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| Aufgabe | Beweisen Sie durch Induktion nach n:
Für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge 3[/mm] gilt [mm]2n+1\le 2^n[/mm]
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Hi,
ich versuch mich gerade an obriger Aufgabe und bin der Meinung, dass ich irgendwo am Anfang einen Fehler haben muss, oder ich kann die Gleichung nicht auflösen.
Induktionsanfang:
[mm]2*3+1\le 2^3[/mm]
[mm]7\le 8[/mm]
Induktionsvorraussetzung:
Die Aussage [mm]2n+1\le 2^n[/mm] gelte für ein n, beliebig aber fest.
Induktionsschluss:
[mm]2(n+1)+1\le 2^{n+1}[/mm]
[mm]2n+3\le 2*2^n[/mm]
[mm]3\le 2*2^n -2n[/mm]
[mm]\bruch{3}{2}\le 2^n-2[/mm]
Ich hab mir hier schon ähnliche Aufgaben angeschaut aber auch daraus werde ich nicht ganz schlau.
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 So 28.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
> Induktionsanfang:
> [mm]2*3+1\le 2^3[/mm]
> [mm]7\le 8[/mm]
>
> Induktionsvorraussetzung:
> Die Aussage [mm]2n+1\le 2^n[/mm] gelte für ein n, beliebig aber
> fest.
>
> Induktionsschluss:
> [mm]2(n+1)+1\le 2^{n+1}[/mm]
> [mm]2n+3\le 2*2^n[/mm]
> [mm]3\le 2*2^n -2n[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}\le 2^n-2[/mm]
Im letzten Schritt steckt der Fehler:
[mm]3\le 2*2^n -2n[/mm] auf beiden Seiten durch zwei ergibt:
[mm] 1,5\le 2^n-n
[/mm]
Gruß ONeill
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Hi,
ähm ja das hatt ich falsch abgetippt, dann stimmt das also.
Aber ich sehe nicht das ich es damit schon gezeigt habe?
Oder bin ich noch gar nicht am Schluss?
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
In einem Induktionnachweis musst Du auch irgendwann die
Induktionsvoraussetzung (hier: $2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2^n$ [/mm] ) verwenden.
Hier mal mein Ansatz:
$$2*(n+1)+1 \ = \ 2n+3 \ = \ [mm] \red{2n+1}+2 [/mm] \ [mm] \red{\le \ 2^n} [/mm] +2$$
Nun wird weiter abgeschätzt:
[mm] $$2^n+\blue{2} [/mm] \ [mm] \blue{\le} [/mm] \ [mm] 2^n+\blue{2^n} [/mm] \ = \ [mm] 2*2^n [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi,
erstmal danke für deine Antwort.
Ich weiss jetzt auch genau wo ich mein Problem habe.
Und zwar fängt das schon beim einsätzen der Induktionsvorrausetzung an:
[mm]2n+2+1[/mm] ist mir klar wenn man da die IV einsetzt das man die hinkommt.
aber woher kommt die +2 bei [mm]2^n+2[/mm]?
Und was hast du mit den blauen Zahlen gemacht? Ist das auch noch die Induktionsvorraussetzung?
Und wo ist dann die rote ein hin aus: [mm]2n+2+1[/mm]?
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 28.10.2007 | | Autor: | Hollo |
Hallo,
Loddar hat es extra rot markiert: Das ist die Induktionsvoraussetzung. Addition auf beiden Seiten mit 2 ergibt die "+2". Die blauen Zahlen sind nicht mehr die Induktionsvorraussetzung, sondern es wird nur ausgenutzt, dass [mm]2 \le 2^{n}[/mm] ist.
Gruß Hollo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 28.10.2007 | | Autor: | Hollo |
Und guck auch mal hier: http://www.emath.de/Referate/ Nr. 2 & 3! Sehr umfangreich
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Sry, ich stehe heute irgendwie auf'm Schlauch.
Man sieht zwar sofort das [mm]2 \le 2^n[/mm], aber kann man dann einfach so für die 2 [mm] 2^n [/mm] einsetzen?
Also mir ist schon klar das es bei Gleichheitszeichen geht, aber es ist na 'ne Ungleichung, oder geht das nur weil [mm]2^n[/mm] eh größer ist und so die Seite eh größer bleibt?
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
Die Aschätzung $2 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2^n$ [/mm] kann man nur deshalb ansetzen, weil es eine Ungleichung ist.
> oder geht das nur weil [mm]2^n[/mm] eh größer ist und so die
> Seite eh größer bleibt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Erstmal danke euch allen für Eure Geduld.
Ich hab jetzt alles nur nochmal so aufgeschrieben, wie ich das verstanden hab, nur um ganz sicher zu gehen.
Nur um ganz sicher zu gehen.
Induktionsanfang:
[mm] 2\cdot3+1\le 2^3 [/mm]
[mm] 7\le 8 [/mm]
Induktionsvorraussetzung:
Die Aussage $ [mm] 2n+1\le 2^n [/mm] $ gelte für ein n, beliebig aber fest.
Induktionsschluss:
[mm]2n+1 \le 2^n[/mm] mit zwei addiert.
[mm]2n + 1 +2 \le 2^n +2[/mm]
auf der linken Seite steht dann 2n+3 bzw. 2(n+1) +1.
Auf der rechten Seite setze ich für 2 gleich [mm]2^n[/mm] ein, das geht nur weil [mm]2 \le 2^n[/mm] ist.
[mm]2*2^n = 2^{n+1}[/mm]
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
Kann man so machen ...
Gruß
Loddar
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