogonaler Vektoren.
Mein Problem ist, dass die Aufgabenstellung - die sich bezüglich der Abbildung f in Grenzen hält - ohne weitere Angaben falsch ist. Für eine beliebige Abbildung f gilt die Aussage nicht. Auch wenn f eine lineare Abbildung ohne weitere Spezifizierung ist, ist die Aussage falsch .
Meine Frage ist, ob f deshalb eine unitäre Abbildung sein muss, oder ob ich irgendeinen Gedankenfehler gemacht habe.
Es geht mir hierbei nicht um die Lösung, sondern nur darum, ob die Fragestellung in dieser Form bzw. im Falle einer linearen Abbildung lösbar ist bzw. Sinn macht und falls nicht ob die Aussage dann bei einer unitären Abbildung Sinn macht.
Im Voraus vielen Dank für die Antworten und die Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf einer anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein endlich-dimensionaler unitärer VR, U ein
> Unterraum von V, f: V [mm]\rightarrow[/mm] V . Beweisen Sie:
> f(U(orthogonal)) = (f(U))(orthogonal)
> U(orthogonal) soll die Menge aller zu U orthogonaler
> Vektoren sein; f(U)(orthogonal) ist die Menge aller zu
> f(U), d.h. zur Bildmenge von U , orthogonaler Vektoren.
>
> Mein Problem ist, dass die Aufgabenstellung - die sich
> bezüglich der Abbildung f in Grenzen hält - ohne weitere
> Angaben falsch ist. Für eine beliebige Abbildung f gilt die
> Aussage nicht. Auch wenn f eine lineare Abbildung ohne
> weitere Spezifizierung ist, ist die Aussage falsch .
> Meine Frage ist, ob f deshalb eine unitäre Abbildung sein
> muss, oder ob ich irgendeinen Gedankenfehler gemacht habe.
Ja, die Aufgabenstellung ist so falsch, es sollte wohl heissen, dass $f$ unitaer sein muss. Ansonsten gilt die Aussage im Allgemeinen nicht.
Die Aussage gilt auch, wenn $f$ das Skalarprodukt nur bis auf einen (nicht notwendigerweise konstanten) Faktor erhaelt, bzw. fuer Abbildungen die die Orthogonalitaetsrelation erhalten, also $u, v [mm] \in [/mm] V$ genau dann orthogonal, wenn $f(u), f(v)$ orthogonal sind.
> Es geht mir hierbei nicht um die Lösung, sondern nur darum,
> ob die Fragestellung in dieser Form bzw. im Falle einer
> linearen Abbildung lösbar ist bzw. Sinn macht und falls
> nicht ob die Aussage dann bei einer unitären Abbildung Sinn
> macht.
Ich vermute, das man zeigen kann, dass diese Aussage fuer ein festes $f$ und alle UVRe $U$ genau dann gilt, wenn $f$ Orthogonalitaet erhaelt (im obigen Sinne). Und ich vermute weiterhin, das solche linearen Abbildungen das Skalarprodukt bereits bis auf ein konstantes Vielfaches [mm] $\neq [/mm] 0$ erhalten.
LG Felix
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