Ungleichungsaufgabe < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 26.02.2007 | | Autor: | dicentra |
zu (a) [mm]\bruch{x^2+5}{x+1}>3[/mm] hab ich nochmal ne frage. ich verstehe nicht was in meinem heft steht.
Fall 1: x+1 > 0
[mm]\bruch{x^2+5}{x+1} > 3[/mm]
[mm]\gdw x^2+5 > 3x+3[/mm] OK
[mm]\gdw x^2-3x+(\bruch{3}{2})^2 > -2+(\bruch{3}{2})^2[/mm] OK
[mm]\gdw(x-\bruch{3}{2})^2 > \bruch{1}{4}[/mm] aber wie kommt er hier drauf? und von da direkt auf die lösungsmenge [mm]\IL=(-1, 1) \cup (2,\infty)[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mo 26.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
> zu (a) [mm]\bruch{x^2+5}{x+1}>3[/mm] hab ich nochmal ne frage. ich
> verstehe nicht was in meinem heft steht.
>
> Fall 1: x+1 > 0
>
> [mm]\bruch{x^2+5}{x+1} > 3[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2+5 > 3x+3[/mm] OK
>
> [mm]\gdw x^2-3x+(\bruch{3}{2})^2 > -2+(\bruch{3}{2})^2[/mm] OK
Zwischenschritt:
[mm] x^2-3x>-2
[/mm]
Und jetzt die quadratische Ergaenzung: die benutzt man eigentlich auch, wenn man die pq-formel benutzt, (nur hat man das meistens vergessen, weil man sie auswendig lernt)
Ziel: links soll ein Quadrat [mm] (x+b)^2 [/mm] stehen. also muss da stehen [mm] x^2+2bx+b^2
[/mm]
also hier b=-3/2, die [mm] (-3/2)^2 [/mm] werden ergaenzt, d.h. auf beiden Seiten addiert.
und dann rueckwarts bin. formel [mm] x^2-2*3/2X=(3/2)^2=(x-3/2)^2
[/mm]
> [mm]\gdw(x-\bruch{3}{2})^2 > \bruch{1}{4}[/mm] aber wie kommt er
> hier drauf?
Jetzt klar?
>und von da direkt auf die lösungsmenge [mm]\IL=(-1, 1) \cup (2,\infty)[/mm]
Einfach Wurzel ziehen, und dann die 3/2 nach rechts, also noch 1 bis 2 Zwischenschritte.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 26.02.2007 | | Autor: | dicentra |
hallo leduart
mmh, soweit hab ich das verstanden, danke. und wenn ich das ausrechne komme ich darauf, dass x > 2 sein muss. von dem anderen lösungsweg her wissen wir, dass durch fall zwei (x+1<0) keine lösungsmenge zu erwarten ist. also frage ich mich nun wie er auf die (-1,1) kommen will.
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Hallo,
es handelt sich bei der Angabe nicht um die Zahl-1,1 sondern um das Intervall von -1 bis 1, wobei die Zahlen -1 und 1 nicht zur Lösungsmenge gehören, bei -1 hast du die Division durch Null, bei 1 hast du die Gleichheit, ebenso gehört 2 nicht zur Lösungsmenge, ergibt wieder die Gleichheit,
[mm] \IL=(-1; [/mm] 1) [mm] \vee [/mm] (2; [mm] \infty)
[/mm]
Steffi
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Hi, dicentra,
> mmh, soweit hab ich das verstanden, danke. und wenn ich das
> ausrechne komme ich darauf, dass x > 2 sein muss. von dem
> anderen lösungsweg her wissen wir, dass durch fall zwei
> (x+1<0) keine lösungsmenge zu erwarten ist. also frage ich
> mich nun wie er auf die (-1,1) kommen will.
Du darfst nicht übersehen, dass beim Wurzelziehen einer Ungleichung mit Betrag gearbeitet werden muss!
Also hier: (x - [mm] \bruch{3}{2})^{2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
<=> |x - [mm] \bruch{3}{2}| [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
<=> x - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2} \quad \vee \quad [/mm] -(x - [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
<=> x > 2 [mm] \quad \vee \quad [/mm] - x > -1
<=> x > 2 [mm] \quad \vee \quad [/mm] x < +1
Nun gilt als Voraussetzung für diesen Fall ja x+1 > 0 oder umgeformt x > -1.
Und alle 3 Bedingungen zusammen ergeben diese Lösungsmenge.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 26.02.2007 | | Autor: | dicentra |
hallo zusammen,
> <=> x > 2 [mm]\quad \vee \quad[/mm] - x > -1
>
> <=> x > 2 [mm]\quad \vee \quad[/mm] x < +1
>
> Nun gilt als Voraussetzung für diesen Fall ja x+1 > 0 oder
> umgeformt x > -1.
>
> Und alle 3 Bedingungen zusammen ergeben diese
> Lösungsmenge.
also das mit der 2 is klar mit dem betrag auch, aber die beiden obigen zeilen kapier ich nicht so recht. auf die -x > -1 komme ich auch und kann ich das dann so interpretieren, dass wenn ich ein -x rauskriege, es auch einen wert für ein positives x gibt? und die beiden ergeben ein intervall der lösungsmenge?
aber wie kommt man auf die 2. zeile? normalerweise würde man ja *(-1) rechnen. wenn man das jetzt hier auch macht, gehe ich dann recht in der annahme, dass, wenn ich eine ungleichung mit *(-1) multipliziere, sich das vorzeichen dreht?
gruß,
dicentra
PS: warum stehen meine 3 ungleichungsaufgaben nicht in einem diskussionsstrang? kann das einer von euch zusammen schieben?
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Hi, dicentra,
> > <=> x > 2 [mm]\quad \vee \quad[/mm] - x > -1
> >
> > <=> x > 2 [mm]\quad \vee \quad[/mm] x < +1
> >
> > Nun gilt als Voraussetzung für diesen Fall ja x+1 > 0 oder
> > umgeformt x > -1.
> >
> > Und alle 3 Bedingungen zusammen ergeben diese
> > Lösungsmenge.
>
> also das mit der 2 is klar mit dem betrag auch, aber die
> beiden obigen zeilen kapier ich nicht so recht. auf die
> -x > -1 komme ich auch und kann ich das dann so interpretieren,
> dass wenn ich ein -x rauskriege, es auch einen wert für ein
> positives x gibt?
Das versteh' ich nun wieder nicht!
Nimm mal für x = 5; dann ist doch klar, dass -x = -5 ist;
oder wie soll ich Deine Frage verstehen?
> und die beiden ergeben ein intervall der
> lösungsmenge?
Welche beiden?
Es ist IMMER nach x gefragt, niemals nach -x, [mm] x^{2} [/mm] oder sonst was.
Jede Gleichung / Ungleichung wird nach x aufgelöst; alles was dazwischen steht, sind nur Zwischenergebisse!
> aber wie kommt man auf die 2. zeile? normalerweise würde
> man ja *(-1) rechnen. wenn man das jetzt hier auch macht,
> gehe ich dann recht in der annahme, dass, wenn ich eine
> ungleichung mit *(-1) multipliziere, sich das vorzeichen
> dreht?
Das VORzeichen UND das UNGLEICHUNGSzeichen:
-x > -1 | *(-1)
+x < +1 oder x < 1
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 26.02.2007 | | Autor: | dicentra |
hey,
> Nimm mal für x = 5; dann ist doch klar, dass -x = -5 ist;
> oder wie soll ich Deine Frage verstehen?
genau is klar.
> > und die beiden ergeben ein intervall der
> > lösungsmenge?
> Welche beiden?
die -1 von -x und die +1 von +x.
> Es ist IMMER nach x gefragt, niemals nach -x, [mm]x^{2}[/mm] oder
> sonst was.
> Jede Gleichung / Ungleichung wird nach x aufgelöst; alles
> was dazwischen steht, sind nur Zwischenergebisse!
wenn jede gleichung nach x aufgelöst wird, dann kommt ja oben x=+1 raus. die lösungsmenge setzt sich aber aus (2,infinity) und (-1,1) zusammen. also zwei intervalle. meine frage ist nun woher weiß ich, dass das zweite intervall durch die -1 eingeschränkt ist und nicht ins negativ unendliche geht?
> > aber wie kommt man auf die 2. zeile? normalerweise würde
> > man ja *(-1) rechnen. wenn man das jetzt hier auch macht,
> > gehe ich dann recht in der annahme, dass, wenn ich eine
> > ungleichung mit *(-1) multipliziere, sich das vorzeichen
> > dreht?
>
> Das VORzeichen UND das UNGLEICHUNGSzeichen:
>
> -x > -1 | *(-1)
>
> +x < +1 oder x < 1
meinte ich ja, habe nur vorzeichen geschrieben meinte aber beide 
gruß,
dicentra
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Hi, dicentra,
> die -1 von -x und die +1 von +x.
Wenn x=1 ist, ist automatisch -x= -1; das ist NUR EINE Lösung!
Wenn eine Gleichung am Ende x = 5 ergibt, ist zwar -x = -5,
aber die -5 ist KEINE LÖSUNG der Anfangsgleichung!
> > Es ist IMMER nach x gefragt, niemals nach -x, [mm]x^{2}[/mm] oder
> > sonst was.
> > Jede Gleichung / Ungleichung wird nach x aufgelöst;
> alles
> > was dazwischen steht, sind nur Zwischenergebisse!
>
> wenn jede gleichung nach x aufgelöst wird, dann kommt ja
> oben x=+1 raus.
Das hast Du falsch verstanden.
Wenn man nach x auflöst, muss nicht immer "x = ..." rauskommen.
Es kann auch z.B. "x < ..." rauskommen oder vielleicht " ... < x < ... ".
Aber niemals ist eine Gleichung /Ungleichung wie z.B.
"-x = -5" oder "-x < 25" oder "-3 > -x > -2" Endergebnis einer solchen Umformung!
die lösungsmenge setzt sich aber aus
> (2,infinity) und (-1,1) zusammen. also zwei intervalle.
> meine frage ist nun woher weiß ich, dass das zweite
> intervall durch die -1 eingeschränkt ist und nicht ins
> negativ unendliche geht?
Das war doch die Einschränkung bzw. Voraussetzung für den 1. Fall!
Der 1. Fall gilt überhaupt nur für x + 1 > 0, also für x > -1.
Du darfst auch über eine längere Rechnung niemals die Voraussetzung vergessen.
Am besten, man markiert sich so etwas mit LEUCHTMARKER!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 26.02.2007 | | Autor: | dicentra |
ahh, die anfangsbedingung. alles klar! merke: merke dir die anfangsbedingung! besser markieren!!
danke und gruß,
dicentra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 26.02.2007 | | Autor: | dicentra |
was ist denn wenn ich das ganze für den fall x+1 < 0 <=> x < -1 betrachte? der fall muss ja auch beachtet werden.
mit der quadratischen ergänzung kommt da
x < 2 ODER x > 1 raus
das kann man dann auch so schreiben:
(x < 2 UND x < -1) ODER (x > 1 UND x < -1) richtig?
demnach wäre doch auch folgende lösungsmenge möglich:
(-infinity, 2) / der zweite teil ist widersprüchlich und fällt weg!
aber die widerspricht natürlich allem aus dem anderen fall. und nu, was ist richtig? oder was ist hier falsch?
PS: warum stehen meine 3 ungleichungsaufgaben nicht in einem diskussionsstrang? kann das einer von euch zusammen schieben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mo 26.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
Viele Fragen bleiben weg, wenn du dir Anfangs die Funktion skizzierst, oder plotten laesst. ich schick sie dir mal, dannsiehst du was warum wie ist. die Gerade ist natuerlich die 3 ueber der die Fkt liegen soll.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 26.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer x+1<0 ist die Ungl. nie erfuellt, Wenn der Nenner neg ist und der Zaehler fuer alle x pos. kann der Bruch nicht pos oder gar >3 sein.
Das haette man als erstes machen koennen.
sieh auch meine Mitteilung
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 28.02.2007 | | Autor: | dicentra |
hi leduart, danke für den hinweis, irgendwie war mir das gar nicht bewußt, dass ich das plotten kann und es mir ansehen kann. bin eben, wie ein bekanter mal in einem anderen zusammenhang sagt, ein mathe-'mutant'.
und zum thema, durch den hinweis wurde mir das nun klar, dass es für x<-1 keine lösungsmenge gibt.
wenn ich mir das jetzt plotte, dann sind da zwei spitzen, das sind polstellen, richtig? die gehen bis ins unendliche und kommen wieder zurück, richtig? bei deinem plot sind sie deshalb gar nicht vorhanden, weil man sie vernachlässigen kann? aber wofür sind die gut? was wollen die mir sagen, wenn ich die sehe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 28.02.2007 | | Autor: | dicentra |
mein hinweis sollte eigentlich ne frage sein.
kann wer das ändern und dies hier löschen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 28.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
Bei der Ungleichungsdiskussion ist die Polstelle uninterressant. sie sagt, dass fuer x gegen -1 von links die funktion gegen [mm] -\infty [/mm] geht, wenn man von rechts kommt gegen [mm] =\infty.
[/mm]
bie x=1 ist der Ausdruck bzw. die funktion nicht definiert.
und fuer die diskussion hier zeigt es nur, dass der Ausdruck fuer x>-1 groesser 3 ist und fuer x<-1 kleiner 3.
Gruss leduart
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