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| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable und g eine nichtnegative messbare Funktion mit [mm] $E(|g(x)|)<\infty$. [/mm] Zeige:
[mm] $P(g(X)\geqk)\leq\frac{E[g(X)]}{k}$
[/mm]
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Hi!
Also ich hab mir dazu folgendes überlegt.
[mm] $E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_g(X)(x)dx$
[/mm]
[mm] \geq \int_{g^{-1}(k)}^{\infty}g(x)f_g(X)(x)dx$
[/mm]
kann ich da jetzt substituieren oder wie muss man hier weiter vorgehen?
Gruß
Deuterinomium
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Huhu,
erstmal: verwende nächstemal die Vorschaufunktion, dann hättest du gesehen, dass deine Formel so keinen Sinn macht.
Ich vermute mal, du meinst:
> Sei X eine Zufallsvariable und g eine nichtnegative
> messbare Funktion mit [mm]E(|g(x)|)<\infty[/mm]. Zeige:
>
> [mm]P(g(X)\geq k)\leq\frac{E[g(X)]}{k}[/mm]
Zu deinem Ansatz: Wer sagt dir, dass X überhaupt eine Dichte hat, so dass du den EW so berechnen kannst?
Daher ein anderer Ansatz mit folgender Anleitung:
[mm] $\IP[g(x) \geq [/mm] k] = [mm] \integral_{\Omega} 1_{\{g(X) \ge k\}} d\IP [/mm] = [mm] \integral_{\{g(X) \ge k\}} 1\,d\IP$
[/mm]
Naja, nun überleg mal, wie du 1 auf der Menge nach oben abschätzen kannst und wo du überhaupt hinwillst?
MFG,
Gono.
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