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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:53 Do 12.02.2009 | | Autor: | trouff |
Hallo liebe Mathefreunde!
Ich versuche gerade den Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung nachzuvollziehen. soweit ist auch alles klar. Meine Frage ist aber, wie kommt man darauf, dass man so anfängt.
[mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}(ai [/mm] - [mm] xbi)^{2}
[/mm]
und warum ist die Lösung des Beweises, nach aufstellen der p-q-Formel, der positive Wert unter der Wurzel.
Hier mal der Beweis der mir als Grundlage dient:
Sei [mm] \vec{a} ,\vec{b} \in R^{n} [/mm]
Dann gilt: [mm] |\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}|
[/mm]
Beweis:
Es gilt: [mm] |\vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b}| [/mm] = [mm] | \summe_{i=1}^{n} [/mm] ai*bi|
sowie [mm] |\vec{a}||\vec{b}| [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n} ai^{2} \summe_{i=1}^{n} bi^{2}}
[/mm]
Somit haben wir zu zeigen:
[mm] | \summe_{i=1}^{n} [/mm] ai*bi| [mm] \le \wurzel{\summe_{i=1}^{n} ai^{2}} \wurzel{\summe_{i=1}^{n} bi^{2} }
[/mm]
Den trivialen Fall hier lasse ich aus!
Sei f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (ai - [mm] xbi)^{2} [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] Ax\in \IR
[/mm]
Dann f(x) ausklammern und f(x) = 0 setzen
und mit p-q-Formel lösen.
Damit es nicht soviel zu schreiben gibt alle Summen substituirt:
f(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] x1,x2 = [mm] \bruch{B}{C} \pm \wurzel{\bruch{B^{2}}{C^{2}} - \bruch{A}{C}}
[/mm]
Wenn man jetzt den Teil unter der Wurzel auflöst, dann bekommt man das zu Beweisende als Resultat. Aber warum macht man das so?
Mfg trouff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 15.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
warum nicht? Es funktioniert, das reicht doch! Wie man auf Beweise etc. gekommen ist, ist doch höchstens didaktisch oder historisch von Interesse!
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 So 15.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> warum nicht? Es funktioniert, das reicht doch! Wie man auf
> Beweise etc. gekommen ist, ist doch höchstens didaktisch
> oder historisch von Interesse!
Ich sehe das nicht so. Das Finden von Beweisen ist die "Schlüsseltechnologie" in der Mathematik. Die Frage, wie man auf einen Beweis gekommen ist, ist also durchaus gerechtfertigt, denn (leider?) sieht man das den Beweisen im nachhinein nicht mehr an.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 15.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Ich verstehe den Beweis nicht so richtig.... also was kommt denn genau raus wenn man diesen "Wurzelausdruck auflöst"?Warum beweist das die Behauptung.
Was ich auch komisch finde... es ist [mm] $f(x)=|a-xb|^2=0\gdw [/mm] a=xb$, d.h. es kann nur eine Nullstelle geben, und zwar genau dann, wenn a und b lin. abhängig sind. Hilft dir das vielleicht irgendwie?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mo 16.02.2009 | | Autor: | trouff |
Das bei der Funktion nur eine Nullstelle sein kann, weiß ich leider selber.
Hab ich wohl vergessen zu schreiben.
Wenn man den Wurzelausdruck auflöst kommt da raus
( [mm] \summe_{i=1}^{n}aibi)^2 \le \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n}bi^2
[/mm]
Das ist weil die p,q Formel im reellen ja nur für Wurzelausdruck [mm] \ge [/mm] 0 lösbar ist.
Mfg trouff
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