Ungleichungen bei LGS lösen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Di 30.11.2004 | | Autor: | chill |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
habe ein problem zum lösen eines unterbestimmten LGS
z.b.: Ax = b
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
(wobei die letzte Spalte der b-Vektor ist)
Wenn ich das LGS lösen möchte, bekomme ich ja keine eindeutige Lösung, sonderen eine Lösungsmenge
-> x3 = 1 - x2
-> x2 = 1 - x3
-> x1 = 2 - 2*x2 - x3
die Lösung die gesucht ist, ist nicht irgendein Punkt (so wie man das ja sonst macht: z.b. wähle x3 = 1) auf der Geraden, sondern eine Lösung, so dass gilt:
x1 > 0
x2 > 0
x3 > 0
also alle Komponeten des Lösungsvektors positiv sind....
Freue mich über euer Hilfe
Vielen Dank
CHiLL
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Hi!
Also ich würde folgendermaßen an die Aufgabe rangehen:
Durch versch. Umformungen von [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1} [/mm] erhält man:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1}.
[/mm]
Daraus liest man ab: [mm] x_{1}-x_{3}=0 [/mm] und [mm] x_{2}+x_{3}=1.
[/mm]
Aus der 1. Gleichung erhält man: [mm] x_{1}=x_{3}.
[/mm]
Nun setze ich [mm] x_{1}=t \Rightarrow x_{3}=t (t\in\IR).
[/mm]
Einsetzen in die 2. Gleichung ergibt: [mm] x_{2}+t=1 \Rightarrow x_{2}=1-t.
[/mm]
Als den gesuchten Vektor x erhält man also [mm] \vec{x}=\pmat{t\\1-t\\t}.
[/mm]
Es gibt also unendlich viele Lsgn.
Man kann also hier für t bel. reelle Zahlen einsetzen & das GS liefert immer eine korrekte Lsg.
VlG
Mario
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mi 01.12.2004 | | Autor: | chill |
Hallo, Danke für deine Antwort.
dein Schritt vereinfacht schonmal das Problem.
Was ich aber bezwecke ist, das ich einen strikt positiven Vektor finden muss,
also das gilt:
x1 > 0
x2 > 0
x3 > 0
muss als Lösung herrauskommen.
Sicherlich ist das in diesem Fall jetzt recht einfach abzulesen.
Schliesslich müssen wir nur 0 < t < 1 setzten,
womit wir dann folgenden Vektor erhalten:
x1 > 0
x2 > 0
x3 > 0
und das ist meine Lösung die ich gesucht habe.
Kennt jemand evtl. den Namen des Themengebiets welches ich hier anspreche?
Es geht um unterdimensionierte LGS, wobei der Kern > 0 gilt.
-> Es gibt keine bestimmte Lösung,
-> sondern eine Lösungsmenge,
wobei als Lösung der Lösungsmenge
ein strikt positiven Vektor erzeugt werden soll
Gruß CHiLL
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Ich denke, dass man sich bei den Methoden zu diophantischen Gleichungen in [mm] \IZ [/mm] ^{+} eventuell einiges abschauen könnte.
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