Ungleichung mit ln < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 03.02.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Bestimme Lösungsmenge folgender Ungleichung:
ln(x)-2*ln(2-x)+ln(2x)>ln(3) |
hallo.
dies habe ich gemacht:
[mm] ln(x^2*2)-2*ln(2-x)>ln(3)
[/mm]
[mm] ln(2)+ln(x^2)-(ln(2-x)+ln(2-x))>ln(3)
[/mm]
[mm] ln(2)+ln(x^2)-(ln((2-x)(2-x)))>ln(3)
[/mm]
[mm] ln(2)+ln(x^2)-(ln(x^2-4x+4)>ln(3)
[/mm]
[mm] ln(2)+ln(x^2)-ln(2)>ln(3)
[/mm]
ln [mm] x^2 [/mm] > ln 3
ich frage mich, ob das bis hierher so machbar ist. und wie es dann weitergehen kann.
gruß, dic
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo dicentra!
Wie kommst Du auf Deine vorletzte Zeile? Da fehlt doch einiges ...
Einfacher ist es, wenn Du gleich zu Beginn alles zu einem ln zusammenfasst:
[mm] $$\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x) [/mm] \ > \ [mm] \ln(3)$$
[/mm]
[mm] $$\ln\left(2x^2\right)-\ln\left[(2-x)^2\right] [/mm] \ > \ [mm] \ln(3)$$
[/mm]
[mm] $$\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right] [/mm] \ > \ [mm] \ln(3)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 03.02.2009 | | Autor: | dicentra |
> Hallo dicentra!
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> Wie kommst Du auf Deine vorletzte Zeile? Da fehlt doch
> einiges ...
> [mm]ln(x^2*2)-2*ln(2-x)>ln(3)[/mm]
>
> [mm]ln(2)+ln(x^2)-(ln(2-x)+ln(2-x))>ln(3)[/mm]
>
> [mm]ln(2)+ln(x^2)-(ln((2-x)(2-x)))>ln(3)[/mm]
>
> [mm] ln(2)+ln(x^2)-(ln([green] x^2-4x+4 [/mm] [/green])>ln(3)
habe das ausgerechnet und da kam für x zweimal 2 raus. demnach kürzen sich die beiden ln(2) weg!?
(warum macht der das nicht grün?)
>
> [mm]ln(2)+ln(x^2)-ln(2)>ln(3)[/mm]
>
> ln [mm]x^2[/mm] > ln 3
> Einfacher ist es, wenn Du gleich zu Beginn alles zu einem
> ln zusammenfasst:
>
> [mm]\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x) \ > \ \ln(3)[/mm]
>
> [mm]\ln\left(2x^2\right)-\ln\left[(2-x)^2\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
>
> [mm]\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
wie geht es denn dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 03.02.2009 | | Autor: | Fugre |
Hallo Dicentra
> > [mm]ln(2)+ln(x^2)-(ln([green] x^2-4x+4 [/green]) [/mm]>ln(3)
>> habe das ausgerechnet und da kam für x zweimal 2 raus.
Das kommt mir etwas komisch vor. Wenn ich Dich richtig verstehe, hast Du die Nullstellen bestimmt, damit kannst Du hier jedoch wenig anfangen.
Loddars Ansatz ist hier sehr gut und ich würde Dir empfehlen ihn zu nutzen.
> [mm]\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
>wie geht es denn dann weiter?
Hier kannst Du ausnutzen, dass die ln-Funktion streng monoton steigend ist, daraus folgt [mm] x>y \gdw ln(x)>ln(y) [/mm] falls [mm] y>0 [/mm]
Wenn Du dies auf deine Ungleichung anwendest, wirst du den ln los.
Schöne Grüße
Nicolas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo dicentra,
> > Hallo dicentra!
> >
> >
> > Wie kommst Du auf Deine vorletzte Zeile? Da fehlt doch
> > einiges ...
>
>
> > [mm]ln(x^2*2)-2*ln(2-x)>ln(3)[/mm]
> >
> > [mm]ln(2)+ln(x^2)-(ln(2-x)+ln(2-x))>ln(3)[/mm]
> >
> > [mm]ln(2)+ln(x^2)-(ln((2-x)(2-x)))>ln(3)[/mm]
> >
> > [mm]ln(2)+ln(x^2)-(ln([green] x^2-4x+4[/mm] [/green])>ln(3)
>> habe das ausgerechnet und da kam für x zweimal 2 raus.
> >demnach kürzen sich die beiden ln(2) weg!?
>> (warum macht der das nicht grün?)
>
> [mm]ln(2)+ln(x^2)-ln(2)>ln(3)[/mm]
>
> ln [mm]x^2[/mm] > ln 3
> Einfacher ist es, wenn Du gleich zu Beginn alles zu einem
> ln zusammenfasst:
>
> [mm]\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x) \ > \ \ln(3)[/mm]
>
> [mm]\ln\left(2x^2\right)-\ln\left[(2-x)^2\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
>
> [mm]\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
> wie geht es denn dann weiter?
um es einmal deutlich zu sagen: Hier reduziert sich die Aufgabe darauf, die [mm] $\,x\,$ [/mm] zu finden, so dass [mm] $\bruch{2x^2}{(2-x)^2} [/mm] > 3$ gilt (die Begründung findest Du bei Fugre).
Was allerdings ein wenig vergessen wurde:
Anfangs war [mm] $\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x)>\ln(3)\,,$ [/mm] damit diese Ungleichung Sinn macht, muss $x [mm] \, [/mm] > [mm] 0\,\,,$ [/mm] $2-x [mm] \,> [/mm] 0$ und $2x [mm] \,>\,0$ [/mm] gelten, was alles mit der Forderung $0 < x < 2$ getan ist.
Also in Wahrheit ist es so, dass Du alle [mm] $x\,$ [/mm] finden musst, die
$$0 < x < 2 [mm] \text{ und }\bruch{2x^2}{(2-x)^2} [/mm] > 3$$
erfüllen (Loddars Rechnung gilt auch nur unter gewissen Voraussetzungen an das Argument innerhalb von [mm] $\ln( [/mm] .)$).
Und eine Formel in grün - etwa [mm] $\green{x^2+y^2=z^2}$ [/mm] - schreibst du so in grün: [mm] [nomm]$\green{x^2+y^2=z^2}$[/nomm]
[/mm]
Dein Befehl war zuständig für das Grünfärben von Texten.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo dicentra!
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>
> Wie kommst Du auf Deine vorletzte Zeile? Da fehlt doch
> einiges ...
>
> Einfacher ist es, wenn Du gleich zu Beginn alles zu einem
> ln zusammenfasst:
>
> [mm]\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x) \ > \ \ln(3)[/mm]
>
> [mm]\ln\left(2x^2\right)-\ln\left[(2-x)^2\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
>
> [mm]\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right] \ > \ \ln(3)[/mm]
nur der Vollständigkeit wegen:
Damit man [mm] $\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x)$ [/mm] überhaupt hinschreiben kann, muss man oben schon $0 < x < 2$ fordern. Für alle $0 < x < 2$ gilt
[mm] $$\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x)=\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right]\,.$$
[/mm]
Der Term [mm] $\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right]$ [/mm] ist allerdings sogar für alle $x [mm] \in \IR \setminus\{0,2\}$ [/mm] definiert, aber die Gleichung
[mm] $$\ln(x)-2*\ln(2-x)+\ln(2x)=\ln\left[\bruch{2x^2}{(2-x)^2}\right]$$
[/mm]
macht für $x [mm] \in (-\infty,0) \cup (2,\infty)\,$ [/mm] keinen Sinn.
Gruß,
Marcel
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