Ungleichung, y(x)=0 beweisen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Sa 10.01.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Es sei y:I-->IR eine diffbare Fkt mit y(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I. Zeige: Genügt y auf I der Ungleichung |y'| [mm] \le [/mm] Cy mit einem C [mm] \in IR^{+} [/mm] und ist [mm] y(x_0)=0 [/mm] für ein [mm] x_0 \in [/mm] I, so ist y(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] I. |
Hallo,
als Hinweis soll man die Fkt [mm] f(x)=y(x)e^{-Cx} [/mm] betrachten. Dann ist ja f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x
Ich habe zunächst f' bestimmt:
[mm] f'(x)=e^{-Cx} [/mm] (y'(x)-Cy(x)) [mm] \le e^{-Cx} [/mm] (C(y(x)-y(x)) =0 --> Also ist f(x) konstant . Das geht aber nur, wenn y(x)=0 ist.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 10.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei y:I-->IR eine diffbare Fkt mit y(x) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] I. Zeige: Genügt y auf I der Ungleichung |y'| [mm]\le[/mm] Cy
> mit einem C [mm]\in IR^{+}[/mm] und ist [mm]y(x_0)=0[/mm] für ein [mm]x_0 \in[/mm] I,
> so ist y(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] I.
> Hallo,
>
> als Hinweis soll man die Fkt [mm]f(x)=y(x)e^{-Cx}[/mm] betrachten.
> Dann ist ja f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle x
>
> Ich habe zunächst f' bestimmt:
>
> [mm]f'(x)=e^{-Cx}[/mm] (y'(x)-Cy(x)) [mm]\le e^{-Cx}[/mm] (C(y(x)-y(x)) =0
... das lautet ... [mm]\le e^{-Cx}[/mm] (C(y(x)-Cy(x)) =0
> --> Also ist f(x) konstant .
Hä ? Wir wissen nur, dass f fallend ist. Bisher hast Du nur benutzt:
y' [mm] \le [/mm] Cy.
|y'| $ [mm] \le [/mm] $ Cy bedeutet aber mehr:
-Cy [mm] \le [/mm] y' [mm] \le [/mm] Cy.
FRED
> Das geht aber nur, wenn y(x)=0
> ist.
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> Stimmt das so?
>
>
>
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Da also f monoton fallend ist und [mm] f(x_0)=y(x_0)e^{-Cx_0} [/mm] =0 gilt , folgt mit f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] I, dass f(x)=0 für alle x und damit y(x)=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 13.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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