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| Aufgabe | Zeigen sie das für alle reellen Zahlen a und b gilt:
[mm] \ |a-b| \ge ||a|-|b|| [/mm]
Wann gilt Gleichheit? |
Hallo,
bin mir hier nicht so ganz sicher. Wir haben die Dreiecksungleichung in der Vorlesung bereits bewiesen. Kann ich hier auch die obige Ungleichung wie die Dreicksungleichung beweisen, also:
Dreicksungleichung:
[mm] \ |a+b| \le |a|+|b| [/mm]
dann folgt aus dem Satz |a| [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] -b [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b
für die Dreiecksungleichung folgendes:
|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b| [mm] \gdw [/mm] -(|a|+|b|) [mm] \le [/mm] a+b [mm] \le [/mm] |a|+|b|
Dies folgt aber aus:
-|a| [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] |a| und -|b| [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] |b|
[mm] \Rightarrow [/mm] -|a|-|b| [mm] \le [/mm] a+b [mm] \le [/mm] |a|+|b|
für meine Aufgabe habe ich daher als Lösungsansatz:
|a-b| [mm] \ge [/mm] ||a|-|b|| [mm] \gdw [/mm] -(|a|-|b|) [mm] \ge [/mm] |a|-|b| [mm] \ge [/mm] |a|-|b|
Reicht das als Lösung mit Beweis??
zusätzliche Frage: kann ich bei dieser Notation ||a|-|b|| die äußeren Betragsstriche überhaupt weglassen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du kannst die äußeren Betragsstriche nicht einfach weglassen, z.B. wegen des Falles |a|<|b|, da hättest Du auf einmal eine ganz andere Aussage als gegeben zu beweisen, aber eine schwächere: insofern ist die Änderung nicht zulässig.
Vielleicht hilft Dir die Antwort auf die zweite Frage, den Weg für die erste zu finden.
Gleichheit gilt, wenn ab=|ab|
Einfach ist die Lösung in acht Fallunterscheidungen, |a|</>|b|, a</>0, b</>0
also 1. |a|<|b|, a<0, b<0 etc.
...aber es geht sicher geschickter 
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Hallo,
das habe ich verstanden.
Gleichheit gilt in 4 der 8 Fälle, nämlich dann wenn a und b [mm] \ge [/mm] 0 oder a und b [mm] \le [/mm] 0. Die Ungleichung stimmt wenn a [mm] \le [/mm] 0 und b [mm] \ge [/mm] 0 oder umgekehrt. Nur weiß ich nicht ob das mit diesen 8 Fallunterscheidungen als Beweis reicht?
Dürfte ich denn, wenn ich die 8 fallunterscheidungen aufschreibe auch Zahlen für a und b einsetzen, denn ich habe das gerade nur im Kopf gemacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> bin mir hier nicht so ganz sicher. Wir haben die Dreiecksungleichung
> in der Vorlesung bereits bewiesen. Kann ich hier auch die obige
> Ungleichung wie die Dreicksungleichung beweisen, also:
> Dreicksungleichung:
> $ \ |a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b| $
> dann folgt aus dem Satz |a| $ [mm] \le [/mm] $ b $ [mm] \gdw [/mm] $ -b $ [mm] \le [/mm] $ a $ [mm] \le [/mm] $ b
> für die Dreiecksungleichung folgendes:
> |a+b| $ [mm] \le [/mm] $ |a|+|b| $ [mm] \gdw [/mm] $ -(|a|+|b|) $ [mm] \le [/mm] $ a+b $ [mm] \le [/mm] $ |a|+|b|
> Dies folgt aber aus:
> -|a| $ [mm] \le [/mm] $ a $ [mm] \le [/mm] $ |a| und -|b| $ [mm] \le [/mm] $ b $ [mm] \le [/mm] $ |b|
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ -|a|-|b| $ [mm] \le [/mm] $ a+b $ [mm] \le [/mm] $ |a|+|b|
> für meine Aufgabe habe ich daher als Lösungsansatz:
> |a-b| $ [mm] \ge [/mm] $ ||a|-|b|| $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] -(|a|\red{-}|b|) [/mm] $ [mm] \ge [/mm] $ [mm] |a|$\red{-}$|b| [/mm] $ [mm] \ge$ |a|$\red{-}$|b|[red]??? [/mm] Wie kommst Du nun dazu???[/red]
Dort sollte (in Wahrheit) eher sowas wie
(I) |a-b| $ [mm] \ge [/mm] $ ||a|-|b|| $ [mm] \gdw [/mm] $ - |a-b| $ [mm] \blue{\le} [/mm] $ |a|-|b| $ [mm] \blue{\le} [/mm] $ |a-b|
stehen.
> Reicht das als Lösung mit Beweis??
naja, ich sehe eigentlich nicht, wie Du mit Deinen Mitteln nun [mm] $|\;|a|-|b|\;| \le |\;a-b\;|$ [/mm] folgerst. Ich sehe nur, dass man so, wie Du es tust:
$|a+b| [mm] \le |\;|a|+|b|\;|=|a|+|b|$ [/mm] erhält, also Du folgerst aus der Dreiecksungleichung mit Umwegen wieder die Dreiecksungleichung? Oder schreibe es mal anders auf, aber so lese ich das gerade...
Aber:
In der Tat kannst Du Deine Ungleichung mit der Dreiecksungleichung beweisen:
Dazu formuliere ich den Satz, den Du oben erwähnst, nochmal um:
Es gilt für alle [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 0$ und $r [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\;|r| \le \varepsilon\;\;\;\gdw\;\;\;-\varepsilon \le [/mm] r [mm] \le \varepsilon\,.$$
[/mm]
Insbesondere interessiert uns hier nur [mm] '$\Leftarrow$'. [/mm] Mache nun folgendes:
Setze [mm] $\varepsilon:=|a-b| \ge 0\,$ [/mm] und [mm] $r:=|a|-|b|\,.$ [/mm] Nun hast Du zwei Dinge zu zeigen:
1.) $r [mm] \le \varepsilon\,,$ [/mm] also $|a|-|b| [mm] \le |a-b|\;.$
[/mm]
und
2.) [mm] $-\varepsilon \le r\,,$ [/mm] also $-|a-b| [mm] \le |a|-|b|\,.$
[/mm]
(Mit anderen Worten: Wir zeigen jetzt, dass bei (I) die rechte Seite gilt und folgern dann mit [mm] '$\Leftarrow$' [/mm] von (I) die behauptete Ungleichung.)
Tipp zu 1.):
Schreibe $|a|=|(a-b)+b|$ und wende nun die Dreiecksungleichung an.
Tipp zu 2.)
Schreibe $|b|=|(b-a)+a|$, wende nun die Dreiecksungleichung an und beachte danach [mm] $|s|=|-s|\,.$
[/mm]
P.S.:
Zur Gleichheit:
Allgemein gilt ja bei $|u+v| [mm] \le [/mm] |u|+|v|$ für reelle [mm] $\black{u}, [/mm] v$ genau dann der Fall der Gleichheit, wenn $u*v [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Der obige Beweis zeigt mit (I), dass in der Ungleichung linkerhand von (I) genau dann der Fall der Gleichheit auftritt, wenn in 1.) und oder in 2.) der Fall der Gleichheit auftritt.
Bei 1.) bedeutet das aber nichts anderes, als dass $(a-b)*b [mm] \ge [/mm] 0$ und bei 2.) bedeutet das nichts anderes, also dass $(b-a)*a [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Mit anderen Worten:
Ist $a=0$ oder $b=0$, so steht oben Gleichheit. Danach muss man dann halt Fallunterscheidungen machen:
1. Fall: $a > 0$ und $b > 0$...
2. Fall: $a > 0$ und $b < 0$...
3. Fall: $a < 0$ und $b > 0$...
4. Fall: $a < 0$ und $b < 0$...
Gruß,
Marcel
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