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| Aufgabe | | Zeige für a,b Element reelle Zahlen: |
Hallo liebe Gemeinde,
stehe ein wenig auf dem Schlauch und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter;
[mm] |\wurzel{a}-\wurzel{b}| \le \wurzel{|a-b|}
[/mm]
Ich habe nun beide Seiten mal "quadriert" und komme zu folgendem Ausdruck:
[mm] |a-2\wurzel{a}*\wurzel{b}+b| \le|a-b|
[/mm]
jetzt komme ich nicht wirklich weiter und würde mich freuen, wenn ich einen kleinen Anstoß bekommen würde.
Vielen Dank im Voraus,
Denny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 21.11.2007 | | Autor: | CatDog |
Hi, teil das ganze doch in verschiedene Teile ein, z.B a>b, dann kannst Du die Beträge fallen lassen und wie mit "normalen" Ungleichungen rechnen und zwar genauso wie du es schon gemacht hast, ein wenig addieren und subtrahieren und schon steht die Lösung da (für a=b ist es trivial und für a<b geht es genauso)
Gruss CatDog
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Hey Catdog,
erst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe nun folgendes gemacht und würde mich ganz gern nochmal versichern, ob dieser Ansatz so auch funktioniert.
[mm] |\wurzel{a}-\wurzel{b}|\le\wurzel{|a-b|} [/mm] (quadrieren)
[mm] |a-2\wurzel{a}*\wurzel{b}+b|\le|a-b| [/mm] (a subtrahieren)
[mm] -2\wurzel{a}*\wurzel{b}+b\ge-b [/mm] (b subtrahieren)
[mm] -2\wurzel{a}*\wurzel{b}\le-2b [/mm] (-2 dividieren)
[mm] \wurzel{a}*\wurzel{b}\ge [/mm] b
Das würde doch stimmen für die Bedingung [mm] (a,b\ge0), [/mm] oder?
Vielen Dank, Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Do 22.11.2007 | | Autor: | CatDog |
Ja, ich hätte nur die Beträge gleich weggelassen. Mein Gedankengang war in etwa so:
a,b !> 0 , da [mm] \wurzel{a} [/mm] und [mm] \wurzel{b} [/mm] vorkommt und deshalb folgt:
[mm] |\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b}| [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b} [/mm] für a>b
und
[mm] \wurzel{|a-b|} [/mm] = [mm] \wurzel{a-b} [/mm] für a>b
Analog für a<b:
[mm] |\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{b}| [/mm] = [mm] \wurzel{b} [/mm] - [mm] \wurzel{a}
[/mm]
[mm] \wurzel{|a-b|} [/mm] = [mm] \wurzel{b-a}
[/mm]
Der Rest ergibt sich dann automatisch genauso wie Du gerechnet hast
Gruss CatDog
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Hallo Denny!
Du kannst doch nicht einfach die Betragsstriche weglassen. Zumal Deine letzte Ungleichung auch nicht allgemeingültig ist; wähle z.B. $a \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] und $b \ = \ 4$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Vielen Dank an Euch beide.
Trotzdem komme ich noch immer zu keiner richtigen Lösung.
Das mit den Betragsstrichen ist natürlich richtig. Muss den ganzen Spaß dann ja quasi (-1) nehmen, was ich vergessen hatte.
Wenn ich das dann aber durchrechne komme ich zu folgendem Ergebnis:
[mm] |\wurzel{a}-\wurzel{b}|\le\wurzel{|a-b|}
[/mm]
[mm] \wurzel{b}-\wurzel{a}\ge\wurzel{b-a}
[/mm]
[mm] b-2\wurzel{b}*\wurzel{a}+a\ge [/mm] b-a
[mm] \wurzel{b}*\wurzel{a}\le [/mm] a
Was ja allein schon nicht stimmen kann wenn "b" > "a".
Ich sehe da irgendwie meinen Fehler nicht. Habe wirklich irgendwie das "Brett vorm Kopf!"
Grüße, Denny
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Hallo Denny!
> [mm]|\wurzel{a}-\wurzel{b}|\le\wurzel{|a-b|}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{b}-\wurzel{a}\ge\wurzel{b-a}[/mm]
Warum drehst Du denn hier das Ungleichheitszeichen um? Das muss so bleiben wie eine Zeile da drüber.
Dann sollte es am Ende auch passen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo RoadRunner,
ist das nicht eine Äquivalente Umformung. Da ich doch die Betragsgleichung (also die Ausgangsgleichung) mit [*(-1)] multipliziere.
Oder trifft das in dem Fall nicht zu?
Grüße, Denny
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Hallo Denny!
Aber in dem Schritt multiplizierst du die Ungleichung doch gar nicht mit $(-1)_$ .
Du wendest lediglich die Definition des Betrages an für $b \ > \ a$ mit:
[mm] $$\left| \ \wurzel{a}-\wurzel{b} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] -\left( \ \wurzel{a}-\wurzel{b} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{b}-\wurzel{a}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
ein weiteres mal vielen Dank an Dich/Euch, denke jetzt habe ich zeigen können das die Ungleichung gilt.
Jetzt habe ich gestern noch ein weiteres Beispiel gerechnet und wollte mir mal einen Eindruck einholen, ob das so stimmen kann, da mir das ein wenig kurz vorkommt :)
Beispiel:
[mm] \wurzel{a+b}\le\wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] ... [mm] (|^2)
[/mm]
[mm] a+b\le(\wurzel{a}+\wurzel{b})^2
[/mm]
[mm] a+b\le a+b+2\wurzel{a}\wurzel{b}
[/mm]
Wenn das so passt ist die Ungleichung ja wohl für [mm] (a,b\ge [/mm] 0) erfüllt, da der Summant mit Wurzel größer als "a+b" ist, oder?
Vielen Dank im voraus, Denny
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Hallo Denny!
Das stimmt soweit. Aber zeihe doch noch jeweils $a+b_$ ab und teile dann durch 2. Dann wird es superdeutlich.
Gruß vom
Roadrunner
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