Ungleichungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Ich soll folgende Ungleichung lösen:
2 [mm] \le [/mm] (1+ [mm] \frac{1}{n})^{n} \le \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \le [/mm] 3
wie löse ich diese mit Hilfe der Argumente:
1) [mm] 2^{-n} \ge [/mm] 0 für n [mm] \in \IN
[/mm]
2)geometrische Summenforme
3)Bernoulli Ungleichung
4) n-k+1 /n [mm] \ge [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
5)Binomische Formel
Hilfe :-(
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Hallo,
> Ich soll folgende Ungleichung lösen:
> 2 [mm]\le[/mm] (1+ [mm]\frac{1}{n})^{n} \le \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \le[/mm]
> 3
>
> wie löse ich diese mit Hilfe der Argumente:
> 1) [mm]2^{-n} \ge[/mm] 0 für n [mm]\in \IN[/mm]
> 2)geometrische
> Summenforme
> 3)Bernoulli Ungleichung
> 4) n-k+1 /n [mm]\ge[/mm] 1 für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> 5)Binomische
> Formel
>
> Hilfe :-(
Böse Welt. Da soll man Ungleichungen lösen und niemand hilft einem...
Im Ernst: 'Ich soll folgende Ungleichung lösen' signalisiert zunächst einmal eine völlig unprofessionelle Arbeitshaltung, was durch die Tatsache, dass du offensichtlich selbst nichts versucht hast außer 'Hilfe :-(' , noch untermauert wird.
Jede der Ungleichungen lässt sich mit einem der aufgezählten Sachverhalte bzw. Konzepte begründen.
So hast du zum Beispiel gleich zu Beginn
[mm] 2\le\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
Da steht auf der rechten Seite ein was? Richtig: ein Binom. Was also könnte man hier ausprobieren?
Die zweite Ungleichheit
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\le\sum_{k=0}^n\bruch{1}{k!}
[/mm]
ist hier sicherlich die anspruchsvollste. Hier kann man die Summe auf der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Um dann die Ungleichheit zu zeigen, benötigt man 4).
Und so muss man jetzt für jede Ungleichheit untersuchen, welche der Sätze 1) bis 5) benötigt werden. Und zwar, indem man jede der Ungleichheiten für sich durch Rechnung nachweist.
Oder hast du ersnthaft gedacht, wir rechnen das hier vor? Für diesen Fall möchte ich dir einen Blick in unsere Forenregeln nahe legen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
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> Jede der Ungleichungen lässt sich mit einem der
> aufgezählten Sachverhalte bzw. Konzepte begründen.
>
> So hast du zum Beispiel gleich zu Beginn
>
> [mm]2\le\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> Da steht auf der rechten Seite ein was? Richtig: ein Binom.
> Was also könnte man hier ausprobieren?
die binomische Gleichung..
reicht es um dies zu beweisen wenn ich wegen [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \ge (1+\bruch{1}{1})^1 [/mm] einfach beweise, dass:
2 [mm] \le (1+\bruch{1}{1})^1 [/mm] (für das kleinste n also n=1)?
>
> Die zweite Ungleichheit
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\le\sum_{k=0}^n\bruch{1}{k!}[/mm]
>
> ist hier sicherlich die anspruchsvollste. Hier kann man die
> Summe auf der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner
> bringen.
okay wenn ich mir dann 4. angucke schließe ich mal, das der gemeinsame Nenner =n ist...aber wie bringe ich eine Summe mit k! im Nenner auf einen gemeinsamen Nenner? Jeder Summand hat im Nenner den 4-fachen Wert wie der davorfolgende Summand im Nenner
und wenn ich für k = 0 einsetzten darf erhalte ich doch 1/0 und das geht doch gar nicht oder?
Um dann die Ungleichheit zu zeigen, benötigt man
> 4).
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Hallo,
> > Jede der Ungleichungen lässt sich mit einem der
> > aufgezählten Sachverhalte bzw. Konzepte begründen.
> >
> > So hast du zum Beispiel gleich zu Beginn
> >
> > [mm]2\le\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
> >
> > Da steht auf der rechten Seite ein was? Richtig: ein Binom.
> > Was also könnte man hier ausprobieren?
>
> die binomische Gleichung..
> reicht es um dies zu beweisen wenn ich wegen
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n \ge (1+\bruch{1}{1})^1[/mm] einfach beweise,
> dass:
> 2 [mm]\le (1+\bruch{1}{1})^1[/mm] (für das kleinste n also n=1)?
>
Möchtest du beweisen, dass 2=2 ist? 
Bu sollst die Binomialformel
[mm] (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\vektor{n\\k}a^{n-k}*b^k
[/mm]
auf den rchten Ausdruck anwenden. Dann sieht amn die Ungleichheit unmittelbar ein!
> >
> > Die zweite Ungleichheit
> >
> > [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\le\sum_{k=0}^n\bruch{1}{k!}[/mm]
> >
> > ist hier sicherlich die anspruchsvollste. Hier kann man die
> > Summe auf der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner
> > bringen.
>
> okay wenn ich mir dann 4. angucke schließe ich mal, das
> der gemeinsame Nenner =n ist...
Das ist eine seltsame Art, mathemathisch zu schlussfolgern. Gewöhne dir das in deinem eigenen Interesse ab, das ist im Nebel gestochert, weiter nichts.
> aber wie bringe ich eine
> Summe mit k! im Nenner auf einen gemeinsamen Nenner?
Das ist die leichteste Übung. Der größte Nenner ist n! und der enthält alle anderen Nenner.
> Jeder
> Summand hat im Nenner den 4-fachen Wert wie der
> davorfolgende Summand im Nenner
>
> und wenn ich für k = 0 einsetzten darf erhalte ich doch
> 1/0 und das geht doch gar nicht oder?
Es ist 0!=1 per Definition.
Ich würde vorschlagen, dass du jetzt mal für jede der Ungleichheiten eine komplette Rechnung ausarbeitest und hier vorstellst. Das muss ja nicht stimmen, aber man hätte eine Grundlage dafür, die Probleme zu diskutieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
zu 2)
Wieso ist n! der größte Nenner? wenn ich für n=3 einsetze erhalte ich doch
1/ 0! + 1/1! + 1/2! + 1/3!
=1 + 1 + 1/2 + 1/6
=8/3
das ist ja was anderes wie 1/3! oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Sa 30.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo Maya
du schreibst ja selbst den grü0ten Nenner mit 3! hin, das ist doch auvh der Hauptnenner, ob man sann kürzen kann und wieder auf einen kleineren kommt ist egal-
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
Hey du 
aber ich kann doch im Falle n=3 also f(n)= 8/3 nicht so kürzen, dass ich 1/3! erhalte ( 1/3! = 1/6!)
oder wie meinst du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest 1/3! und hast gekürzt. niemand hat gesagt dass der endgültige Bruch n! enthält, sondern dass vor dem Addieren dergrößte Bruch n! im nenner hatte.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
klar. der größe Bruch hat n! im Nenner..aber deshalb fasst er doch nicht alle zusammen oder?
wie kann ich diese alle denn auf einen Nenner bringen?
Ich stehe irgendwie am Schlauch :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
der größte Nenner ist der Hauptnenner
Bsp [mm] \bruch{1}{(n-2)!}+\bruch{1}{(n-1)!}+\bruch{1}{n!}=\bruch{(n-1)*n+n+1}{n!}
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
aber wie kann ich dies für die gesamte Summe verallgemeinern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib mal anfang und Ende des Zählers hin, dann siehst du es.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
also der Anfang ist ja immer
[mm] \frag{1}{0!} [/mm] = 1
das erweiter ich zu [mm] \frac{n!}{n!}
[/mm]
also ist der Anfang des Zählers = n!
das Ende des Zählers ist wegen [mm] \frac{1}{n!} [/mm] ja immer =1
aber was bringt mir das bezüglich der Verallgemeinerung?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Haööo
Mit Anfang meinte ich die ersten paar mehr als 2 und die letzten paar
also die ersten 5 und die letzten 4 z.B.
du mußt von alleine etwas mehr ausprobieren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
achso okay:
also die ersten Zähler sind:
24 + 24 + 12 + 4 + 1
und die letzten Zähler:
...(n-3)! + (n-2)! + (n-1)! + n! + 1
also am Anfang geht immer * 4 ; * 3 ,*2 ; * 1
und am Ende immer um eins nach oben. Allerdings ist mir immer noch nicht klar wie ich das verallgemeinern kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf die Nenner?
Bsp 1/2!= (n*(n-1*(n-2)*(n-3)+.....*5*4*3)/n!
wie kommst du da auf 24?
ebenso bei den letzten?
schreib doch mal aud, was du da rechnest.
du kannst aber glaube ich auch mit vollst. Induktion daran gehen und musst nicht alles auf den Hauptnenner bringen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
also wenn ich für n= 2 einsetzte erhallte ich:
[mm] \frac{1}{2!} [/mm] + [mm] \frac{1}{1!}+ \frac{1}{0!}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{2} [/mm] + 1 + 1
stimmt das nicht?
und für n=4 erhalte ich
[mm] \frac{1}{4!} [/mm] + [mm] \frac{1}{3!} [/mm] + [mm] \frac{1}{2!} [/mm] + [mm] \frac{1}{1!} [/mm] + [mm] \frac{1}{0!}
[/mm]
= 1/24 (wegen 4*3*2*1) + 1/6 (wegen 3*2*1) + 1/2 +1 + 1
dahrer kommt die 24
allerdings verstehe ich das mit dem Hauptnenner leider irgendwie gar nicht. ich weiß das du dir Mühe gibst aber irgendwie will das nicht in meinen Kopf..Aber ich muss bei diesem Beweis aufjedenfall das Argument :
(n-k+1)/n [mm] \le [/mm] 1 für alle n,k [mm] \in \IN
[/mm]
also bleibt mir ja eigentlich nichts anderes über als alles auf einen Hauptnenner zu bringen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> (n-k+1)/n [mm]\le[/mm] 1 für alle n,k [mm]\in \IN[/mm]
ich weiss nicht wie du das brauchst, aber
(n-k+1)/n =1-(k-1)/n ist <1 für alle k>1 und =1 für k=1
dazu brauchst du ja fast nix rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
ich soll dies als Argument für den Beweis der Ungleichung:
[mm] (1+(1/n))^{n} \le \summe_{n=0}^{n}\frac{1}{k!}
[/mm]
verwenden
leider habe ich hier gar keinen Ansatz. da ich auch nicht weiß wie ich die rechte Seite vereinfachen soll
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Hallo,
zeige zunächst die Identität
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=1+\sum_{k=1}^n\bruch{(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{k-1}{n})}{k!}
[/mm]
und begründe damit deine Ungleichheit. Man benötigt 4) hier nicht, da muss ich mich entschuldigen. Es reicht die Binomialformel.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
also der binomische Lehrsatz lautet ja:
[mm] (x+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}} x^{n-k}*y^{k}
[/mm]
wenn ich jetzt einsetzte (x=1) [mm] y=\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] (1+\frac{1}{n} )^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}} 1^{n-k}*\frac{1}{n}^{k}
[/mm]
dann kann ich ersetzen: [mm] {{n}\choose{k}} [/mm] = [mm] \frac{n!}{(n-k)!*k!}
[/mm]
also erhalte ich :
[mm] (1+\frac{1}{n} )^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!*k!}*1^{n-k}*\frac{1}{n}^{k}
[/mm]
und wegen [mm] 1^{x}= [/mm] 1 gilt:
[mm] (1+\frac{1}{n} )^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!*k!}*(\frac{1}{n})^{k} [/mm]
aber wie kann ich weiter umformen? so dass ich deinen Bruch erhalte?
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Hallo,
> also der binomische Lehrsatz lautet ja:
> [mm](x+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}} x^{n-k}*y^{k}[/mm]
>
> wenn ich jetzt einsetzte (x=1) [mm]y=\frac{1}{n}[/mm]
> [mm](1+\frac{1}{n} )^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} {{n}\choose{k}} 1^{n-k}*\frac{1}{n}^{k}[/mm]
>
> dann kann ich ersetzen: [mm]{{n}\choose{k}}[/mm] =
> [mm]\frac{n!}{(n-k)!*k!}[/mm]
> also erhalte ich :
>
> [mm](1+\frac{1}{n} )^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!*k!}*1^{n-k}*\frac{1}{n}^{k}[/mm]
> und wegen [mm]1^{x}=[/mm] 1 gilt:
> [mm](1+\frac{1}{n} )^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!*k!}*(\frac{1}{n})^{k}[/mm]
> aber wie kann ich weiter umformen? so dass ich deinen Bruch
> erhalte?
Das ist alles gar nicht so weit weg von dem, was ich meinte. Aber du hast halt meine obige Antwort nicht richtig durchgelesen. Ich riet dir, die folgende Identität zu zeigen:
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=1+\sum_{k=1}^n\bruch{\left(1-\bruch{1}{n}\right)*\left(1-\bruch{2}{n}\right)*...*\left(1-\bruch{n-k+1}{n}\right)}{k!}
[/mm]
Das kann man so herum machen, wie du es aufgezogen hast. Anders herum, also von rechts nach links geht es aber wesentlich einfacher. Bringe die Differenzen im Zähler jeweils auf einen gemeinsamen Nenner, dann hast du es schon fast. Und wenn du die Gleichheit gezeigt hast, solltest du eigentlich selbst sehen, was sie dir bringt (aus welchem Grundraum sind die n?, was folgt daraus für die Zähler der Summanden?). Falls nein, dann melde dich erneut, aber versuche mal, obiges umzusetzen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
>
> [mm]\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=1+\sum_{k=1}^n\bruch{\left(1-\bruch{1}{n}\right)*\left(1-\bruch{2}{n}\right)*...*\left(1-\bruch{n-k+1}{n}\right)}{k!}[/mm]
>
okay also wenn ich die Differenzen erweitere erhalte ich:
[mm] (1+\bruch{1}{n}\)^n=1+\sum_{k=1}^n\bruch{(\frac{n}{n} - \bruch{1}{n}\)*(\frac{n}{n}-\bruch{2}{n})*...*(\frac{n}{n}-\bruch{n-k+1}{n})}{k!}
[/mm]
[mm] =(1+\bruch{1}{n}\)^n=1+\sum_{k=1}^n\bruch{\bruch{n-1}{n})*(\bruch{n-2}{n})*...*(\bruch{k-1}{n})}{k!}
[/mm]
kann man nun noch weiter umformen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du die Identität denn gezeigz?
2. du kannst die Nenner naturlich zu [mm] n^n [/mm] zusammenfassen.
Aber du tust wirklich zu wenig alleine!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
zur Identität:
Die Zähler der Differenzen multipliziert ergeben doch (n-n)! = 1 oder?
und die Nenner der Differenzen ergeben doch [mm] n^{n} [/mm]
und der gesamte Nenner k! = 1 also
kann man die Identität so beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> zur Identität:
> Die Zähler der Differenzen multipliziert ergeben doch
> (n-n)! = 1 oder?
wie kommst du denn darauf, schreib die summe mal für n=3 auf
> und die Nenner der Differenzen ergeben doch [mm]n^{n}[/mm]
das hatte ich geschrieben
> und der gesamte Nenner k! = 1 also
was soll das denn bedeuten K!=1 für k=1 und k=0 sonst nicht.
> kann man die Identität so beweisen?
Nein
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
da der erste Zähler = (n-1) und der letzte (k-1) ist ...wie kann man dies denn verallgemeinern?
ich probiere und probiere und verstehs leider nicht..
das einzige was mir noch einfällt, ist [mm] n^{n} [/mm] in den gesamten Nenner zu schreiben..aber das bringt mich ja auch nicht viel weiter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich probiere und probiere und verstehs leider nicht..
Was hast du denn probiert, in den wenigen Minuten seit ddem letzten post und außerdem noch ner Frage und antwort in deinem anderen thread?
Probieren heißt auch mal rumrechnen n=1, n=2, n=3 n=5 z.B
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maya!
> > So hast du zum Beispiel gleich zu Beginn
> >
> > [mm]2\le\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
> >
> > Da steht auf der rechten Seite ein was? Richtig: ein Binom.
> > Was also könnte man hier ausprobieren?
Es geht aber m.E noch fixer mit der  Bernoulli-Ungleichung.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Maya1905 |
reicht also als Beweis:
wegen Bernoulli Ungleichung [mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] 1 + x * n
gilt: ( 1 + [mm] \frac{1}{n})^{n} \ge [/mm] 1 + [mm] \frac{1}{n} [/mm] * n = 2
und wegen 2 = 2 gilt auch
( 1 + [mm] \frac{1}{n})^{n} \ge [/mm] 2
kann man das so sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 30.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> reicht also als Beweis:
> wegen Bernoulli Ungleichung [mm](1+x)^{n} \ge[/mm] 1 + x * n
> gilt: ( 1 + [mm]\frac{1}{n})^{n} \ge[/mm] 1 + [mm]\frac{1}{n}[/mm] * n = 2
> und wegen 2 = 2 gilt auch
> ( 1 + [mm]\frac{1}{n})^{n} \ge[/mm] 2
> kann man das so sagen?
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:55 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
[mm] 2\le(1+\frac{1}{n})^{n}\le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \le3
[/mm]
One by one:
[mm] 2\le(1+\frac{1}{n})^{n} [/mm] - siehe Antwort von Loddar!
[mm] (1+\frac{1}{n})^{n}\le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} [/mm] - siehe Hinweise von leduart!
[mm] \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} [/mm] - das hatten wir schon hier sehr ähnlich gemacht!
Kommen wir nun zu: [mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \le3
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=-2+\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=-2+2(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{k}})=-2+2(\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{2})^k)
[/mm]
Jetzt benutze die geometrische Summenformel:
[mm] \summe_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] für [mm] x\not=-1 [/mm] und [mm] n\in\IN_0
[/mm]
Dann abschätzen!
Übrigens kannst du auch die Indexverschiebung direkt durchführen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}=\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{1}{2})^k, [/mm] dann weiter mit der geometrischen Summenformel und weiter abschätzen.
DieAcht
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