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lösen:
|-x²+5| < 4x
hab ich das richtig gemacht?
1.fall
-x²+5 >=0
4x>=0
-x²+5<4x
ergibt für x1= 1
und x2= -5 fällt weg!
2.Fall
-x²+5<=0
4x>=0
-x²+5<-4x
stimmt der 2.Fall???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo bastianboecking,
also deine Ungleichung lautet:
[mm] $|5-x^2| [/mm] < 4x $
Fall (1)
für [mm] $|x|<\sqrt{5}$
[/mm]
[mm] $5-x^2 [/mm] < 4x$
[mm] $-x^2-4x+5<0$
[/mm]
$(1-x)*(x+5)<0$
Diese Gleichung wäre erfüllt für alle $x< -5 [mm] \vee [/mm] x > 1$, da
jedoch [mm] $|x|<\sqrt{5}$ [/mm] gilt:
$1 < x [mm] <\sqrt{5}$ [/mm] bzw. $x [mm] \in [/mm] ]1; [mm] \sqrt{5}[$
[/mm]
Fall (2)
für $|x|> [mm] \sqrt{5}$
[/mm]
[mm] $x^2-5 [/mm] < 4x$
[mm] $x^2-4x-5 [/mm] < 0$
$(x+1)*(x-5)<0$
Diese Gleichung wäre erfüllt für $x [mm] \in [/mm] ]-1; 5[$,
da jedoch hier [mm] $|x|>\sqrt{5}$ [/mm] gilt, folgt:
$x [mm] \in ]\sqrt{5}; [/mm] 5[$
Neben wir beide Fälle zusammen, so erhalten wir als Lösungsmenge
der Ungleichung das Intervall $]1; 5[$.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Gruß
Nicolas
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wie kommst du darauf? woher weisst du das du die 5 nimmst und nicht die -1, warum wurzel aus 5 wegen x²?
Diese Gleichung wäre erfüllt für ,
da jedoch hier gilt, folgt:
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> wie kommst du darauf? woher weisst du das du die 5 nimmst
> und nicht die -1, warum wurzel aus 5 wegen x²?
>
> Diese Gleichung wäre erfüllt für ,
> da jedoch hier gilt, folgt:
>
Hi,
also [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] muss ich wählen wegen des [mm] $|5-x^2|$,
[/mm]
ist [mm] $|x|<\sqrt{5}$, [/mm] so gilt: [mm] $|5-x^2|=5-x^2$.
[/mm]
Im anderen Fall [mm] $|x|>\sqrt{5}$ [/mm] gilt hingegen [mm] $|5-x^2|=-(5-x^2)$.
[/mm]
Wenn du diesen Zusammenhang nachvollzogen hast, sollte
eigentlich alles klar sein.
Betrachtest also prinzipiell zwei Parabeln und guckst, in welchem
Bereich ihre Funktionswerte kleiner $0$ sind. Vielleicht hilft
es auch, wenn du dir die Funktion zur Ungleichung mal plottest,
also [mm] $f(x)=|5-x^2|-4x$. [/mm] Der Bereich zwischen ihren Nullstellen ist
die gesuchte Lösung.
Gruß
Fugre
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ich habe die lösung nicht richtig verstanden, ich habe ja die nullstellen ausgerechnet,
im fall 1 wären das x1=1 x2= -5
fall 2 x3= 5 x4= -1
muss ich jetzt nicht prüfen wann diese nullstellen sich im intervall befinden?
beim fall 1 fällt doch die -5 weg.
aber beim fall 2 da falle ndoch beide weg oder? ich versteh das einfach nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> ich habe die lösung nicht richtig verstanden, ich habe ja
> die nullstellen ausgerechnet,
> im fall 1 wären das x1=1 x2= -5
> fall 2 x3= 5 x4= -1
>
> muss ich jetzt nicht prüfen wann diese nullstellen sich im
> intervall befinden?
> beim fall 1 fällt doch die -5 weg.
> aber beim fall 2 da falle ndoch beide weg oder? ich
> versteh das einfach nicht
Hallo Bastian,
die Nullstellen sind hier nicht gesucht, da es sich um eine Ungleichung handelt und
nicht um eine Gleichung. Du suchst die $x$, für die die Ungleichung $ [mm] |5-x^2| [/mm] < 4x [mm] \to |5-x^2|- [/mm] 4x<0 $
erfüllt ist. Es gibt also zwei Unterschiede zu einer "normalen" Gleichung, es gibt einen Betrag, der uns
zur Fallunterscheidung zwingt und es ist eine Ungleichung, was wiederum zur Folge hat, dass wir wahrscheinlich
nicht nach einzelnen Zahlen suchen müssen, sondern nach ganzen Intervallen.
Erster Fall:
für
(1)$ [mm] |x|<\sqrt{5} [/mm] $
(2)$ [mm] 5-x^2 [/mm] < 4x $
Das heißt die Lösungen müssen beide Ungleichungen erfüllen, um "echte" Lösungen zu sein.
Als Lösung der ersten Ungleichung erhalten wir $x< -5 [mm] \vee [/mm] x>1$, für die zweite [mm] $|x|<\sqrt{5}$
[/mm]
Das bedeutet, dass die Lösungen $x<-5$ wegfallen, da alle Zahlen $<-5$ vom Betrag größer als
[mm] $\sqrt{5}$ [/mm] sind und das ist die Ungleichung (2). Das andere Intervall, in dem die Lösungen für
Gleichung (1) liegen, ist $]1; [mm] \infty[$. [/mm] Auch hier müssen wir wieder schauen welche dieser Lösungen
auch die Ungleichun (2) erfüllen und werden sehen, dass alle Zahlen zwischen $1$ und [mm] $\sqrt{5}$
[/mm]
beide Ungleichungen erfüllen. Die Überlegungen für den zweiten Fall sind analog.
Gruß
Nicolas
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