Ungleichung seh-Problem konvex < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 17.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich stehe grad bei einem 2-Zeilen Beweis auf dem Schlauch. Zuerst nochmal die Def von streng (=gleichmäßig) konvex:
Eine Funktion f : X [mm] \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} [/mm] ist strg. konvex wenn es ein c >0 gibt, so dass
f( ax + (1-a) y) [mm] \leq [/mm] a f(x) + (1-a) f(y) - 1/2 c a (1-a) [mm] \|x- y\|^2 [/mm] gilt, für alle x,y [mm] \in [/mm] C [mm] \times [/mm] C und a [mm] \in [/mm] (0,1).
Nun ist zu zeigen, dass f streng konvex ist, wenn f - 1/2 c [mm] \| \cdot \| [/mm] convex ist.
Naheliegend ist ja einfach die konvex-Eigenschaft mal hinzuschreiben:
f(ax + (1-a)y) - 1/2 c [mm] \| [/mm] ax + (1-a) y [mm] \|^2 [/mm]
[mm] \leq [/mm] a f(x) + (1-a) f(y) - 1/2 c [mm] (a\|x\|^2 [/mm] + (1-a) [mm] \|y\|^2).
[/mm]
Warum ist hier der Beweis schon zu Ende?
Dann müsste ja gelten, dass
1/2 c [mm] (a\|x\|^2 [/mm] + (1-a) [mm] \|y\|^2) \geq [/mm] 1/2 c (1-c) [mm] \|x-y\|^2 [/mm] gilt?
Irgendwie steh ich echt auf dem Schlauch und seh nicht, warum das gilt. Wäre super, wenn mir jemand einen Tip geben könnte!
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mi 18.02.2009 | | Autor: | iks |
Kann man den Status bitte wieder auf unbeantwortet setzen?
Glaube meine Antwort war nicht richtig.
Danke mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Riley |
Ich stelle einfach nochmal eine Frage dazu 
Wie hast du denn gedacht kann man die Abschätzung einsehen, iks?
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Hallo!
Du kannst auf deine eigenen Frage reagieren, und sie wieder auf "Unbeantwortet" stellen. Ich hab das mal für dich gemacht und etwas aufgeräumt, dann sieht man eher, daß hier noch gar keine Antwort kam. Zu deiner Frage kann ich aber auch nix sagen.
E.H.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mi 18.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> ich stehe grad bei einem 2-Zeilen Beweis auf dem Schlauch.
> Zuerst nochmal die Def von streng (=gleichmäßig) konvex:
> Eine Funktion f : X [mm]\subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> ist strg. konvex wenn es ein c >0 gibt, so dass
> f( ax + (1-a) y) [mm]\leq[/mm] a f(x) + (1-a) f(y) - 1/2 c a (1-a)
> [mm]\|x- y\|^2[/mm] gilt, für alle x,y [mm]\in[/mm] C [mm]\times[/mm] C und a [mm]\in[/mm]
> (0,1).
>
> Nun ist zu zeigen, dass f streng konvex ist, wenn f - 1/2 c
> [mm]\| \cdot \|[/mm] convex ist.
> Naheliegend ist ja einfach die konvex-Eigenschaft mal
> hinzuschreiben:
>
> f(ax + (1-a)y) - 1/2 c [mm]\|[/mm] ax + (1-a) y [mm]\|^2[/mm]
>
> [mm]\leq[/mm] a f(x) + (1-a) f(y) - 1/2 c [mm](a\|x\|^2[/mm] + (1-a)
> [mm]\|y\|^2).[/mm]
>
> Warum ist hier der Beweis schon zu Ende?
> Dann müsste ja gelten, dass
> 1/2 c [mm](a\|x\|^2[/mm] + (1-a) [mm]\|y\|^2) \geq[/mm] 1/2 c (1-c)
> [mm]\|x-y\|^2[/mm] gilt?
> Irgendwie steh ich echt auf dem Schlauch und seh nicht,
> warum das gilt. Wäre super, wenn mir jemand einen Tip geben
> könnte!
(EDIT: Schreibweise korrigiert: [mm] $\|x\|* \|y\| \rightarrow \left [/mm] $)
Ist mit [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] die euklidische Norm gemeint? Denn dann kannst du einfach ausmultiplizieren:
[mm] \|ax + (1-a) y\|^2 = a^2\|x\|^2 +(1-a)^2 \|y\|^2 +2 a(1-a) \left[/mm]
[mm] = (a(a-1)\|x\|^2 + a(a-1) \|y\|^2 +2 a(1-a) \left ) + (a\|x\|^2 + (1-a)\|y\|^2) [/mm]
[mm] = a(a-1) (\|x\|^2+\|y\|^2-2\left ) + (a\|x\|^2 + (1-a)\|y\|^2) [/mm]
[mm] = a(a-1) \|x-y\|^2+ (a\|x\|^2 + (1-a)\|y\|^2) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 19.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort! Ja, jetzt seh ich es, den Term auf die andere Seite gebracht und ausmultipliziert, dann steht die Def. von gleichmäßig konvex da, juhu.
Noch eine dumme Nachfrage, wenn wir hier wie du schon geschrieben hast mit der euklidischen Norm zu tun haben, dann gilt doch für das Skalarprodukt <x,x> = [mm] \|x\|^2 [/mm] .
Ich hab das immer so ausmultipliziert:
[mm] \|x [/mm] - [mm] y\|^2 [/mm] = <x-y, x-y> = [mm] \|x\|^2 [/mm] - 2 <x,y> + [mm] \|y\|^2
[/mm]
Warum gilt <x,y> = [mm] \|x\| \|y\| [/mm] ?
Es ist ja <x,y> = [mm] \sum |x_i y_i| [/mm] und
[mm] \|x\| \|y\| [/mm] = [mm] \sqrt{} \sqrt{} [/mm] = [mm] (\sum|x_i|^2)^{1/2} (\sum |y_i|^2)^{1/2}.
[/mm]
Kann man da die Gleichheit einfach nachrechnen (ich kanns irgendwie grad nicht) oder hab ich nun alles durcheinander geworfen?
Viele Grüße & vielen Dank für deine Hilfe!
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 19.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley,
du hast völlig recht, da war's gestern Abend doch zu spät. Es ändert aber nichts am Ergebnis (zum Glück!)
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Do 19.02.2009 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ok - dann bin ich ja beruhigt . Danke nochmal, die Umformungen in der Rechnung waren ja schon ganz schön trickreich um auf das Gewünschte zu kommen.
Viele Grüße,
Riley
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