Ungleichung mit Betrag < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Löse: [mm] \bruch{4}{|x-9|}\ge12 [/mm] |
Einen wunderbaren Gruß in den matheraum, bei diesen Aufgaben mache ich eine Fallunterscheidung: x-9>0, damit habe ich kein Problem, und x-9<0 ich bekomme x<9, und jetzt ist mir der Rechenweg nicht ganz klar
[mm] \bruch{4}{x-9}\ge12
[/mm]
[mm] 4\le12(x-9)
[/mm]
[mm] 4\le12x-108
[/mm]
[mm] \bruch{28}{3}\le [/mm] x
[mm] \bruch{4}{x-9}\ge12
[/mm]
[mm] 4\ge12(-(x-9))
[/mm]
[mm] 4\ge-12x-108
[/mm]
[mm] 112\ge-12x
[/mm]
[mm] \bruch{28}{3}\le [/mm] x
in der 1. Variante habe ich das Relationszeichenin der 2. Zeile gedreht, in der 2. Variante in der letzten Zeile, ich denke mal es ist egal, wie ich rechne, es entsteht ja das gleiche Erebnis. (ich habe jetzt keine Lösungsmenge angegeben, ist mir dann wieder klar)
Zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe!
> Löse: [mm]\bruch{4}{|x-9|}\ge12[/mm]
> Einen wunderbaren Gruß in den matheraum, bei diesen
> Aufgaben mache ich eine Fallunterscheidung: x-9>0, damit
> habe ich kein Problem, und x-9<0 ich bekomme x<9, und jetzt
> ist mir der Rechenweg nicht ganz klar
>
> [mm]\bruch{4}{x-9}\ge12[/mm]
> [mm]4\le12(x-9)[/mm]
> [mm]4\le12x-108[/mm]
> [mm]\bruch{28}{3}\le[/mm] x
>
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> [mm]\bruch{4}{x-9}\ge12[/mm]
> [mm]4\ge12(-(x-9))[/mm]
> [mm]4\ge-12x-108[/mm]
> [mm]112\ge-12x[/mm]
> [mm]\bruch{28}{3}\le[/mm] x
>
> in der 1. Variante habe ich das Relationszeichenin der 2.
> Zeile gedreht, in der 2. Variante in der letzten Zeile, ich
> denke mal es ist egal, wie ich rechne, es entsteht ja das
> gleiche Erebnis. (ich habe jetzt keine Lösungsmenge
> angegeben, ist mir dann wieder klar)
>
> Zwinkerlippe
In der ersten Variante hast du den Fall x-9<0 betrachtet. Denn im ersten Schritt multiplizierst du ja mit x-9, und da du das Zeichen umdrehst, muss x-9 kleiner Null sein, denn nur bei Multiplikationen oder Divisionen mit einem Term <0 wird das Zeichen umgedreht. Was du im 2. Schritt machen wolltest, weiß ich nicht, jedenfalls weiß ich nicht, wo plötzlich das Minuszeichen herkommt. Und wenn dies richtig wäre, wäre aber die zweite Umformung falsch - da müsste es dann +108 heißen. Das zweite ist also eher komplett falsch - aber ich weiß auch nicht, ob du jetzt beide Fälle betrachten wolltest oder was genau deine Frage war.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ich danke dir, eventuell habe ich mich nicht ganz klar ausgedrückt, es geht NUR um den Fall, dass der Nenner kleiner Null ist, ich habe in meinem Mathebuch 2 Möglichkeiten gefunden, die ich beide rechnen wollte, wo steckt denn nun der Fehler in meiner 2. Variante, aber es entsteht doch das gleiche Ergebnis,
Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Sa 27.10.2007 | | Autor: | TUMMUT |
nabend, der fehler in der 2. variante besteht darin das 12(-(x-9) = 12(-x+9)=-12x+108 ist und nicht -108, somit ergibt sich 4 >= -12x+108 und daraus nach umformen -104>=-12x und daraus 104/12 <= x ich hoff ma das ich keinen quatsch gerechnet hab um die uhrzeit ^^ mfg Fabi
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Oh je, meinen Vorzeichenfehler habe ich erkannt, aber jetzt verschlimmert sich ja die ganze Geschichte eigentlich, eine Aufgabe, zwei Lösungswege, eigentlich dann gleiche Lösung, aber jetzt habe ich zwei, jetzt stecke ich in einer richtigen Sackgasse, wer kann mir jetzt helfen, Danke Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Oh je, meinen Vorzeichenfehler habe ich erkannt, aber jetzt
> verschlimmert sich ja die ganze Geschichte eigentlich, eine
> Aufgabe, zwei Lösungswege, eigentlich dann gleiche Lösung,
> aber jetzt habe ich zwei,
Du hast zwei Ungleichungen (eigentlich 4, siehe mein anderes post) und das paßt auch so, Du willst bei Ungleichungen ja ein Intervall (oder auch zwei). =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Löse: [mm]\bruch{4}{|x-9|}\ge12[/mm]
> Einen wunderbaren Gruß in den matheraum, bei diesen
> Aufgaben mache ich eine Fallunterscheidung: x-9>0, damit
> habe ich kein Problem, und x-9<0 ich bekomme x<9, und jetzt
> ist mir der Rechenweg nicht ganz klar
Beim Betrag gibt es zwei Möglichkeiten:
[mm] $|x-9|=\begin{cases} x-9, & \mbox{für } x-9\geq 0 \\ -(x-9), & \mbox{für } x-9<0\end{cases}$
[/mm]
Hier fällt der Fall x=9 natürlich flach, weil wir dann durch 0 Teilen würden.
> [mm]\bruch{4}{x-9}\ge12[/mm]
Das ist Deine Gleichung für den Fall x-9>0
Für x-9<0 müßte es
[mm] $\bruch{4}{-(x-9)}\ge12$
[/mm]
sein, das wäre dann:
[mm] $4\ge [/mm] -12(x-9)$ (das Größerzeichen dreht sich hier nicht, da -(x-9) ja größer 0 ist)
[mm] $4\ge [/mm] -12x +108$
$-104 [mm] \geq [/mm] -12x$
[mm] $\frac{26}{3}\leq [/mm] x < 9$ (Hier dreht es sich, weil wir durch -12 dividieren, und wegen der Voraussetzung x-9<0 muß x<9 sein)
Deine 2. Variante ist im Prinzip das, aber Du hast ein paar kleinere Fehler drinnen:
> [mm]\bruch{4}{-(x-9)}\ge12[/mm]
Hier fehlte das - vor dem x-9 im Nenner
> [mm]4\ge12(-(x-9))[/mm]
Hier stimmt's wieder.
> [mm]4\ge-12x+108[/mm]
-(x-9)=-x+9. - mal - ist +
> [mm]-104\ge-12x[/mm]
> [mm]\bruch{26}{3}\le x<9[/mm]
Für x-9>0 kommst Du analog auf [mm] $9
D.h. x ist zwischen [mm] $9+\frac{1}{3}$ [/mm] und [mm] $9-\frac{1}{3}$, [/mm] aber nicht gleich 9.
>
> in der 1. Variante habe ich das Relationszeichenin der 2.
> Zeile gedreht,
Das mußt Du tun, wenn Du mit einem negativen Wert multiplizierst; Du hast das in dem Fall getan, aber gerade weil Du davon ausgehst, daß x-9 negativ ist, gilt [mm] $|x-9|\neq [/mm] (x-9)$ und damit hast Du das Ergebnis für eine andere Ungleichung gerechnet und nicht die, die Du haben wolltest =)
> in der 2. Variante in der letzten Zeile, ich
Die war mehr oder weniger richtig. Es fehlte das - vor dem Bruch in der ersten Zeile, aber in der zweiten ist es aufgetaucht. Wenn das nur ein Schreibfehler war ist's kein Problem.
Das Ergebnis war falsch, weil das Vorzeichen vor der 108 nicht stimmte =)
Persönlich würde ich den Betrag in der ersten Umformung stehen lassen:
[mm]\bruch{4}{|x-9|}\ge12[/mm]
[mm]4\ge12|x-9|[/mm]
So mußt Du Dir nicht überlegen, ob Du das Zeichen drehen mußt oder nicht, weil der Betrag ja immer positiv ist.
Jetzt die Fallunterscheidung:
$x>9 [mm] \Rightarrow 4\ge12(x-9)$
[/mm]
$x<9 [mm] \Rightarrow 4\ge12(-(x-9))$
[/mm]
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Danke, klasse Erklärung, da hat sich ja die andere Frage erledigt, Zwinkerlippe
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